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Géométrie

 

Débutants

Géométrie

TOPOLOGIE

 

Glossaire

Topologie

 

 

INDEX

Topologie

 

Conjecture de Poincaré

Caractéristique d'Euler-Poincaré

Outils de la topologie

 

Sommaire de cette page

>>> Rappel

>>> Homéomorphisme

>>> Inclusion et immersion

>>> Groupe fondamental

>>> Théorème de l'uniformisation

>>> Conjecture de Thurston

>>> Flot de Ricci

 


 

TOPOLOGIE

 Outils

 

Une approche des outils de la topologie. Ceux qui ont été développé pour démontrer la conjecture d'Euler-Poincaré.

 

 

Rappel de notions de topologie

 

*      Surface, variété ou manifold

*      Courbure

*      Contraction

*      Décomposition

*      Chirurgie

*      Caractéristique d'Euler-Poincaré

*      TopologieIndex

 

 

 

Homéomorphisme

 

*      Terme consacré au concept fondamental de la topologie d'équivalence entre objets, comme la tasse et le tore.

*      Deux objets sont homéomorphes, ou topologiquement équivalents, si l'un  peut devenir l'autre en se déformant continûment par étirement, plissement et compression, sans déchirure, ni collage, ni pli marqué.

 

Voir Homotopie

 

 

 

Inclusion et plongement

 

*      Inclusion: une courbe dans un plan, la lettre O écrit sur une feuille de papier …

*      Immersion: Une courbe fermée pliée, comme un huit, dans le plan est un plongement du cercle. Il faut le tordre de le placer sur le plan.
Objet qui se recoupent ou se traversent dans son propre espace comme la bouteille de Klein.

 

Note: le terme plongement est aussi utilisé. Son sens diffère selon les sources.

 

*      Pour caractériser le degré d'immersion ou d'inclusion d'une boucle plus ou moins tordue dans le plan, on compte le nombre de tours qu'effectuerait une tangente à cette boucle, partant d'un point de départ et y retournant.

 

Note: il existe de belles vidéos sur Internet illustrant ce principe. Le Topologicon illustre très bien ce propos.

 

 

 

Groupe fondamental

 

*      Poincaré est à la recherche d'un invariant topologique pour effectuer une classification des espaces et des corps. Il met au point le concept de groupe fondamental.

*      Le groupe fondamental caractérise une famille d'objets comme la famille de la sphère ou celle du tore ou encore celle du bretzel à deux trous ou à trois trous …

 

 

On utilise le truc de l'élastique posé sur la surface. Peut-on fermer une boucle tout en laissant l'élastique glisser sur la surface? C'est possible sur un ballon. Ce n'est pas possible dans tous les cas avec une tasse ou une poubelle du fait des anses!

 

Le groupe fondamental d'une famille d'objets témoigne du nombre de trous dans cet objet.

 

Simple! Oui, pour la sphère classique; pas sûr pour la dimension supérieure! Car, en passant aux dimensions supérieures l'élastique passe lui aussi à la dimension supérieure (n-1 pour des objets de dimension n).

 

Sphère classique ou Coquille

Sphère-surface S2

Sphère ou Boule

Sphère-volume S3

Lacet élastique      D1

Sphère surface      D2

Dans un espace    D3

 

*      Boucle élastique réductible à une mini-boucle, comme si la elle enlaçait un point fictif de la surface.

*      Le groupe fondamental de la famille sphère-surface (ou coquille) est le plus simple. Il n'y a qu'une seule possibilité de placer l'élastique.

*      C'est un groupe trivial. Un groupe d'objets semblables dit groupe d'homotopie; c'est même le premier groupe d'homotopie.

 

Feuille élastique              D2

Sphère boule                   D3

Dans un hyper-espace  D4

 

*        Feuille élastique qui se réduit de telle manière que tous les points de ses bords rejoignent un point fictif.

*        La question qui se pose est la suivante: est-ce que en S3, comme c'est le cas en S2, la feuille élastique va pouvoir se rassembler en un point?

*        Tous les objets qui le font sont du deuxième groupe d'homotopie.  

