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Calcul de la PRESSION dans un BARRAGE, une retenue d'eau, un bassin Pas facile de se rendre
compte de la pression
de l'eau sur un
mur et de la force
totale exercée sur cette paroi. Elles sont toujours sous-estimées. Quel est
le constructeur qui n'a pas dû reprendre ses calculs et refaire un mur de
soutènement, effondré dès les premières grosses pluies*? Cette page aborde le
principe du calcul de la force de pression sur un barrage et renvoie vers les
pages spécialisées pour le calcul détaillé nécessitant un calcul par
intégration. |
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Exemple vécu: mur sur la colline en face de ma maison (30 m de long et 3 à 5 m
de haut), dévasté par une pluie diluvienne.
Voir le barrage chinois des Trois Gorges
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FORCE de pression de l'eau sur une paroi
verticale (écluse, barrage …) de hauteur h et de largueur L:
Son point d'application se trouve au milieu de la paroi et au deux tiers de la
hauteur de la paroi. Exemple: L = 20 m et h = 1,5
m
Ce qui est
équivalent à 22 tonnes de force. |
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Une masse
d'eau de 1 m3 (1 000 litres) pèse une tonne. C'est le
poids que doit supporter le sol si cette masse est logée, par exemple, dans
un cube de 1 m de côté. Dit-autrement,
si une cuve de taille quelconque contient de l'eau sur une hauteur de 1
mètre, la pression au sol est uniformément
de 1 tonne par m². En
prenant une petite zone de 1 cm² au sol, le volume de la colonne d'eau à sa
verticale est égale à 0,1 litre, soit une pression de 0,1 kg/cm² Note: pour être correct, ceci est la contribution de la masse d'eau, il
faudrait lui ajouter le poids de l'atmosphère qui pèse sur cette masse d'eau.
Sa pression est justement une atmosphère (1 bar). >>> |
Valeur souvent arrondie à 9 810 Pa ou 9,81 kPa |
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Se remettre les unités en mémoire …
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On ne dit pas 0,1 kg/cm², mais: 0,1 kgf
/cm² (kilogramme-force ou kilogramme-poids par centimètre carré). Ou, encore mieux, parler en Pascal = 1 N/m² (Système SI). On se souvient aussi que 1 kgf =
9,81 N (newtons). Tableau
de conversion
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Une cuve
pleine d'eau. Quelle est la force exercée sur le fond ? Sa taille: 10 cm x 10 cm x
10 cm = 1000 cm3 Sa masse: 1 litre => 1
kilogramme Sa surface au
sol: 10 cm x 10 cm = 100 cm2. Pression sur
le sol: 1 / 100 = 0,01 kgf/cm2 = 981 Pa Force
appliquée au sol: toute la masse
concentrée au centre de gravité (liquide homogène, pression équirépartie):
Centre de
poussée: confondu
avec le centre de gravité dans les conditions
simplificatrices indiquées. |
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Comment calculer les
caractéristiques de la force exercée par la masse de l'eau (milieu homogène)
sur la surface plane horizontale (poussée équirépartie) ? |
Méthode
de calcul à l'ancienne en découpant le volume complet en petits volumes: des
colonnes de 1 cm x 1 cm de section au sol. PRESSION sur
le sol: 0,01 / 1 = 0,01 kgf/cm2 = 981 Pa, la même que pour toute la
masse d'eau (évidemment) FORCE
appliquée au sol: la masse de la
colonne sur cette mini-surface:
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Effet de toutes
les mini-surfaces. Méthode généralisable pour
des pressions non homogènes notamment pour
une paroi verticale. |
Force appliquée au centre de gravité du fond de
la cuve, plus généralement, son barycentre;
dirigée vers le bas. |
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Bilan Force et pression |
Une pression homogène de 0,01 kgf/cm² sur une
surface de 100 cm² engendre une force dont l'intensité est égale à la pression multipliée par
la surface, soit 0,01 x 100 = 1kgf. |
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La force de pression qui s'exerce sur le fond d'un récipient
est totalement indépendante de la forme des parois. Elle ne dépend
pas de la
quantité de liquide
présente dans le
récipient mais uniquement
du poids de
la colonne de liquide réelle ou virtuelle située à la verticale du
fond. |
Voir Paradoxes
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De manière formelle sur
mini-surface |
P la pression en N / m² = Pa F la force exercée sur un élément de
surface en N.
g est l'accélération de la pesanteur:
9,81 m/s² h l'immersion en mètres (hauteur à partir
de la surface). dS un élément de surface en m² |
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Extension à la surface complète |
Le calcul
de la somme des contributions (méthode des mini-surfaces) ou mieux, le
calcul
par intégration donne le résultat suivant: Voir
Sites indiqués pour le détail du calcul par intégration
Le calcul
formel montre qu'il s'agit en fait, et tout simplement, de la pression
moyenne multipliée par la surface.
Graphe: intensité de la
force en fonction de L et de h
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Bilan |
La force appliquée à une paroi rectangulaire verticale est égale à la pression moyenne multipliée par sa surface. Cette force est appliquée en son barycentre. |
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Barycentre La
pression n'est pas homogène. Elle dépend de la hauteur de la masse d'eau. Elle est
indépendante de son volume, de son étendue en surface. La
pression sur la paroi verticale de la cuve va croissante avec la profondeur
d'eau (on parle de prisme de pression). Exemple
La force
résultante appliquée à la paroi de la cuve doit tenir compte de toutes ces
contributions différentes. Le centre
de poussée (barycentre des pressions) est situé plus
bas que le centre de gravité. Calcul Le calcul de la position est complexe: équilibre
des moments
des forces. Pour une paroi rectangulaire, le centre de
poussée se trouve au 2/3 de la profondeur. Soit à 1 m d'immersion pour notre exemple (1,5 x 2/3). |
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Discussion
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Le calcul de l'intensité de la force, tel qu'indiqué
ci-dessus, est conforme à la majorité des références indiquées en liens: calcul de la pression
moyenne et multiplication par la surface. La page de Vincent Bouchon propose de déterminer le
barycentre, puis de calculer la pression en ce
point et, enfin de multiplier par la surface. Notre exemple donne: 221 kN pour le premier calcul et
196 kN pour le second. |
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Hydrostatic force: force due to the
pressure of a fluid at rest. e.g Force exerted on the wall of storage
tanks, dams, ships, etc. |
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Merci à Coustibri pour ses remarques
pertinentes
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Suite |
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Voir |
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Cette page |
http://villemin.gerard.free.fr/aScience/Physique/PRESSION/Barrage.htm
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