NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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PUISSANCES

 

Débutants

Général

Puissances de 2

 

Glossaire

Puissance

 

 

INDEX

 

 

Puissances des nombres

 

Approche

Propriétés

Valeurs

Derniers chiffres

Chiffres

Triplets dans P de 2

666 dans les puissances de 2

Premiers entourant 2k

 

Sommaire de cette page

>>> Fractions

>>> Expressions équivalentes

>>> Puissances négatives de 2

>>> Puissances de deux

>>> Cas de 20

>>> Puissances de 2 à étages

>>> Somme des chiffres des puissances de 2

>>> Table de multiplication des puissances de 2

>>> Chiffres des puissances de 2: somme et produit

>>> Puissance de 2 pannumériques

>>> Chiffres identiques contigus

>>> Chiffres pannumériques dans les puissances de 2

>>> Cycles de répétition des derniers chiffres pour les puissances de 1 à 120

>>> Derniers chiffres en 3 et 6

 

 

 

 

PUISSANCE de 2

Table de valeurs

 

 

Fractions en puissances de deux!

 

*   1 / 98 = 01 02 04 08 16 32 65 3061...

Le développement décimal de cette fraction débute par les puissances de 2.

Période du développement: 42.

On note que 98 = 100 – 2; ce qui explique cette propriété.

Avec 1/999…98, on va encore plus loin avec les puissances de 2.

 

*   1 / 49 =  0, 02 04 08 16 32 65 30 61 …

Encore en puissances de deux; normal 98/2 = 49
Or 49 = 7² et on pourrait poursuivre avec 1/7 = 0,142857

 

 Voir Fractions engendrant des puissances

 

 

Expressions équivalentes

 

 

Comment passer d'une formule à une autre ?

224 = 28 + 8 + 8 = 28 x 28 x 28 = 88

On a 24 = 3 x 8 => pour l'exposant 8, le nombre est 23 = 8.

Comment calculer la racine 8e de ce nombre ?

(224)1/8 = (88)1/8  = 8

      

Voir Nombre 158 et le jeu des quatre 4

 

 

Puissances négatives de 2

 

 

Propriétés

 

Les puissances négatives de 2 se terminent alternativement par 125 et 625, sauf les trois premières.

 

 

 

 

 

 

Devinette

Quelles sont les trois dernières décimales de  2-2020 ?

 

Le nombre 2020 est pair, les décimales sont donc: 625.

 

 

PUISSANCES DE DEUX – Table

Avec explications

>>>

20

=

1

*       Pourquoi cette valeur?

>>>

21

=

2

 

>>>

=

4

*       22 =  21 + 21
Seule solution de nx + ny = nz

>>>

23

=

8

 

>>>

24

=

16

 

>>>

25

=

32

 

>>>

26

=

64

*       Mnémotechnique 6 & 6

>>>

27

=

128

 

>>>

28

=

256

 

>>>

29

=

512

 

 

>>>

210

=

1 024

*       Mnémotechnique 10 &10

*        MILLE

*       Correspond à KILO en informatique

>>>

211

=

2 048

 Voir Jeu du 2048

>>>

212

=

4 096

 

 

 

 

 

>>>

216

=

65 536

Sans doute la seule puissance de 2 sans chiffre en puissance de 2: 1, 2, 4, 8.

 

>>>

220

=

1, 048 576 106

*        MILLION

*       Correspond à MÉGA en informatique

= 1 048 576

>>>

222

=

4, 194 304 106

= 4 194 304

>>>

230

=

1, 073 741 824 109

*        MILLIARD

*       Correspond à GIGA en informatique

= 1 073 741 824

 

>>>

250

=

1, 126... 1015

 = 1 125 899 906 842 624

>>>

264

=

1, 84... 1019

 = 18 446 744 073 709 551 616

Voir Légende de l'échiquier

>>>

270

=

1,18… 1021

= 1 180  591 620 717 411 303 424

Somme des chiffres = 70

>>>

2100

=

1, 26... 1030

= 1 267 650 600 228 229

       401 496 703 205 376

>>>

2128

=

3, 40... 1068

*       À comparer au nombre d'atomes dans l'univers: 1078

 

>>>

21000

=

1, 07... 10301

= 10 7150860718 6267320948 4250490600 0181056140 4811705533 6074437503 8837035105 1124936122 4931983788 1569585812 7594672917 5531468251 8714528569 2314043598 4577574698 5748039345 6777482423 0985421074 6050623711 4187795418 2153046474 9835819412 6739876755 9165543946 0770629145 7119647768 6542167660 4298316526 2438683720 5668069376

>>>

22^22 

=

24 194 304

101 260 000

*       Seulement quatre 2 pour un nombre si grand

Voir ci-dessous

Voir Limite de calcul à 228 = 268 435 456

Voir Table des puissances de 2 – Mise en évidence des cycles sur les derniers chiffres

Voir Tables de nombres de Mersenne 2k – 1

 

 

 

Cas de 20 = 1

 

Cette valeur découle de la propriété additive des exposants des puissances:

22 . 20 = 22 + 0 = 22

=> 20 = 1

 

 

 

Puissances de 2 à étages

  = 2 2^22

= 2 ^ (2 ^22) = 2 ^ 2 ^ 22

=   2 4 194 304   10 1 262 610

 

Calcul de la quantité de chiffres de ce nombre:

Avec seulement quatre " 2 ", on atteint cette valeur spectaculaire.

