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Géométrie

 

Débutants

Géométrie

Généralités

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Géométrie 

Bases

5e postulat

Les trois géométries

Topologie

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Les trois géométries

>>> Illustration

>>> Tentative de démonstration

>>> Historique

>>> Le cercle limite

>>> Calcul de l'aire du triangle

 

 

 

 

Les trois GÉOMÉTRIES

 

Depuis que l'on se s'interdit plus de penser que des parallèles  (Postulat d'Euclide) ne se coupent pas même à l'infini, on parle de géométries au pluriel.

La géométrie est l'une des branches les plus anciennes des mathématiques. D'abord euclidienne, elle va s'ouvrir à deux cousines.

 

 

 

Cinquième postulat d'Euclide

Voir Droites parallèles

 

 

 

Approche

Canberra, capitale de l'Australie

 

Dessiner un triangle reliant trois points de la capitale est un exercice classique. La surface peut être considérée comme plate.

 

La somme des angles de ce triangle, posé sur un plan, est égale à 180°. C'est la géométrie classique dite euclidienne.

Australie et Nouvelle Zélande

 

Dessiner un triangle reliant trois points aussi éloigné sur la sphère terrestre est faisable dans l'absolu (rouge). Cependant, le parcourir en réalité, il faut suivre la courbure terrestre (bleue).

 

La somme des angles est alors plus grande que 180°. C'est la géométrie sphérique.

Le col de la Schlucht dans les Vosges

 

Dessiner un triangle reliant trois points (rouge) pourtant proche est toujours possible par la pensée. Cependant, en suivant le terrain, on forme un tout autre triangle (bleu). C'est la géométrie hyperbolique, dite aussi en selle de cheval; image qui concorde bien avec celle d'un col en montagne.

Voir Géographie

 

 

Les trois géométries

Selon la courbure

 

NÉGATIVE

Hyperbolique

 

 

(selle de cheval)

Lobatchevsky (1826)

 

NULLE

Euclidienne

 

 

Voir Euclide (vers -330)

 

POSITIVE

Élliptique

ou Sphérique

 

Riemann (1854)

Voir Triangle sphérique

Huperbolic geometry

Saddle geometry

Lobatchevskian geometry

Euclidean geometry

Riemannian geometry

Elliptic geometry

Spherical geometry

Angle aigu

(triangle: < 180°)

Angle droit

(triangle: 180°)

Angle obtus

(triangle: >180°)

Sphère

Plan euclidien

Pseudo-sphère

2 (ou infinité)

1 parallèle

0 parallèle

 

 En trois dimensions

 

Infinité de formes.

 

Surfaces à trous ou à anses.

 

Esher a tenté toute sa vie de représenter de telles formes.

 

Il existe une infinité de sortes d'espaces à courbure négative:

certaines fermées (finies),

d'autres ouvertes (infinies).

 

 

Cinq formes génériques:

Plan, Cylindre, Tore

Ruban de Moebius

Bouteille de Klein.

 

Il existe 18 sortes d'espaces tridimensionnels à courbure nulle, de topologies distinctes:

espace euclidien ordinaire,

supertore, etc.

 

 

Deux formes:

Sphère et plan projectif

(difficile à représenter).

Modèle de l'Univers de Fiedmann-Lemaître selon la courbure de l'espace.

Espace ordinaire hyperbolique infini

Espace euclidien ordinaire infini

Sphère à trois dimensions, finie pour l'espace sphérique.

Voir Courbure

 

 

 

 

 

Illustrations

Illustrations du bas: À l'image des GÉANTS – Stephen Hawking – Préface Jean-Pierre LuminetDunod - 2005

 

Tentative de démonstration

Pour prouver le 5e postulat, Saccheri (1667-1733) et Legendre (1752-1833) font l'hypothèse qu'il est faux et tente de trouver une contradiction. Saccheri commettra une erreur et Legendre croit y arriver, mais il a introduit un nouvel axiome: une droite passant par un point intérieur à un angle coupe les droites portées par les côtés de l'angle. Évident, mais pas démontré.

 

 

Historique

Euclide

(vers -300)

Postule que les parallèles ne se rencontrent jamsi (sous une autre formulation).

Posidonius

(vers – 100)

Les droites parallèles sont des droites coplanaires équidistantes: leurs perpendiculaires créent des segments égaux.

Géminus

(vers – 100)

Attire l'attention sur le phénomène asymptotique de l'hyperbole. Pourquoi n'existerait-il pas pour les droites parallèles?

Proclus

(412-485)

Il démontre que si une droite coupe une droite, elle coupe aussi ses parallèles. En fait, il suppose le postulat sans s'en apercevoir.

Idée pour la démonstration: la distance entre deux droites parallèles est une quantité finie.

 

Mathématiciens arabes

Ils sont au moins cinq à avoir tenté la démonstration du postulat.