 

*      La conjecture  de Poincaré:

 

Est-il possible que le groupe fondamental d'une variété soit trivial et que cette variété ne soit malgré tout pas homéomorphe à une sphère?

ou

Si toutes les boucles ou feuilles élastiques peuvent être réduites à des points, alors l'objet peut être déformé pour obtenir une sphère.

 

*      Elle a d'abord été résolue pour toutes les dimensions sauf une. Elle a longtemps buté sur le cas la sphère-boule (dimension 3).

 

 

 

 

 

 

Théorème de l'uniformisation (de Koebe)

 

Surface à 2 D dans un Espace à 3 D

 

*      Théorème de Koebe: démontré en 1907 par Poincaré et Paul Koebe, indépendamment.

 

 

 

Les objets de dimension 2 sont toutes décomposables en trois surfaces de base différentes: la sphère, le plan et la surface hyperbolique (selle de cheval).

 

Où la topologie recourt à la géométrie et la notion de courbure. Ces trois surfaces sont topologiquement équivalente, quoique:

*      La sphère n'a pas de trou, c'est une surface du genre 0.

*      Le plan, la feuille de papier, peut être enroulée et collée pour donner un tube, un tore ou même une bouteille de Klein. Possédant un trou, ils sont du genre 1.

*      La surface hyperbolique bricolée donne naissance à des bretzels à deux trous et plus. Elle est du genre 2.

 

 

 

Conjecture de géométrisation

de Thurston

 

Surface à 3 D dans un Espace à 4 D

 

*      Théorème d'Adolf Kneser démontré en 1929.

 

Les objets de dimension 3 sont toutes décomposables en formes de base différentes ou variétés premières.

 

Les variétés premières sont assemblées par opérations de chirurgie pour produire des structures plus complexes.

 

*      Conjecture de géométrisation formulée par William Thurston à la fin des années 1970.

*      Cette conjecture (cas de la sphère) englobe celle de Poincaré. La démontrer, c'est démontrer celle de Poincaré.

*      Mais, elle s'applique à un champ plus vaste. Sans doute plus dure à démontrer ?

*      Six des huit variétés ont été démontrées en premier. Deux donnent du fil à retordre: la sphère et la selle de cheval!

 

Les objets de dimension 3 sont décomposables en huit variétés premières: les trois de la dimension 2 passées en dimension 3, et cinq autres.

 

*      La boule, ou surface d'une sphère de dimension 4.

*      L'espace classique (euclidien) de dimension 3.

*      La selle de cheval de dimension 3 (difficile à visualiser!)

*      Deux cylindres de dimension 3, formés à partir de la sphère et de la selle de cheval de dimension 2.

*      Trois autres, difficilement concevables et encore moins imaginables.

 

 

 

 

FLOT de RICCI

 

*      Le flot de Ricci est un outil qui détord, dénoue, simplifie les formes (variétés) topologiques.

*      Techniquement ce flot est une équation différentielle qui décrit un phénomène qui se diffuse, qui s'écoule comme se propage la chaleur dans un volume (Thermodynamique – Fourier – 1822).
 

*      Avec Ricci, c'est la courbure de la forme qui évolue.
Un peu comme une baudruche dont certaines parties se mettraient à enfler tandis que d'autre se rétréciraient.
Évolution étrange de bosses et de creux, mais qui au final tend à simplifier la forme.
Sauf cas particulier faisant apparaître des singularités. Dont celles qui ont donné du fil à retordre à Hamilton.

 

 

 

 

 


 

Suite

*      Courbure

*      Quatre couleurs

*      TopologieIndex

Voir

*      Couleurs

*      Ensemble

Bande dessinée

*      Le Topologicon – Lanturlu

Une vulgarisation de la topologie en bande dessinée écrite par Jean-Pierre Petit

Livre

*      La conjecture de Poincaré – George G. Szpiro – JC Lattès, Points Sciences – 2007 ; Ouvrage très abordable, clair qui narre la recherche de la démonstration: les acteurs, leurs contributions.

Toutes les notions ci-dessus sont formidablement bien expliquées dans cet ouvrage