NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sciences

Principe d'Archimède

Pompage

 

Sommaire de cette page

Le principe simplement

>>> Flotter ou couler

>>> Même volume: comportement

>>> Sous-marin

>>> Débordement

 

Application

>>> Couple dans une piscine

 

 

Suite

Euréka d'Archimède

>>> Approche

>>> Histoire

>>> Légende

>>> Poussée d'Archimède

>>> Théorème d'Archimède

>>> Gauss

 

 

 

 

 

Principe d'Archimède

 

 

Un corps plongé dans un fluide reçoit une force verticale dirigée vers le  haut égale et opposée au poids du fluide déplacé.

 

 

D'accord, mais qu'est-ce que cela veut dire. Comment visualiser? Comment interpréter? Comment le retenir une fois pour toute?

 

Illustration

Note: la densité moyenne du corps humain (1,062 g/cm3) est proche de celle de l'eau.

Dit-autrement: le volume d'un homme de 70 kg est légèrement supérieur à 70 litres.

Voir Molécules d'eau du bain d'Archimède

 

 

 

Flotter ou couler?

 

*    Comment l'eau sait que le bois doit flotter et le fer couler?

*    Quel est le phénomène décisionnel ?

*    La densité! Ah oui! Ce qui est plus dense que l'eau coule et ce qui est moins dense flotte.

 

 

Pour le même volume

de deux objets

Densité: rapport entre les deux masses.

Masse volumique: masse   de l'objet par unité de volume.

Approche, en gros

Un objet plus dense "s'enfonce" dans le moins dense.

Un objet peu dense "reste en surface" d'un objet plus dense que lui.

Modifier la densité

Prenons un objet lourd. Plus il est évidé, gardant le même volume, il devient moins dense. Il devient "plus léger" (pour un volume donné). Voilà pourquoi les objets creux comme les bateaux flottent. 

Voir Notion de pression

 

 

 

Même volume: comportement?

 

*    Prenons trois objets de même volume et de masse différente.

*    Que se passe-t-il lorsque ces objets sont plongés dans l'eau?

 

 

*    Chaque objet est soumis à la gravité. Il exerce une force orientée vers le bas, égale à son poids.

*    Sous l'effet du poids, l'objet s'enfonce dans l'eau en déplaçant le volume d'eau correspondant. L'eau tente de s'opposer au poids. Le niveau d'eau monte.

*    Le poids de l'eau déplacé compense le poids de l'objet.

*    L'équilibre est atteint en cas d'égalité. Sinon, si le volume occupé, donc le poids de l'eau déplacée, n'est pas suffisant, l'objet coule.

 Explication plus précise ci-dessous

 

Sous-marin

 

Principe d'Archimède appliquée au sous-marin:

*    Pour que le sous-marin reste sous l’eau à une profondeur constante, sa densité doit être égale à la densité de l’eau.

*    Si la densité du sous-marin est supérieure, il descend, et

*    Si sa densité est inferieure, il remontera vers la surface.

 

À la conception, la pesée du sous-marin est calculée pilepoil. Durant la navigation, des réservoirs (ballasts) sont remplis d'eau ou d'air pour faire descendre ou monter l'engin. En cas de gros problème, le sous-marin peut remonter en lâchant un lest embarqué en permanence.

Voir Sous-marins

 

 

Débordement

 

Énigme

Un bateau flotte sur l'eau avec son équipage, des figures en plomb. Le bassin est rempli d'eau à ras bord.

L'équipage tombe à l'eau. Est-ce que le bassin déborde?

 

Solution

Non, même, en principe le niveau va baisser.

 

Explication (exemple de l'illustration)

Le bateau et les figurines déplacent un grand volume d'eau (13 l) égal au poids des figurines.

Les figurines dans l'eau ne font monter l'eau que de leur volume (1l).

 

 

 

On néglige l'effet du bateau

qui sert seulement à faire flotter le bloc de métal.

 

 

 

 

Eurêka d'Archimède – Un exemple historique

 

 

Approche

 

*  EURÊKA interjection; du grec hêurêka, j'ai trouvé.
Exclamation attribuée à Archimède découvrant dans son bain la poussée des liquides sur les corps immergés;
Parole de contentement qu'on emploie lorsqu'on trouve brusquement une solution, une bonne idée; ex: Eurêka! j'ai la solution. 

Larousse

 

 

 

La petite histoire!

 

*  Le roi de Syracuse Hiéron II de Syracuse (306-214) se fait faire une couronne en or en fournissant la quantité d'or nécessaire.

*  L'orfèvre lui présente la couronne ainsi réalisée. Très bien!

Mais le roi a un doute et voudrait savoir si l'orfèvre a bien utilisé tout l'or; s'il n'en a pas escamoté une partie.

La pesée montre que la couronne a bien le même poids que l'or fournit au départ.

Mais est-ce suffisant?

*  Le roi confie le problème à Archimède.

