NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Règle pratique

>>> Opérations

>>> Addition

>>> Soustraction

>>> Multiplication

>>> Division

>>> Prudence

 

 

 

 

PREUVE PAR 9

En anglais: chasser les neufs

 

 

Calculs pratiques  pour débutants.

 

*  La preuve par neuf utilise la racine numérique d'un nombre,

-         Qui est en fait la somme des chiffres du nombre.

-         La valeur 9 étant assimilée à 0.

-         Nous expliquerons pourquoi ci-dessous.

*  Les adeptes de numérologie emploient une racine voisine.

-         La racine théosophique ou racine essentielle.

-         La valeur 9 est conservée.

-         Car toutes les valeurs des chiffres sont significatives:
le 0 comme le 9.

 

Racine numérique

de 459 =>

4 + 5 + 9 = 9 + 9 = 0

Un neuf vaut 0

Racine théosophique

de 459 =>

4 + 5 + 9 = 18     = 9

Les neufs sont conservés

 Anglais: Cast out the nines, digital root

 

 

Approche

 

Observations

 

 

Si on divise le nombre ou la somme de ses chiffres par 9,

on obtient le même reste.

 

Voir Preuve par neuf: théorie et magie

 

La magie de la preuve par neuf tient à cette observation.

 

Notez bien que: la somme des chiffres est aussi un nombre et la somme de ses chiffres divisée par 9 redonnera à nouveau le même reste

Et on peut continuer …

 

Il faut donc procéder à la somme des chiffres jusqu'à l'obtention d'un nombre à un seul chiffre.

 

 

 

En pratique

 

Règle

 

 

1) On ajoute les chiffres du nombre.
Puis ceux de la somme obtenue.
On recommence si nécessaire.

 

2) On élimine tous les 9 qui apparaissent.
On obtient la racine numérique qui sert pour la preuve par neuf.

 

La quantité d'opérations à réaliser est parfois appelée le rang de la racine numérique.

 

 

 

Pour bien comprendre

Racine numérique de:

*      999 999 999 = 0

*      999 993 999 = 3

*      999 963 999 = 0

*      123 456 789 = 0

 

 

Exemple: Calculer la racine numérique de ce nombre

 

 

4 + 5 =  9 et 9 est équivalent à 0.

6 + 7 = 13; en reprenant les chiffres de 13: 1 + 3 = 4;

ce résultat (4) est ajouté au chiffre suivant (8); etc.

 

Conclusion: La racine numérique de 4567891 est 4.

Ce qui veut dire que: le reste de la division par 9 de ce nombre est 4.

 

Voir Racine numérique et rang

 

 

Opérations et racine numérique

 

La racine numérique d'un nombre est simple à calculer et c'est une vraie chance pour vérifier une opération arithmétique car:

 

Une opération juste est également juste en utilisant les racines numériques

 

Attention: ce n'est pas vrai dans l'autre sens.

 

 

Exemple

 

La "vraie" opération 13 + 25 = 37 et sa racine numérique est 3 + 7 = 10 soit 1;

L'opération avec les racines numériques des opérandes donne 3 + 7 = 10 soit 1, le même résultat.

 

 

 

 

Addition

 

En pratique

 

À côté de l'addition, on réserve une colonne dans laquelle on écrit les racines numériques.

On vérifie que la somme dans la colonne des R est égale à la racine numérique du résultat.

 

 

 

 

Soustraction

 

En pratique

 

Colonne créée pour les R.

On vérifie que la différence des R est égale à la racine numérique du résultat.

 

 

Astuce

 

Pour vérifier l'égalité, souvenez vous que les 9 disparaissent, mais vous pouvez en ajouter, notamment pour éviter les nombres négatifs.

 

 

Exemple

 

4045 – 2095 = 1050

  4      7 =  –3 à comparer à 6.

En ajoutant 9, l'égalité est bien là:

                       –3 + 9 = 6.

 

 

 

Multiplication

 

En pratique

 

On dessine une croix

En haut et en bas, on place les racines numériques des deux opérandes (6 et 3)

La racine numérique (0) de leur produit (6x3) est inscrite à droite.

On vérifie à gauche que la racine numérique (0) du produit "vrai" (288) est bien égale à celle trouvée à droite.

 

 

 

 

 

 

 

Avec l'habitude, le calcul des racines numériques se fait de tête et les résultats sont inscrits directement dans la croix.

 

 

Présentation pour la compréhension

 

 

Opération complète et son image en racines numériques

 

 

Présentation en pratique

 

 

 

Division

 

Un tout petit peu de théorie

 

Pour la division, la preuve par 9 est simple si on se souvient bien de ce qu'est une division.

La preuve par 9 de la division est l'image de cette opération.

 

 

Quand on divise a par b on obtient

un quotient q et un reste r:

a = b . q + r

 

Exemple

257 = 7 x 36 + 5

En preuve par 9, ça donne:

   5   &  7 x 9 + 5 => 5

 

Mécanique de la preuve par neuf de la division

 

Comme pour la multiplication, l'usage veut que l'on dessine une croix.

 

La première figure montre les notations

 

La seconde, en bas, montre la disposition des nombres et le calcul effectué:

*    à gauche, le dividende (a = 154) dont la racine numérique est 1;

*    en haut et en bas, le diviseur (b = 5) et le quotient (q = 29); et

*    à droite, le produit du haut et du bas (b.q) auquel on n'oublie pas d'ajouter le reste (r = 0)

 

La vérification consiste à comparer les deux chiffres à droite et à gauche.

 

 

Disposition à retenir

 

 

Exemples

 

 

 

Prudence

 Si la preuve par 9 échoue,

Attention.jpg  Si la preuve par 9 réussit,

Le résultat de l'opération est faux.

L'opération n'est pas forcément exacte.

 

Si la preuve par 9 donne un bon résultat, il se peut que plusieurs erreurs se compensent.

C'est pourquoi le résultat de l'opération n'est pas forcément juste.

Mais, avec cette vérification, la probabilité que l'opération soit juste est tout de même très grande.

 

 

 

 

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