Voir Puissances à étages

 

La valeur du nombre n'est pas atteignable avec un outil de calcul classique. En revanche, la quantité de chiffres est représentée par le plafond du logarithme en base 10 du nombre. Ici, un peu pus d'un million de chiffres.

 

( ( ( ( 2² )² )² )²)² = 265 536 = 1019 729

Non Premier en lui retirant 1.

 

Somme des chiffres des puissances de 2

[1, 2], [2, 4], [3, 8], [4, 7], [5, 5], [6, 10], [7, 11], [8, 13], [9, 8], [10, 7], [11, 14], [12, 19], [13, 20], [14, 22], [15, 26], [16, 25], [17, 14], [18, 19], [19, 29], [20, 31], [21, 26], [22, 25], [23, 41], [24, 37], [25, 29], [26, 40], [27, 35], [28, 43], [29, 41], [30, 37], [31, 47], [32, 58], [33, 62], [34, 61], [35, 59], [36, 64], [37, 56], [38, 67], [39, 71], [40, 61], [41, 50], [42, 46], [43, 56], [44, 58], [45, 62], [46, 70], [47, 68], [48, 73], [49, 65], [50, 76], [51, 80], [52, 79], [53, 77], [54, 82], [55, 92], [56, 85], [57, 80], [58, 70], [59, 77], [60, 82], [61, 74], [62, 85], [63, 89], [64, 88], [65, 86], [66, 109], [67, 110], [68, 103], [69, 89], [70, 70], [71, 86], [72, 109], [73, 110], [74, 130], [75, 125], [76, 106], [77, 104], [78, 100], [79, 110], [80, 112], [81, 107], [82, 124], [83, 122], [84, 118], [85, 128], [86, 112], [87, 107], [88, 115], [89, 113], [90, 118], [91, 146], [92, 139], [93, 125], [94, 151], [95, 140], [96, 127], [97, 137], [98, 112], [99, 107], [100, 115]

Voir Programme de calcul de la somme des chiffres

 

 

Table de multiplication des puissances de 2

Table des puissances de 2 de 1 à 120

 

 

Mise en évidence des puissances avec leurs cycles de répétition des derniers chiffres (couleurs pour les trois derniers chiffres).

 

Les unités se répètent selon un cycle de longueur 4:  2, 4, 8, 6

 

Les deux derniers chiffres se répètent selon un cycle de longueur 20:  4, 8, 16, 32, 64, 28, 56, 12, 24, 48, 96, 92, 84, 68, 36, 72, 44, 88, 76, 52

 

Les trois derniers chiffres se répètent selon un cycle de longueur 100:  8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 24, 48, 96, 192, 384, 768, 536, 72, 144, 288, 576, 152, 304, 608, 216, 432, 864, 728, 456, 912, 824, 648, 296, 592, 184, 368, 736, 472, 944, 888, 776, 552, 104, 208, 416, 832, 664, 328, 656, 312, 624, 248, 496, 992, 984, 968, 936, 872, 744, 488, 976, 952, 904, 808, 616, 232, 464, 928, 856, 712, 424, 848, 696, 392, 784, 568, 136, 272, 544, 88, 176, 352, 704, 408, 816, 632, 264, 528, 56, 112, 224, 448, 896, 792, 584, 168, 336, 672, 344, 688, 376, 752, 504.

 

La période pour m derniers chiffres: Lp = 4 . 5m – 1, et la période commence à partir de  2m

Pour m = 3, on retrouve bien: 4 x 52 = 100 et elle commence pour n = 3 à 23 = 8; on la retrouve en n = 103.

 

Bilan pour m successifs de 1 à 10: 4, 20, 100, 500, 2 500, 12 500, 62 500, 312 500, 1 562 500, 7 812 500 …

 

Voir Propriétés des puissances de 2

 

 

 

 

Voir Programmation – Derniers chiffres des puissances

 

Derniers chiffres en 3 et 6

 

Recherche

Recherche des puissances de 2 dont les derniers chiffres sont 3 ou 6.

 

On utilise la propriété suivante:
Sachant que 10n = 2n × 5n, on déduit que les nombres de la forme 10na + b sont divisible par 2n si et seulement si le nombre b l'est.

 

Alors, on teste la divisibilité des nombres en 3 et 6 de plus en plus grand, divisibles par les puissances de 2 successives.

 

 

Résultat

Nx6 désigne un nombre N suivi d'un chiffre inconnu puis d'un 6.

On teste l'ajout d'un 3 ou d'un 6 devant le nombre précédent. Si ce nouveau nombre est divisible par la prochaine puissance de 2, on le conserve (colonne "oui").

La colonne de droite montre les puissances de 2 qui satisfont le critère en 3 et 6. Il se trouve qu'un seul des deux cas marche à chaque fois.

La plus grande puissance de 2 trouvée est 1 111 196. La prochaine n'est pas 11 111 196.

 

 

Table des premières occurrences

Voir Brève 715 / Nombre 6 366 336

 

 

 

 

Suite

*    Chiffres des puissances de 2

*    Puissances de 2 mod 99

*    P3 et 9 à étages

*    Puissance des nombres – Autres pages

Autour des puissances de 2

*    Nombres de Mersenne

*    Nombres de Fermat

Voir

*    PuissancesIndex

*    Puissances de 2 et nombre 142857

*    Puissances et exposants

Sites

*      OEIS A000689 – Final one digits of 2^n

*      OEIS A000855 – Final two digits of 2^n

*    OEIS A126605 – Final three digits of 2^n

*    Patterns in the Last Digits of the Positive Powers of Two – Rick Regan

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