NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de l'arithmétique

 

Débutants

Nombres

ADDITIONS

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

CALCUL 

Addition

Somme des chiffres

Somme de 1 à 100

 

Sommaire de cette page

>>> SOMME des NOMBRES de 0 à 10 – Triangles

>>> SOMME des NOMBRES de 0 à 9 – Deux  à deux

>>> SOMME des CHIFFRES des nombres de 0 à 99

>>> SOMME des CHIFFRES des nombres de 0 à 1 000 000

 

 

 

 

ADDITION - SOMME

 

Jouons avec la somme des nombres successifs

et la somme de leurs chiffres.

 

Rappel de vocabulaire

Addition  = opération >>>

Somme    = résultat de l'addition

Chiffres    = symboles de 0 à 9 >>>

Nombres  = suites de symboles pour exprimer une quantité >>>

 

Voir DicoMot Math

 

 

SOMME des NOMBRES de 0 à 10

 

La solution en images

 

*      La somme 1 + 2 + 3 … + 10 peut se représenter par une sorte de triangle fait de piles de briques de hauteur égale aux nombres successifs, jusqu'à 10.

*      Posons le même triangle inversé par dessus.

 

Le triangle rouge contient 1 + 2 + 3 … + 10 briques. Le triangle bleu également. Le rectangle contient 2 fois cette somme.

 

 

*      Avec les deux triangles nous formons un rectangle de 10 de haut et de 10 + 1 de longueur. Nous connaissons l'aire de ce rectangle:  10 x 11 = 110. Et l'aire d'un des triangles: 110 / 2 = 55

 

*      La somme des nombres de 1 à 10 est donc simplement 55. Et, la formule générale:

 

Somme des nombres de 1 à n:  S = n (n + 1) / 2

 

Exemples

 

Nombres de 1 à

Leur  somme

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

55

 210

 465

 820

 1 275

 1 830

 2 485

 3 240

 4 095

 5 050

 

 

 

 

 

SOMME des NOMBRES  0 à 9

 

*      Voici la méthode qu'utilisa Gauss enfant pour faire une telle somme: regrouper les nombres deux par deux.

 

 

 

*      Somme des chiffres de 0 à 9 ou somme des nombres de 0 à 9

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45

 

*      Somme des chiffres des nombres de 0 à 10

 

0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 1 + 0 = 46

 

 

 

 

 

SOMME des CHIFFRES

des nombres de 0 à 99

 

*      Nous savons que la somme des nombres est égale à

 

1 + 2 + 3 + … + 99 = 99 x 100 / 2 = 4 950.

 

*      Mais quelle est la somme des chiffres de ces nombres?
On procéde par tranche de dizaines successives:

*       on retrouve notre somme des nombres de 0 à 9;

*       et les sommes des chiffres des dizaines.

 

 

 

*        Nous disposons des sommes partielles par dizaines. Effectuons les totaux.

*       les dizaines

10 x 1 + 10 x 2 + 10 x 3 + … + 10 x 9

= 10 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9)

= 10 x 45

= 450

 

*       et les unités

45 + 45 + 45 + … + 45

= 10 x 45

= 450

 

*      Soit en additionnant les deux résultats:

450 + 450 = 900.

 

 

*      Somme des chiffres des nombres de 0 à   99 = 900

Somme des chiffres des nombres de 0 à 100 = 901

 

Voir Nombre 901

 

 

Somme des chiffres

des nombres de 0 à 1 million

 

*    En disposant les nombres en colonne de deux comme indiqué, la somme est très facile à exécuter.

 



Formalisation     Somme des chiffres jusqu'à N = 10n

Valeurs

 

Voir Somme des chiffres des nombres

 

 

 

 

BILAN

 

Somme                       des nombres de 0 à  9

Somme des chiffres des nombres de 0 à  9

Somme des chiffres des nombres de 0 à 10

Somme                       des nombres de 0 à 10

Somme des chiffres des nombres de 0 à   99

45

45

46

55

900

 

 

 

 

Suite

*    Soustraction

 

Voir

*    Barre magiques des premiers

*    Calcul mental

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