NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

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FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Super-factorielles

Primorielle

Comporielle

 

Sommaire de cette page

>>> Primorielle

>>> Valeurs

>>> Primorielles et premiers

>>> Premiers dans l'intervalle

>>> Primorielle premières

>>> Plage de composés derrière la primorielle

 

 

 

 

PRIMORIELLES

 

Les primorielles sont construites comme les factorielles, mais en ne retenant que les nombres premiers successifs.

Elle est notée n#. 

Par exemple   5#  = 1 x 2 x 3 x 5 = 30 (sans le 4)

Nom donné par Harvey Dubner.

Anglais - Primorial

 

 

PRIMORIELLE (n)

 

Définition

 

Produit des nombres premiers successifs jusqu'à n, n compris s'il est premier. Noté n# ou, parfois P(n).

Exemples

P(5) = 5# = 1 x 2 x 3 x 5 = 30

P(6) = 6# = 1 x 2 x 3 x 5 = 30

P(7) = 7# = 1 x 2 x 3 x 5 x 7= 210

P(8) = 8# = 1 x 2 x 3 x 5 x 7= 210

 

Valeurs successives

 

2#  = P   (2)

= 2

= 2

=   1 x 2

3#  = P   (3)

= 2 x 3

= 6

=   2 x 3

5#  = P   (5)

= 2 x 3 x 5

= 30

=   5 x 6

7#  = P   (7)

= 2 x 3 x 5 x 7

= 210

= 14 x 15

11#  = P (11)

= 2 x 3 x 5 x 7 x 11

= 2 310

= 42 x 55

13#  = P (13)

= 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13

= 30 030

= 165 x 182

17#  = P (17)

= 2 x 3 x 5 x 7 x 11 x 13 x 17

= 510 510

= 714 x 715

 

 

Propriétés

 

*       Du fait de leur définition (se référer à la table ci-dessus):

*    Un nombre hautement composé ne contient aucun facteur carré.

*    La quantité de facteurs croît également en passant d'un nombre hautement composé au suivant.

 

*       Les primorielles de 2, 3, 5, 7 et 17 peuvent être représentées comme produit de deux nombres consécutifs. Ce sont les seules valeurs ayant cette propriété.

 

*       Les valeurs des primorielles croissent rapidement. Il est vrai que la plupart des entiers ont très peu de diviseurs premiers distincts. Les primorielles, bien qu'en nombre infini, sont exceptionnelles, très peu dense parmi les entiers.

 

*       Tout nombre hautement composé est un produit de primorielles.

 

Moyenne selon les plages

   

10²

=>

1,71

108

=>

2,9

10100 = 1 googol

=>

5,4

10googol

=>

23,9

 

 

Primorielles – Table

 

 

 

Primorielles et infinité de premiers

*       Soit n le plus grand nombre premier.

n le plus grand des premiers

*       Et, étudions le nombre N.

Deux cas possibles =>

N = n# + 1

N premier ou pas

Cas 1) – Supposons N premier.

*       Pas possible car N serait un premier plus grand que n; ce qui est contraire à notre hypothèse.

alerte1.jpg Contradiction

 

N > n

N serait un premier encore plus grand que n

Cas 2) – Supposons N composé.

*       N a au moins un diviseur premier d.

*       Il est plus petit que n, le plus grand des premiers.

*       Or n!! est le produit de tous les premiers jusqu'à n; le diviseur d est parmi eux.

*       Si d divise à la fois N et n#

il divise n# et n!! +1

Il divise 1.

Rappel: la barre verticale veut dire "divise".

*       Or, d est un diviseur premier, donc différent de 1.

alerte1.jpg Contradiction

 

N  = … x d x

               d < n

 

n# = … x d x

 

d  n# + 1 = N

d  n#

d  1

 

d  1

*       Les deux cas analysés conduisent à une contradiction qui atteste que l'hypothèse est fausse. Il n'y a pas un nombre premier le plus grand. Ils sont en nombre infini.

n le plus grand des premiers: FAUX

Infinité de premiers.

Voir Infinité de nombres premiers

 

 

Premiers dans l'intervalle

 

Petit dessin pour situer les nombres premiers tels que montrés dans la démonstration:

Ce dessin illustre le fait qu'il existe toujours un nombre premier entre n et N = n# + 1 (primorielle).

Avec une démonstration du même type, on peut montrer qu'il existe toujours un nombre premier entre n et N = n! + 1 (factorielle).

L'intervalle avec la primorielle (nombres premiers) est plus petit que celui avec factorielle (tous les nombres).

Voir Propriétés des nombres premiers

 

 

 

Primorielle première

 

Comme pour les factorielles, on se pos la question de savoir si les primorielles plus un ou moins un sont des nombres premiers.

 

Liste des primorielles premières jusqu'à 3000



 

Plage de composés derrière la primorielle

 

Comme pour les factorielles, les primorielles sont suivies d'une quantité minimale de nombres composés.

 

En omettant le suivant (+1) qui peut être premier, les p suivants sont composés.

*        n# + 1 peut être premier;

*        n# + p est le dernier composé naturel;

*        n# + p+1, avec p + 1 nécessairement pair, est un composé; et

*        les suivants sont indéterminés.

 

 

Exemple avec primorielle 7 = 210

 

 

Note: 222 = 2 x 3 x 37 ; 223 est premier;
          soit d = 11 composés derrière 211.

 

 

Plage de nombres composés derrière une primorielle

 

Ce tableau donne la quantité d de nombres composés qui suivent le nombre n# + 1. Il est toujours égal ou plus grand que n (sauf pour 2). L'excédent d – n tend à croître avec n, mais souffre d'exceptions, comme avec 59#.

 

 

Merci à Louis F. pour ses judicieuses remarques

 

 

 

 

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