NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Limite de sinus x  / x 

>>> Démonstration

>>> Limite de tangente x / x

 

 

 

 

 

 

Limites en sinus et tangente

 

Comment démontrer certaines limites de fonctions en associant la géométrie et la trigonométrie. Simple et efficace, encore fallait-il en avoir l'idée.

Notez en passant l'interprétation et la comparaison géométriques de sinus, arc et tangente.

 

 

Limite de sinus x  / x au voisinage de 0

*      Démontrez que: 

*    Cette propriété est bien connue:

Notez le bien. Elle sert très souvent.

 

Pour les petits angles, le sinus est voisin de l'angle lui-même, exprimé en radians.

 

 

 

Illustration

Pour 30°, l'écart est de 2,3 centièmes et pour 10° cet écart fond à moins de 1 /1000e.

 

 

 

Démonstration

 

Figure

*    Bleu: le cercle trigonométrique (rayon unité).

*    Rouge: les triangles rectangles symétriques OCA et  OCB, dont les angles en O valent x (en radians).

*    Vert: les deux tangentes au cercle en A et B.

 

Relations

 

 

  (explication)

 

L'arc AB = 2x

 

Note

 

*    Alors, pour la suite, on prend x positif. Le cas négatif est identique.

 

Démo

 

*      Comparons les longueurs

 

 

 

 

*    Découplons les égalités deux à deux

 

 

*    Remise en relation

*    Lorsque x tend vers 0, le cosinus grimpe vers 1

 

sinus x / x se trouve en sandwich entre 1 et une valeur dont la limite est 1, il tend lui-même vers 1.

 

 

 

 

Limite de tangente x / x

*      Démontrez que: 

*    Développons :

Passage à la limite:
Rappel: cos 0 = 1.

 

Comparaison de l'écart en x, son sinus et sa tangente pour des petits angles (en millièmes)

 

Pour 10°, Esinus = 0,88 10-3 et Etangente = -1,79 10-3.

 

 

 

 

Bilan

Jusqu'à 5°, voire 10°, on peut assimiler le sinus et la tangente à la valeur de l'angle exprimé en radians:

 

 

 

 

 

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