NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

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TYPES DE NOMBRES

 

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Nombres

 

 

INDEX

 

Types de Nombres

 

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Infinitésimaux

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Sommaire de cette page

>>> Les infinitésimaux

>>> Calcul intégral et différentiel

>>> Définition de l'infinitésimal

 

 

 

 

 

Les INFINITÉSIMAUX

 

Des infiniment grands et infiniment petits dont la découverte à permis les calculs des dérivées et des intégrales.

Mais, ils ne vont tenir le choc face aux développements des ordinateurs: il faudra utiliser l'analyse non-standard.

Voir en introduction: Achille et la tortue

 

 

 

LES INFINITÉSIMAUX

Historique

230 av-J.-C.

Archimède

*       Calcul du volume de la pyramide ou de la sphère en empilant des tranches.

1635

Cavalieri

*       Géométrie des invisibles.

*       Solide = Somme de morceaux de surface planes.

*       Volume = Somme des aires de ces sections planes.

1690-91

Bernoulli

*       Travaux sur la chainette, le calcul exponentiel.

 

Théorème de Dupin

 

 

Deux solides S et S'. Si chaque plan horizontal découpe des aires égales, les volumes de ces deux solides sont égaux.

 

1638

Pascal

*       Calcul de volumes complexes par extrapolation de cette méthode.

Paradoxe

*       Volume = somme d'aires: ça n'est pas homogène !

1680

Leibniz

*       Résout ce paradoxe.

*       Introduit le dx et une nouvelle notation.

 

Pascal

*       Fait le même raisonnement et applique cette méthode aux problèmes de physique et d'hydrodynamisme.

 

 

Intégrale

 

y       ordonnée.

x       abscisse.

dx     largeur d'un rectangle très fin de longueur y.

   intégrale de - (déformation du s de somme).

 

Ce qui se lit: L'aire totale est  égale à la somme de toutes les petites aires y.dx des petits rectangles élémentaires.

 

 

 

 

CALCUL INTÉGRAL ET DIFFÉRENTIEL

 

*    Avec Pascal et Leibniz,

*           c'est l'origine du calcul intégral  (notion de primitive) et

*           sa réciproque le calcul différentiel (notion de dérivée).
 

*    Deux exemples:

 

*    Cas de l'hydrodynamique

E est l'énergie du fluide, dv un élément de volume et p la pression.

 

L'énergie E du fluide est la somme des contributions des petits éléments de volume dv où règne la pression p . La pression en un point est le quotient de l'énergie dE d'une petite cellule (en ce point) par son volume dv.

 

 

  

 

DÉFINITION DE L'INFINITÉSIMAL

Historique (suite)

1730

George Berkeley

(évêque)

*       Remarque que l'homogénéité locale qui est supposée dans le calcul se situe à une échelle intermédiaire entre l'échelle humaine et l'échelle atomique.

*       Pourquoi les choses seraient forcément les mêmes le long de ces échelles.

*       Voir la surprise des figures fractales!

Paradoxe

*       La division dy / dx est, en fait, voisine de 0 / 0.

*       Cette division n'a pas de sens en mathématique; elle donne n'importe quoi.

*       La quantité infinitésimale est à la fois nulle et non nulle.

Définition de l'infinitésimal

 

Niels Abel

*       Est infinitésimale toute quantité plus petite que toute quantité donnée à l'avance.

 

Newton

*       C'est une quantité variable qui tend à disparaître.

 

D'Alembert

*       Il s'élève contre l'existence de quantités infiniment petites.

*       Il préfère calculer la limite d'un rapport.

XIXe

Cauchy

Abel

Dirichlet

Riemann

Cantor

etc.

*       Ils travaillent tous cette notion pour essayer d'en trouver une définition rigoureuse.

1860

Karl Weierstrass

*       Formule la définition encore enseignée aujourd'hui.

*       Calcul des inégalités très précises, où on évalue la variabilité de certaines quantités en fonction de celle d'autres.

*       Exemple: "De combien varie le carré d'un nombre en fonction de la variation de ce nombre".

 

 

 

Suite

*         Dérivées

*         Calcul des factorielles généralisées par sommes infinies

*         L'analyse non-standard

Voir

*         Analyse - Glossaire

*         Analyse de Fourrier

*         Calcul des variations - isopérimètres

*         Dérivées

*         Intégrale – Approche avec 1/x

*         Liouville

*         Nombre e

*         Nombre imaginaires

*         Nombre Pi

*         Nombres Périodiques 

*         Riemann

*         Types de nombres selon leurs diviseurs

*         Volume du tétraèdre et autres

Livre

*         Cette page a été constituée notamment d'après Pierre Cartier - Larousse Année 1994

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