 

John Wallis

(1616-1703)

Fait admettre l'existence des figures semblables et de leur proportionnalité. Laplace pense que cette assertion est plus naturelle que celle d'Euclide.

Girolamo Saccheri

(1667-1733)

Montre que la similitude revient à dire que pour tout triangle, il en existe d'autres de mêmes angles.

Il énonce les bases de la géométrie non-euclidienne, sans y croire vraiment car trop absurde.

Idée pour la démonstration: un quadrilatère ayant deux côtés égaux et perpendiculaires aux deux autres est un rectangle.

Johann Lambert

(1728-1777)

Theorie der Parallellinien (1786)

Reprend une idée qui date des mathématiciens arables (Ibn al-Haytam) du quadrilatère à trois angles droits et spécule sur la valeur du quatrième: droit, aigu ou obtus.

Idée pour la démonstration: Un quadrilatère ayant trois angles droits est un rectangle.

Adrien Marie Legendre

(1752-1833)

Dans Éléments de géométrie (1794 à 1823) tente la démonstration, mais au prix de l'introduction d'une nouvelle hypothèse équivalente au postulat.

 

Trois mathématiciens vont introduire quasi-simultanément les nouvelles géométries: Gauss, Bolyai et Lobatchecsky

 

 

Carl Gauss

(1777-1855)

Les travaux de ces précurseurs, comme le craignait Gauss, n'ont pas entraîné l'enthousiasme.

Il se serait attelé au cinquième  postulat dès ses 15 ans. Il montre qu'il revient à démontrer qu'il existe un triangle d'aire aussi grande que l'on veut. Il découvre une nouvelle géométrie vers 1813 mais n'ose pas la publier car trop indigeste pour ses amis, pens-t-il.

Janos Bolyai

(1802-1860)

Militaire à la retraite à 31 ans, mathématicien hongrois.

Fils d'un mathématicien amis de Gauss qui avait pour passion le fait de démontrer le cinquième postulat.

En 1820, il abandonne la démonstration et décide de développer une géométrie sans l'axiome des parallèles (La science absolue de l'espace – 1829).

Gauss prend connaissance de ces travaux et l'informe qu'il connaissait ces résultats depuis trente ans, mais ne les avait pas publiés de peur des réactions de ses pairs.

Nikolai Lobatchevsky

(1792-1856)

Mathématicien russe, recteur de l'université de Kazan.

Géométrie imaginaire publié en russe en 1829, puis en français en 1837. Elle dit que par un point extérieur à une droite passent deux droites parallèles à cette droite.

 

Argument de Lobatchevsky

Soit deux droites D1 et D2.

La perpendiculaire D à D2 coupe D2.

La perpendiculaire D1 à D ne coupe pas D2.

Il existe ainsi des droites qui coupent D2 et d'autres qui ne la coupe pas.

Si L est la droite limite entre ces deux classes de droites, les droites dans la région jaune coupent D2 et celles de la région ocre ne la coupe pas.

La suite va s'appliquer à la valeur de l'angle entre L et D1 (angle de parallélisme). Lobatchevsky va en faire une fonction de la longueur de D.

Pour lui, si cette longueur croit de 0 à l'infini, l'angle décroît de Pi/2 à 0.

 

Formule de l'aire du triangle en fonction des angles.

 

Beltrami, Klein, Poincaré, Hilbert, Riemann

Mathématiciens ayant contribué à développer les géométries non-euclidiennes.

Bernhard Riemann

(1826-1866)

Il révolutionne les concepts (1854):

*    dimension n quelconque (variétés, une variété de dimension 2 est une surface),

*    définition différentielle locale,

*    métrique particulière

 

Le cercle de Poincaré et celui tel que vu par Esher et celui

http://wahooart.com/A55A04/w.nsf/OPRA/BRUE-5ZKCYY/$File/Escher%20-%20Da%20Circle.jpg 

Cercles symbolisant l'horocycle de Lobatchevsky: ligne courbe dans un plan telle que toutes les médiatrices de ses cordes soient parallèles entre elles.

Voir Cercle de Poincaré / Cercle

 

 

 

Calcul de l'aire du triangle sur une sphère

 

*      Sphère de rayon R.

*      Les trois angles A, B et C mesurés en degrés.

*      Aire S du triangle sur la sphère.

 

 

Exemple 1

A = B = C  = 90°  et  R  = 1 m

 

 

Exemple 2

 

A = B = 90°  C = 50° et  R  = 3 m

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

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Sites

*    Les géométries non euclidiennes – Jean-Luc Chabert

*    Les géométries non euclidiennes** – Daniel Perrin

*    Non-Euclidean Geometry – Pour l'animation du cercle de Poincaré et les illustrations soignées.

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/GeoTrois.htm