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Géométrie

 

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Géométrie

TOPOLOGIE

 

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Topologie

 

 

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Topologie

 

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Courbure

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Définition de la courbure

>>> Courbure d'une surface

>>> Géométrie différentielle

>>> Exemple de calculs

>>> Anglais

 

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Source Samsung

 

 

 

COURBURE

Rayon de courbure

 

Appréciation de la nature d'une courbe, d'une surface, d'une variété.

Notion de virage, de sinuosité, de creux, de bosses …

Anglais : Curvature radius

 

 

APPROCHE

 

*      Dans le plan, la courbure est un nombre associé à chaque point d'une ligne. Il témoigne du taux de virage de la courbe. 

 

*      Pour la droite, la courbure est constante, elle est nulle.

*      Pour le cercle, la courbure est également constante, elle est caractérisée par le rayon du cercle. Elle vaut 1/R.

*      Pour une courbe quelconque, la courbure est différente en chaque point de la courbe. Il faut imaginer un cercle qui tangente la courbe au point M considéré. La taille du cercle est ajustée pour refléter la courbure en ce point. Son rayon permet de définir la courbure 1/R en ce point. Le cercle est appelé le cercle osculateur de la courbe.

 

 

Droite

Courbure nulle

 

Cercle

 

Courbure constante 1/R

 

Courbe

 

Courbure variable: 1/R en M

 

 

Une idée du rayon de courbure

   

 Voir Animation sur la page de M. Bourne

 

 

 

Définition de la courbure

 

*      La courbure est un nombre qui mesure la rapidité avec laquelle le tracé d'une courbe s'éloigne  du tracé de la tangente au voisinage d'un de ses points.

 

*      Comme souvent en analyse mathématiques, on s'intéresse non pas au point lui-même, mais à son voisinage.

*      Soit deux point M1 et M2 entourant le point M, distants d'une longueur h.
Les tangentes en M1 et M2.

Les perpendiculaires à ces deux tangentes.

L'angle  formé par ces deux tangentes.

*        La courbure est égale au rapport entre  et h Ou du moins, sa limite lorsque h tend vers zéro.

Un vecteur dans la direction MO lui est associé à la courbure.

 

 

Note: Pour le cercle, cette définition est cohérente avec celle de la mesure des angles en radians:

*      Pour apprécier la notion de courbure sur le plan mathématique, considérons trois niveaux:

*      La courbe C et ses sinuosités;

*      Les tangentes qui enveloppent la courbe le long de ses sinuosités;

*      La courbure qui donne une idée du comportement des tangentes.

 

Bilan

Courbe

Tangente

Courbure

Parcours

Vitesse

Accélération

Vitesse de la vitesse

Niveau 0

Niveau 1

Dérivée première

Niveau 2

Dérivée seconde

y = f(x)

y' = dy/dx

 

y" = dy'/dx = d²y/dx

 

*      En fait, la dérivée seconde (sa norme) de la courbe définie paramétriquement est prise comme définition de la courbure d'une courbe.

 

 

 

Courbure d'une surface

 

*      Pour une courbe, un seul nombre définit la courbure. Pour une surface, il faut ajouter une dimension; il faut deux nombres pour définir la courbure.

 

*      De toutes les courbes qui passent par un point de la surface, on retiendra la courbure maximale et la courbure minimale, avec les signes qui conviennent. Une condition supplémentaire: la normale principale à la courbe doit avoir la même direction que la normale à la surface.

 

*      La courbure moyenne en un point est la demi-somme de ces deux valeurs. La courbure totale est leur produit.

 

 

 

Géométrie différentielle

 

*      Nous venons de constater que la notion de courbure fait intervenir les dérivées où il est question de voisinage, de différences aussi petites que possible. C'est le domaine des équations différentielles.

*      L'aspect plus ou moins tourmenté des courbes, surfaces, variétés de dimension supérieure est caractérisé par des fonctions incluant des dérivées du premier ou du deuxième ordre pour chaque point de l'objet considéré.

