NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

Débutants

Général

Nombres

PRESQUE PREMIERS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

 

Premiers

Nombres

 

k–presque premiers

 Facteurs

 

Sommaire de cette page

>>> Nombres presque premiers

>>> Liste des nombres k-premiers

>>> Nombre de 2 à 100 avec quantité de facteurs

>>> Programme de recherche  de la quantité des facteurs

>>> Programme de recherche des k-uplets de facteurs croissants

 

 

 

 

Famille

Nombre / Diviseurs / Multiplicatif / Premiers

 

… / Types de nombres premiers et cousins

Définition

NOMBRES PRESQUE PREMIERS

 

*  Nombre qui est soit premier, soit semi premier

Un nombre semi premier est le produit de deux nombres premiers.

Non nécessairement distincts.

 

NOMBRES k–PRESQUE PREMIERS

 

*  Généralisation aux nombres comportant k facteurs, répétés ou non.

 

Propriétés

*  Les puissances k de 2 sont les plus petits k-presque premiers.

*  Il existe une infinité d'entiers n tels que n² + 1 soit un nombre presque premier (théorème d'Iwaniec et Richert).

Exemples

  6 = 2 x 3                 2–P

  8 = 2 x 2 x 2           3–P

24 = 2 x 2 x 2 x  3    4–P

Anglais

k – Almost Prime

Voir

*  Place de ces nombres parmi les autres premiers

*  Types de nombres selon leurs facteurs

*  Nombres semi-premiers et k-presque-premiers développement

*  Les k-presque-premiers et les pseudo-premiers

 

 

Liste 50 premiers k-presque premiers

pour k de 1 à 5

 

Les nombres 1 – p  sont les nombres premiers.

Les nombres 2 – p ont deux facteurs, répétés ou non.

 



 

 

Nombres de 2 à 100

avec quantité de facteurs (OMÉGA) et quantité de facteurs uniques (Oméga)

 

Fonctions arithmétiques notées:

*     oméga de n: pour la quantité de facteurs uniques (factorset), et

*     oméga majuscule de n: pour la quantité de facteurs répétés.

 

Tableau (ici k = oméga majuscule et Q  = oméga minuscule)

Records de quantité de facteurs uniques (primorielles):

[2, 1], [6, 2], [30, 3], [210, 4], [2 310, 5], [30 030, 6], [510 510, 7],…

 

Records de quantité de facteurs répétés (puissances de 2):

[2, 1], [4, 2], [8, 3], [16, 4], [32, 5], [64, 6], [128, 7],…

 

Coefficient de puissance des facteurs: kQ =

[1, 1], [2, 1], [3, 1], [4, 2], [5, 1], [6, 4], [7, 1], [8, 3], [9, 2], [10, 4], [11, 1], [12, 9], [13, 1], [14, 4], [15, 4], [16, 4], [17, 1], [18, 9], [19, 1], [20, 9], [21, 4], [22, 4], [23, 1], [24, 16], [25, 2], [26, 4], [27, 3], [28, 9], [29, 1], [30, 27], [31, 1], [32, 5], [33, 4], [34, 4], [35, 4], [36, 16], [37, 1], [38, 4], [39, 4], [40, 16], [41, 1], [42, 27], [43, 1], [44, 9], [45, 9], [46, 4], [47, 1], [48, 25], [49, 2], [50, 9], [51, 4], [52, 9], [53, 1], [54, 16], [55, 4], [56, 16], [57, 4], [58, 4], [59, 1], [60, 64] …

 

Par exemple pour 60 = 22 x 3 x 5 => k = 4 et Q = 3 => 43 = 64. Valeur qui est supérieure à n = 60.

Liste des nombres n < kQ : 60, 120,210, 420, 840, 1260,1680, 2310, 2730, 3360 …

 

Curiosités:

[20, 21,  22] ... [33, 34,35, 36] … [54 à 58] … [91 à 96]: même quantité de facteurs (2).

 

[61, 62, 63] … [73, 74, 75]: quantité de facteurs répétés en progression (1, 2, 3).]

 

[64, 65, 66]: triplet avec quantité de facteurs uniques en progression (1, 2, 3).

Les triplets de ce type commencent par: 64, 103, 128, 163, 193, 271, 283, 313, 343, 397, 463 …
Les quadruplets commencent par: 1 867, 1 999, 3 217, 4 057, 41 77 …

Records successifs: Triplet [3, 64], quadruplet [4, 1 867], [5, 491 851], [6, 17 681 491].

 

Voir Programmes de recherche ci-dessous

 

 

Programme de recherche  de la quantité des facteurs et de leur coefficient de puissance (Maple)

Commentaires

Appel des logiciels de théorie des nombres. Déclaration  de la liste L qui recevra .

Boucle d'analyse de n de 1 à 10, par exemple.

N reçoit les facteurs du nombre n en cours d'analyse (la liste en partie 2). Quantité en q.

En f, on additionne tous les exposants des facteurs (ils sont en deuxième position).

Calcul de la puissance.
Mise en liste du couple A associé à n.

Impression de la liste.

 

En bleu le résultat du traitement.

Voir ProgrammationIndex

 

Programme de recherche

des k-uplets de facteurs croissants

 

Commentaires

Redémarrage,  appel aux logiciels de théorie des nombres.

Ici le k-uplet est un quadruplet (k = 4).

La liste L est remplie des k premières quantités (nops) de facteurs uniques (factorset).  La séquence construit toutes les valeurs de 1 à k.

Lancement de la boucle d'analyse n à partir de k+ 1 (les k premiers sont déjà dans L en tant qu'initialisation).

Pour maintenir k valeur dans la liste, on retire le premier (subsop) et on introduit le suivant.

Un témoin est mis à 1, faisant l'hypothèse que les quantités de facteurs vont croissant.

Analyse des k valeurs de L et test si chacun est égal au précédent plus 1. Sinon, le témoin T est mis à zéro.

Si T s'est maintenu à 1,  les k nombres de L sont croissants et on imprime la valeur n de début de liste.

En bleu, le résultat du traitement.

 

 

 

 

Suite

*         Nombres probablement premiers

Voir

*         Nombres premiers

*         Semi premiers

Site

*         OEIS A177871 – Numbers n such that bigomega(n)^omega(n) > n

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