NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 16/01/2012

Débutants	-Ý- Nombres méandriques		Glossaire
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NOMBRES MÉANDRIQUES

§ Pour un nombre d'intersections fixé entre deux courbes

§ Dénombrer les cas de figures possibles

Anglais: Meandric number

-Ý- APPROCHE

§ Deux courbes qui tricotent § Comment les caractériser ? Exemple Ø Ici les deux courbes sont ouvertes Ø Il y a 3 points d'intersection
§ On prend l'habitude de considérer Ø une des courbes comme une ligne droite, ce qui ne change rien du point de vue topologique § Quant à l'autre, elle peut être: Ø ouverte ou fermée Ici, nous ne considérons que le cas d'une courbe fermée
Notes Aucune des deux ne se recoupe elle-même Les figures obtenues par déformations "légères" de la courbe sont considérées comme semblables

-Ý- CARACTÉRISATION

§ Dans le cas d'une courbe fermée Ø la quantité de points d'intersection est toujours paire Ø Et, on compte le nombre de paires de points d'intersection Exemple Ø Ici les deux paires de points d'intersection
§ Combien existe-t-il de figures présentant deux paires de points ? Ø Voici la seule deuxième possibilité Ø La figure symétrique de la première
§ On dit que la figure est d'ordre 2 Ø 2 paires de points d'intersection § Et que le nombre méandrique est 2 Ø 2 figures distinctes possibles	M2 = 2

-Ý- NOMBRES MÉANDRIQUES

§ Ordre 1	M1 = 1
§ Ordre 2	M2 = 2
§ Ordre 3	M3 = 8

Table des 12 premiers nombres méandriques

M₁ = 1

M₂ = 2

M₃ = 8

M₄ = 42

M₅ = 262

M₆ = 1 828

M₇ = 13 820

M₈ = 110 954

M₉ = 933 458

M₁₀ = 8 152 860

M₁₁ = 73 424 650

M₁₂ = 678 390 116

-Ý- MÉANDRES

Un peu de théorie

§ La théorie des méandres appartient à la combinatoire § Elle cherche à dénombrer Ø la quantité de types de courbes Ø qui coupent une droite Ø selon un nombre de points d'intersection donné § Le dénombrement des méandres est un problème non résolu Ø Il existe divers algorithme pour tenter de les compter jusqu'aux limites de possibilité de calcul de nos ordinateurs § Poincaré s'est intéressé à ces problèmes Meander theory: Enumeration of self-avoiding loop crossing a line through a given number of points: closed meanders, open meanders and semi-meanders

Trois catégories de méandres Méandre fermé Méandre ouvert Semi-méandre (demi-droite) Le problème se complique encore en introduisant les multi-boucles !

Nombre méandrique

§ Un méandre fermé d'ordre n est une courbe fermée sans intersection avec elle-même qui a 2n points d'intersection avec une droite donnée § Le nombre méandrique Mn comptabilise la quantité de cas de figures possibles pour chaque ordre Meanders: A closed meander of order n is a closed self-avoiding loop crossing an infinite line 2n times The meandric number Mn is the number of such meanders distinct up to smooth transformations

On pense que Mn croît exponentiellement Mais aucune formulation n'est connue On en cherche une approximation

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Voir

§ Topologie § Compter § Pavage avec des polygones