 

 

 

 

*  Ce qui est suspecté: que l'orfèvre ait remplacé de l'or par de l'argent qui a moins de valeur et que celui-ci se soit arrangé pour obtenir le poids correspondant au poids de l'or fourni par le roi.

*  Oui, mais alors, l'argent et l'or n'ayant pas la même masse volumique, s'il y a fraude, le volume doit être plus grand.

Or:         19,3 kg pour un dcm3 (1 litre) ou 19 300 kg.m-3

Argent:  10,5

à poids égal, il faut un plus grand volume d'argent que d'or.

*  Voici donc le problème tel qu'il se pose à Archimède:

Comment déterminer s'il y a eu changement de volume entre

le lingot d'or mis à disposition par le roi

la couronne telle que fournie par l'orfèvre.

 

 

 

 

*  Archimède cogite dans son bain (aux bains publics) en observant des objets qui flottent …

*  Soudain, il en sort tout joyeux, sans même se soucier de sa tenue vestimentaire et s'écrie: eurêka, eurêka.

*  Il venait de trouver ce qui est connu aujourd'hui comme le théorème d'Archimède.

*  Et voilà un moyen astucieux pour comparer des poids en mesurant des volumes.

 

 

 

 

*  Archimède (-287 à -212 av. J.-C. - Syracuse) fait l'expérience devant le roi.

-         Une cuve remplie à ras-bord est placée dans une cuve plus grande et vide; le lingot d'or fait déborder la cuve pleine; la grande cuve récupère l'eau dont la quantité est représentative du volume du lingot.

archimed

-         La cuve est à nouveau remplie à ras-bord, et elle est placée dans une deuxième grande cuve vide; la couronne fait déborder la cuve pleine; la deuxième grande cuve récupère l'eau dont la quantité est représentative du volume de la couronne.

-         Il suffit de comparer le volume dans chacune des deux grandes cuves.

*  L'orfèvre est confondu! Le volume dans la cuve-couronne est légèrement plus grand; il y a bien eu remplacement d'or par de l'argent.

 

*  Variante: On opère la première phase de l'expérience: le lingot d'or déplace une certaine quantité d'eau. Ensuite, on remplace le lingot par la couronne. Si la couronne est en or pur, l'eau ne débordera pas. Par contre, si sa densité de la couronne est plus faible (son volume est plus important pour la même masse), de l'eau supplémentaire débordera.

 

 

 

Légende?

 

*  L'histoire ajoute qu'Archimède aurait été mis à mort s'il n'avait pas pu démontrer la fraude.

*  C'est l'architecte romain Vitruve  qui raconte cette histoire quasiment deux siècles après les faits.

Mais, il semble que ce soit plutôt une légende.

En effet, la différence de volume aurait dû être si faible qu'Archimède, avec les appareils de l'époque n'aurait pas pu mesurer l'écart.

 

 

 

Expérience basée

sur le théorème d'Archimède

 

*    Comment réaliser une expérience prouvant la fraude en utilisant strictement le principe d'Archimède, c'est-à-dire en mesurant une poussée due à un fluide? L'expérience se passe également en deux temps: à sec et en milieu aqueux.

*    La pesée est effectuée en équilibrant le poids de la couronne par une quantité suffisante d'or.

 

 

*    Les deux objets sont immergés complètement dans de l'eau.

*    La couronne n'est pas en or pur.

*    À poids égal, son volume est plus grand que celui des lingots d'or.

*    La poussée d'Archimède, force verticale dirigée vers le haut, est plus grande.

*    Le fléau de la balance bascule vers la gauche. Preuve de la supercherie.

 

 

 

 

Théorème d'Archimède

(ex principe d'Archimède)

 

Approche

 

*    Isolons par la pensée un cylindre d'eau dans un récipient d'eau. L'eau est au repos. Ce cylindre d'eau est en équilibre. Son poids est compensé par les forces de pression de l'eau sur le cylindre imaginé. Quelles sont-elles?

*           les forces sur les parois verticales s'équilibrent de part et d'autre (c'est le cas de tout couple de points opposés par un diamètre horizontal).

*           la colonne d'eau qui surmonte le cylindre imaginé "pèse" sur sa base circulaire haute

*           sur la base circulaire basse "pèse" en plus le cylindre d'eau lui-même.

*    Bilan: c'est le différentiel des forces sur le haut et le bas du cylindre qui compense le poids. C'est donc le poids du liquide du cylindre imaginé.

 

*    Théorème de la solidification: en immergeant un objet de la même taille que notre cylindre imaginé, les mêmes forces du fluide alentour s'expriment. Le différentiel de forces sur le haut et sur le bas est toujours égal au poids du volume d'eau du cylindre.

 

*    Pour une explication plus rigoureuse, il faudrait tenir compte de la pression atmosphérique. Le résultat serait inchangé. Pour généraliser, il faudrait prendre un volume quelconque et procédé à un calcul aux limites faisant intervenir des intégrales.

 

Théorème

 

Formulation brève: poids du volume d'eau.