*      Selon l'extension des valeurs nécessaires pour décrire ces objets et leurs courbures, nous aurons affaire à

*      une grandeur – un nombre simple (scalaire) ou plus généralement un vecteur,

*      une matrice – un tableau de grandeurs, ou

*      un tenseur – un tableau multidimensionnel de grandeurs.

*      un tenseur de rang 0 est un simple nombre comme la masse ou la température.

*      un tenseur de rang 1 est la série de vecteurs qui décrit les forces agissant sur un corps, par exemple.

*      un tenseur de rang 2 est une matrice qui décrirait les contraintes de forces multiple sur un corps 3D.

 

*      En géométrie, le tenseur décrit les bosses et les creux d'une structure dans l'espace. Les équations différentielles associées à ces tenseurs permettent de décrire le comportement de telles structures.

 

La conjecture de Poincaré a été démontrée en utilisant de tels outils: le flot de Ricci.

 

 

Notion avancée (pour information seulement)

Tout étudiant en licence aura à se familiariser avec ces notions 

 

*      Pour simplifier l'écriture, les mathématiciens utilise un symbole pour caractériser les dérivées d'une fonction multidimensionnelle (ou d'une fonction dans Rn).

 

*      Gradient: c'est la somme des dérivées premières selon tous les axes (ei):

 

*      Laplacien: c'est la somme des dérivés secondes selon tous les axes (ou toutes les variables):

 

 

Voir Opérateurs différentiels

 

 

 

Exemple de calculs

 

Rayon de courbure sur courbes définies

 

Le rayon de courbure en un point donné de la courbe définie par y = f(x) est donné par la formule =>

 

 

Voir Démonstration (anglais)

Exemple: trouvez le rayon de courbure en x = 1 de =>

 

 

y = 2x3 – x + 3

 

Pour x  = 1,   y = 2 – 1 + 3 = 4

 

Allure du graphe =>

 

Dérivées

 

 

 

Voir Dérivées

Calcul de la courbure

 

 

Et sa valeur en x = 1

 

 

 

Coordonnées du centre du cercle osculateur

On connaît un point du cercle:  

T (1, 4)

La pente de la tangente:

dy/dx = 6x² - 1,

soit pour x= 1: m = 5

La normale à cette tangente, un rayon du cercle:

p = – 1/5

Équation de la droite portant ce rayon:

y – y1  = m (x – x1)

y – 4 = -1/5 (x – 1)

 

Ordonnée du centre:

Distance centre au point de tangence = rayon de courbure:

 

Résolution de l'équation du second degré:

Valeur de x avec la racine négative (cf. allure de la courbe)

 

 

English corner

 

We can draw a circle that closely fits nearby points on a local section of a curve. We say the curve and the circle osculate (which means "to kiss"), since the two curves have the same tangent and curvature at the point where they meet.

The radius of curvature of the curve at a particular point is defined as the radius of the approximating circle. This radius changes as we move along the curve.
 

 

 

 

 

Suite

*      Outils à détordre les formes topologiques

*      Courbure et conjecture L2 (relativité)

*      TopologieIndex

Voir

*      Couleurs

*      Courbes élémentaires

*      Ensemble

*      Courbure espace-temps

Bande dessinée

*      Le Topologicon – Lanturlu

Une vulgarisation de la topologie en bande dessinée écrite par Jean-Pierre Petit

Livre

*      La conjecture de Poincaré – George G. Szpiro – JC Lattès, Points Sciences – 2007 ; Ouvrage très abordable, clair qui narre la recherche de la démonstration: les acteurs, leurs contributions.

Sites

*      Radius of curvature – Interactive mathematics – M. Bourne – Anglais, mais très abordable (niveau terminale) – Voir animation en fin de page  

*      Courbes et surfaces – Cours (universitaire) de M1 – Hassan Emamiradpdf

*      Courbes et surfaces – Licence Sciences et Technlogies – Boris Thibertpdf

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http://villemin.gerard.free.fr/aMaths/Topologi/Courbure.htm