NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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ANALYSE

 

Débutants

Général

Primitives et intégrales

 

Glossaire

Primitive

 

 

INDEX

 

Analyse

 

Dérivées

Exemple d'intégration (1)

Exemple de calcul

Intégration – Approche

Exemple d'intégration (2)

Loi de Benford

Intégration – Aires

Exemple d'intégration (3)

Expressions en

Liste de primitives

Intégrale de sin(1/x)

Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Comment estimer une aire ?

>>> Une question de limite

>>> Résumé: intégration et primitive

>>> Calculs pratiques – Mes premières intégrations

>>> Bilan

 

 

 

Humour

Deux mathématiciens au restaurant s'interrogent sur la connaissance en maths de la population. Le niveau moyen est tristement faible, dit l'un. Mais, non ! dit l'autre. Ils en viennent à parier le prix du repas, en prenant la serveuse comme cobaye. Pendant que le premier se rend aux toilettes, le second dit à la serveuse: - Vous aurez 50 euros si vous répondez "un tiers de x au cube" à la question que je vous poserai.

L'autre rentre et le premier apostrophe la serveuse: - dites-moi, jeune demoiselle, savez-vous qu'elle est l'intégrale de x au carré ? La serveuse réfléchit, tourne la tête et finalement énonce: "un tiers de x au cube". Le perdant bon joueur admet qu'il doit payer le repas.

La serveuse quitte les deux mathématiciens en murmurant: - il ne faut oublier la constante !    

Voir Pensées et Humour

 

 

Intégration – Approche

Calcul intégral ou intégration, c'est quoi en un mot ? Simplement, un calcul de surface !  Oui, mais dans des cas un peu problématiques comme la surface sous une tranche de parabole ou comme l'aire de la partie ocre sous la courbe de la figure.

 

Voir Découverte progressive du calcul intégral

 

 

Comment estimer une aire ?

 

Méthode classique

Elle consiste à comparer l'aire à estimer avec des surfaces d'aire connue, comme ici avec des bandes rectangulaires verticales.

 

Exemple

Avec un quart de cercle de rayon 10, l'aire est connue: Pi x 10² / 4 = 78,54. Mais sans cette connaissance, comment l'évaluer ?

 

En haut, l'aire est encadrée par une valeur minimale (69) et une valeur maximale(85). Une bonne estimation consiste à prendre la moyenne: (69 + 85) / 2 = 77.
Écart: 1,5.

 

En prenant des bandes plus fines (deux fois plus petites, en bas), l'aire minimale devient 73,5 et maximale 82,5; pour une moyenne de 78.
Écart: 0,5.

 

En prenant des bandes de plus en plus fines, l'aire estimée converge vers l'aire réelle.

 

 

Notez que plus la bande verticale est fine et plus elle sont voisine de la bande moyenne.

Voir Méthode d'Archimède pour la parabole / Algorithme d'Archimède pour le cercle (Pi)

 

 

Une question de limite

 

Après avoir noté comment estimer l'aire d'une surface complexe, voyons comment exprimer le calcul.

 

Surface de calcul

On souhaite connaitre l'aire sous la courbe depuis l'abscisse a jusqu'à b.

Pour ces deux abscisses, la courbe se situe aux ordonnées ya et yb et, d'une manière générale un point Mi d'abscisse xi se trouve à l'ordonnée yi.

 

Caractérisation des rectangles

En décidant de prendre k bandes fine entre a et b, la largueur de la bande est égale à (b – a ) / k et la hauteur de la bande moyenne en xi est yi.

L'aire d'un rectangle devient:

Somme des aires

A = somme des aires de toutes les bandes.

 

Calcul discret (= discontinu)

 

 

Calcul continu (passage à la limite)

L'aire réelle sera atteinte lorsque les bandes seront les plus fines possibles, idéalement d'épaisseur nulle; c'est la notion de limite.

La notation introduit le symbole "porte-manteau" en indiquant la plage de calcul (a et b) et en adoptant le symbole dx pour indiquer que les bandes ont une largeur dx très fine.

Avec la connaissance  de l'équation de la courbe (le cercle dans notre exemple), il est possible de développer une technique de calcul qui donnera directement l'aire sous la courbe.

Cette technique s'appelle le calcul intégral.

 

Le symbole en 'porte-manteau" est appelé signe somme, signe d'intégration, signe intégral ou intégrateur; il a été introduit par Leibniz.

 

Général

 

 

Équation du cercle et intégrale

 

 

 

Résumé: intégration et primitive

L'aire sous une courbe peut être estimée par un pavage de bandes fines rectangulaires. La valeur estimée est d'autant plus proche de la valeur réelle que les bandes sont fines.

 

La technique d'intégration résulte d'un passage à des bandes d'épaisseur mathématique nulle. Un passage à la limite qui se prête à une technique opératoire appelée intégration et faisant appel à la primitive d'une fonction.

 

La primitive étant en quelques sorte la dérivée inverse d'une fonction; dit-autrement: connaissant la dérivée retrouver la fonction.

 

 

Calculs pratiques – Mes premières intégrations

 

Aire du rectangle avec la méthode d'intégration

Il s'agit de calculer l'aire pour la droite d'équation y = 10 dans deux cas: aire en jaune et aire en ocre.

L'équation est connue y = 10.

Nous devons connaitre la primitive, inverse de la dérivée. Autrement dit: quelle est la fonction qui donne la constante 10 comme dérivée ?

 

 

La règle du calcul pratique dit que:

 

L'aire cherchée est égale à la différence entre les valeurs de la primitive au deux bornes de la plage.

 

 

Le calcul par intégration restitue bien les valeurs classiques des aires des rectangles:

Jaune: 3 x 10 = 30

Ocre:    7 x 10 = 70

Aire du triangle

 

 

 

Jaune: ½ (3 x 3) = 4,5

Ocre:    ½ (10 x 10) – 4,5 = 45,5

Aire du segment de parabole

 

 

 

 

 

Bilan

Si nous connaissons les dérivées nous pouvons en déduire les primitives correspondantes et, en appliquant la méthode proposée (non justifiée à ce niveau d'initiation), nous pouvons calculer l'aire sous une courbe quelconque dont nous connaissons l'équation.

La méthode ne marche, évidemment, que si la courbe varie régulièrement (la fonction est continue).

Et après …

À ce niveau d'explication, la notion d'intégration est relativement simple. Son usage devient vite un casse-tête pour des fonctions plus élaborées et, surtout, pour les calculs comportant plusieurs niveaux d'intégration (calcul de volumes et plus). Mais, pas moyen d'y échapper, c'est le seul outil vraiment efficace pour un grand nombre de problèmes: là où on connait le comportement local ou instantané et que l'on veut en déduire le comportement général.

 

 

 

Suite

*    Intégrale – Approche avec 1/x

*    Calcul du volume du prisme dans le cylindre

*    Calcul du volume de la sphère

Voir

*    Aires

*    Brève 243 – Calcul différentiel et intégral

*    DérivéesGlossaire

*    Équations différentiellesGlossaire

*    Infinitésimaux

*    Limite

*    Physique en seconde

*      VitesseGlossaire

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