 

En valeur, la poussée d'Archimède est égale au poids du volume de liquide déplacé.

 

Formulation précise: un objet immergé déplace autant d'eau que nécessaire pour obtenir l'équilibre.

 

Dans un liquide, plongeons un objet qui va flotter. Cet objet s'enfonce en déplaçant un volume de liquide d'un poids égal à celui de l'objet entier.

Proposition n°V d'Archimède

 

La résultante des forces de pression exercées sur un corps totalement immergé dans un fluide est opposée au poids du fluide déplacé.

 

Formulation de la poussée: constat de l'équilibre.

 

Tout corps plongé dans un fluide au repos, entièrement mouillé par celui-ci ou traversant sa surface libre*, subit une force verticale, dirigée de bas en haut et opposée au poids du volume de fluide déplacé; cette force est appelée poussée d'Archimède.

* Autrement-dit: flottant ou complètement immergé.

 

*    Selon la valeur de la poussée, le corps coule, se maintient en équilibre dans le liquide ou flotte.

*    En particulier: un corps plus lourd que le liquide où on l’abandonne descendra au fond. Son poids dans le liquide diminuera d’une quantité mesurée par ce que pèse un volume de liquide égal à celui du corps.

 Proposition VII d'Archimède

 

Le centre de poussée  G

*    Le point d'application de la poussée d'Archimède se trouve au centre de gravité du volume du fluide déplacé (attention: pas celle du corps dans le fluide). Point appelé, centre de carène par les architectes navals.

 

*    Deux cas à considérer:

*       Si le solide immergé est homogène, alors le centre de poussée G est confondu avec le centre de gravité du solide. L’équilibre du solide est indifférent.

*       Si le solide immergé est hétérogène, alors le centre de poussée G n'est pas confondu avec le centre de gravité du solide. L’équilibre du solide est stable si G est au dessus. Il est est instable si G est au dessous.

 

Voir Poussée d'Archimède dans l'air

 

 

 English cormer

Archimedes' principle states that the upward buoyant force that is exerted on a body immersed in a fluid, whether fully or partially submerged, is equal to the weight of the fluid that the body displaces and acts in the upward direction at the center of mass of the displaced fluid.

 

 

 

GAUSS aussi … crie eurêka

 

*  Gauss dans Disquisitiones Arithmetica a prouvé la formule suivante en l'annotant ainsi:

 

Eurêka!     N =

*  Qui signifie que:

 

Tout nombre entier est la somme de trois nombres triangulaires.

 

Voir Généralisation avec le théorème de Waring

 

 

 

 

 

 

Couple dans une piscine – Effet sur le niveau d'eau

 

Données

 

Une piscine rectangulaire de 10 x 5 m².

*      Un homme de 75 kg avec 2 m² de surface de peau et 0,8 m² de section dans l'eau.

*      Une femme de 65 kg avec 1,5 m² de surface de peau et 0,7 m² de section dans l'eau.

Le couple sort de la piscine en emportant un film de 1 mm d'épaisseur sur leur surface dans l'eau.

De combien baisse le niveau de la piscine?

 

Commentaires

 

On suppose que chacun fait la planche de sorte que tout le corps est pratiquement immergé. Les deux corps recouvrent ainsi une section de 0,8 + 0,7 = 1,5 m² (vu du ciel) sur les 50 m² de la piscine. Cette surface sera nécessaire pour calculer la poussée d'Archimède.

 

Le film d'eau recouvre la surface complète des deux corps soit: 2 + 1,5 = 3,5 m². Cette surface n'est nécessaire que pour tenir compte du film d'eau sorti de la piscine lorsque le couple en sort.

 

Calculs

Les deux corps sont immergés. Ils déplacent une quantité d'eau V correspondant à leur poids P.

P = 75 + 65 = 140 kg

V = 140 litres = 0,14 m3

Ce déplacement d'eau s'exerce sur la surface disponible de la piscine

Sd = 50 – 1,5 = 48,5 m²

Hauteur correspondante

Volume d'eau sur les corps (film de 1 mm sur toute la surface de la peau)

v = 3,5 x 10-3 m3

Hauteur correspondante

(sur toute la surface de la piscine)

Baisse du niveau de la piscine: d'abord l'eau qui reprend sa place dans le trou laissé par les corps et,  en plus, l'eau sortie de la piscine par les corps mouillés.

B = 2, 88 + 0,07 = 2,95 mm

 

Soit, de l'ordre de 3 mm

Voir Unités / Calcul sur les puissances

 

 

 

 

 

 

Voir

*  ArchimèdeBiographie

*  Archimède et ses contemporains

*  Histoire

*  Levier

*  Pompage, paille, girafe …

*  Projectile

Aussi

*  Dicomot

*  Masse et poids

*  Pesanteur

*  Force

Site

*  Poussée d'Archimède – Wikipédia

*  Principe d'Archimède – Animation

*  Principe d'Archimède – Imago Mundi

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