NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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NOMBRES

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Topolgie

 

Géométrie

Invariants

Nombres méandriques

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Homéomorphisme

>>> Caractérisation

>>> Nombres méandriques

>>> Méandres

>>> Tables

>>> Anglais

 

 

 

 

 

 

NOMBRES MÉANDRIQUES

 

Pour un nombre donné d'intersections entre deux courbes, dénombrer les cas de figures possibles. Un sujet de combinatoire avec un petit air de topologie.

Anglais: Meandric number

 

Approche

 

Une analogie: une voie ferrée rectiligne et la route qui la croie et recroise …

 

 

Deux courbes qui tricotent.
Comment les caractériser ?

 

Exemple

Ici les deux courbes sont ouvertes.

Il y a 3 points d'intersection.

 

On prend l'habitude de considérer une des courbes comme une ligne droite, ce qui ne change rien du point de vue topologique  (homéomorphisme).

 

Quant à l'autre, elle peut être: ouverte ou fermée.

 

 

Notes

Aucune des deux ne se recoupe elle-même. Les figures obtenues par déformations "légères"  de la courbe sont considérées comme semblables.

 

 

Homéomorphisme

En gros, ça veut dire que c'est la même forme, via une déformation continue. Comme un tore et une tasse munie une anse. Une sorte de transformation avec pâte à modeler.

C'est une application bijective continue.

 

Une application f de l'espace topologique X dans l'espace topologique Y est appelée un homéomorphisme si elle est bijective et si elle est continue ainsi que son inverse. Il est important de noter qu'une application bijective et continue n'est pas nécessairement un homéomorphisme.

 

Dans le cas des méandres, seul les intersections comptent; les deux courbes en jeu peuvent être déformées tant que les intersections sont conservées.

 

 

 

Caractérisation

 

Méandres ouverts

Dans le cas d'une courbe ouverte, on compte la quantité d'intersections. Soit quatre sur cette illustration.

 

 

Les  deux lignes sont orientées

 

 

 

 

Méandres fermés

 

Dans le cas d'une courbe fermée:

*    la quantité de points d'intersection est toujours paire;

*    et, on compte le nombre de paires de points d'intersection.

 

Exemple

Ici les deux paires de points d'intersection.

 

Combien existe-t-il de figures présentant deux paires de points ?
Voici la seule deuxième possibilité qui est la figure symétrique de la première.

 

On dit que la figure est d'ordre 2:

2 paires de points d'intersection.

Et que le nombre méandrique est 2:

2 figures distinctes possibles.

 

 

 

 

 

 

 

M2 = 2

 

Semi-méandres

 

Dans ce la courbe est fermée et la droite est en fait une demi-droite.

 

On compte le nombre d'enroulements (de tours) autour du point d'origine.

 

  

5 intersections             4 intersections

3 tours                        0 tour

 

Arches

 

Quantité de paires de pieds de courbes situées d'un côte de la ligne droite

4 arches

 

 

Nombres méandriques fermés

Ordre 1

M1 = 1

Ordre 2

M2 = 2

On sous-entend que la ligne droite est orientée de gauche vers la droite. De ce point de vue, ces dux figures sont différentes.

 

Ordre 3

M3 = 8

Les douze premiers

nombres méandiques

 

 

 

MÉANDRES

 

Un peu de théorie

La théorie des méandres appartient à la combinatoire.

Elle cherche à dénombrer

la quantité de types de courbes

qui coupent une droite

selon un nombre de points d'intersection donné.

Le dénombrement des méandres est un problème non résolu.
Il existe divers algorithmes pour tenter de les compter jusqu'aux limites de possibilité de calcul de nos ordinateurs.

Poincaré s'est intéressé à ces problèmes.

 

Trois catégories de méandres

 

*    Méandre fermé

 

*    Méandre ouvert

 

*    Semi-méandre (demi-droite)

 

Le problème se complique encore en introduisant les multi-boucles!

 

Meander theory: Enumeration of self-avoiding loop crossing a line through a given number of points: closed meanders, open meanders and semi-meanders

 

Nombre méandrique

 

Un méandre fermé d'ordre n est une courbe fermée sans intersection avec elle-même qui a 2n points d'intersection avec une droite donnée.

Le nombre méandrique Mn comptabilise la quantité de cas de figures possibles pour chaque ordre.

 

On pense que: Mn croît exponentiellement

Mais aucune formulation n'est connue. On en cherche une approximation.

 

Meanders: A closed meander of order n is a closed self-avoiding loop crossing an infinite line 2n times

The meandric number Mn is the number of such meanders distinct up to smooth transformations

 

Table des trois sortes de nombres méandriques

Voir TablesIndex

 

 

 

English corner

Meanders are combinatorial objects with a topological flavour, encapsulating properties of the interplay between planarity and connectedness. They correspond to the systems formed by the intersections of two curves in the plane, with equivalence up to homeomorphism  within the plane.

 

 

 

 

 

Suite

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*         Pliage de timbres

*         Topologie

Site

*         OEIS A005315 - Closed meandric numbers (or meanders): number of ways a loop can cross a road 2n times.

*         OEIS A005316

*         OEIS A000682

*         Méandres mathématiques – Wikipédia

*         Approaches to the Enumerative Theory of Meanders – Michael La Croix – September 29, 2003 – pdf 85 pages

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Pavage/Meandre.htm