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NOMBRES MÉANDRIQUES Pour un
nombre donné d'intersections entre deux courbes, dénombrer les cas de figures
possibles. Un sujet de combinatoire avec
un petit air de topologie. |
Anglais: Meandric
number
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Une analogie: une voie ferrée rectiligne et la
route qui la croie et recroise …
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Deux courbes qui tricotent. Exemple Ici les
deux courbes sont ouvertes. Il y a 3
points d'intersection. |
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On prend l'habitude de considérer une des courbes
comme une ligne droite, ce qui
ne change rien du point de vue topologique (homéomorphisme). Quant à l'autre, elle peut être: ouverte
ou fermée. |
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Notes Aucune des deux ne se recoupe elle-même. Les
figures obtenues par déformations "légères" de la courbe sont considérées comme
semblables. |
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En gros, ça veut dire
que c'est la même forme, via une déformation continue. Comme un tore et une
tasse munie une anse. Une sorte de transformation avec pâte à modeler. C'est une application bijective continue. Une application f de l'espace
topologique X dans l'espace topologique Y est appelée un homéomorphisme
si elle est bijective et si elle est continue ainsi que son inverse. Il est
important de noter qu'une application bijective et continue n'est pas
nécessairement un homéomorphisme. Dans le cas des méandres,
seul les intersections comptent; les deux courbes en jeu peuvent être
déformées tant que les intersections sont conservées. |
Voir Homéomorphisme
en topologie
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Méandres ouverts Dans le cas d'une courbe ouverte, on compte la
quantité d'intersections. Soit quatre sur cette illustration. Les deux
lignes sont orientées |
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Méandres fermés Dans le cas d'une courbe fermée:
Exemple Ici les deux paires de points
d'intersection. Combien existe-t-il de figures présentant deux
paires de points ? On dit que la figure est d'ordre 2: 2 paires
de points d'intersection. Et que le nombre méandrique est 2: 2
figures distinctes possibles. |
M2 = 2 |
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Semi-méandres Dans ce la courbe est fermée et la droite est en
fait une demi-droite. On compte le nombre d'enroulements (de tours)
autour du point d'origine. |
5 intersections 4 intersections 3 tours 0 tour |
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Arches Quantité de paires de pieds de courbes situées d'un
côte de la ligne droite |
4
arches |
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Ordre 1 |
M1 = 1 |
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Ordre 2 |
M2 = 2 |
On sous-entend que la ligne droite est orientée de
gauche vers la droite. De ce point de vue, ces dux
figures sont différentes. |
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Ordre 3 |
M3 = 8 |
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Les douze premiers nombres méandiques |
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Un peu de théorie La théorie des méandres appartient à la combinatoire. Elle cherche à dénombrer la
quantité de types de courbes qui
coupent une droite selon un
nombre de points d'intersection donné. Le dénombrement des méandres est un problème non résolu. Poincaré s'est
intéressé à ces problèmes. |
Trois catégories de méandres
Le problème se complique encore en introduisant les
multi-boucles!
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Nombre méandrique Un méandre fermé d'ordre n est une courbe
fermée sans intersection avec elle-même qui a 2n points d'intersection avec
une droite donnée. Le nombre méandrique Mn comptabilise la
quantité de cas de figures possibles pour chaque ordre. On pense que: Mn croît
exponentiellement Mais aucune formulation n'est connue. On en cherche
une approximation. |
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Table des trois sortes de nombres méandriques
Voir Tables – Index
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Meanders
are combinatorial objects with a topological flavour,
encapsulating properties of the interplay between planarity and
connectedness. They correspond to the systems formed by the intersections of
two curves in the plane, with equivalence up to homeomorphism within the plane. |
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