NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 22/01/2011

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Glossaire Preuve

par neuf

 

PREUVE PAR NEUF

Spécial débutant

 

Preuve par 9

Racine numérique

Preuve par 11

Modulo

Parité

 

Sommaire de cette page

>>> APPROCHE

>>> RÈGLE PRATIQUE

>>> OPÉRATIONS

>>> ADDITION

>>> SOUSTRACTION

>>> MULTIPLICATION

>>> DIVISION

>>> PRUDENCE

 

 

 

 

PREUVE PAR 9

 

Calculs pratiques  pour débutants

 

*  La preuve par neuf utilise la racine numérique d'un nombre,

-         Qui est en fait la somme des chiffres du nombre.

-         La valeur 9 étant assimilée à 0.

-         Nous expliquerons pourquoi ci-dessous.

*  Les adeptes de numérologie emploient une racine voisine.

-         La racine théosophique ou racine essentielle.

-         La valeur 9 est conservée.

-         Car toutes les valeurs des chiffres sont significatives:
le 0 comme le 9.

 

Racine numérique

de 459 =>

4 + 5 + 9 = 9 + 9 = 0

Un neuf vaut 0

Racine théosophique

de 459 =>

4 + 5 + 9 = 18     = 9

Les neufs sont conservés

Anglais: Cast out the nines, digital root

 

 

 

APPROCHE

 

Observations

Nombre

 

Somme des chiffres

18

/

9

= 2

reste

0

 

1 + 8

= 9

/

9

= 1

reste

0

19

/

9

= 2

 

1

 

1 + 9

= 10

/

9

= 1

 

1

20

/

9

= 2

 

2

 

2 + 0

= 2

/

9

= 0

 

2

 

On remarque

Si on divise le nombre

ou la somme de ses chiffres

par 9,

on obtient le même reste

 

*  La magie de la preuve par neuf tient à cette observation

*  Notez bien que

-         la somme des chiffres est aussi un nombre

-         et la somme de ses chiffres divisée par 9 redonnera à nouveau le même reste

-         Et on peut continuer …

 

Faire la somme des chiffres jusqu'au bout

Nombre

Somme des chiffres

Reste de la division par 9

19

 

19/9 = 2 x 9 + 1

19

1 + 9 = 10

10/9 = 1 x 9 + 1

10

1 + 0 = 1

  1/9 = 0 x 9 + 1

 

 

 

 

RÈGLE PRATIQUE

 

1) On ajoute les chiffres du nombre.
Puis ceux de la somme obtenue.
On recommence.

2) On élimine tous les 9 qui apparaissent.
On obtient la racine numérique qui sert pour la preuve par neuf

 

Exemple: Calculer la racine numérique de ce nombre

4

5

6

7

8

9

1

4

+ 5

Somme des deux premiers chiffres

 

9

Élimination des 9

 

0

 

 

 

 

 

 

 

6

+ 7

Deux suivants

 

 

13

Etc.

 

 

 

 

1 + 3

= 4

 

 

 

 

 

 

4

+ 8

 

 

 

 

 

12

 

 

 

 

 

1 + 2

= 3

 

 

 

 

 

 

3

+ 9

 

 

 

 

 

3

+ 0

 

 

 

 

 

3

 

 + 1

 

 

 

 

4

La racine numérique de 4567891 est 4

Le reste de la division par 9 de ce nombre est 4

 

La quantité d'opérations à réaliser est parfois appelée le rang de la racine numérique.

 

Voir Racine numérique et rang

 

OPÉRATIONS

 

 

La racine numérique d'un nombre est simple à calculer

Plus extraordinaire:

Une opération juste

est également juste avec

les racines numériques

Attention: pas vrai dans l'autre sens

 

Exemple

Nombres

N

12

+ 25

= 37

Racines Numériques

R

3

+ 7

= 10

 

 

 

 

 

 

ADDITION

 

N

 

R

   23

 

5

+ 56

 

2

+ 73

 

1

  152

= > 8

8

 

En pratique

*  À côté de l'addition, on réserve une colonne

*  dans laquelle on écrit les racines numériques

*  On vérifie que la SOMME des R

*  est égale à la racine numérique du résultat

 

R

5 + 2 + 1 = 8

152 => 1 + 5 + 2 = 8

 

 

 

 

 

 

 

SOUSTRACTION

 

 

N

 

R

  456

 

6

- 123

 

6

  333

=> 9 => 0

0

 

En pratique

*  Colonne pour les R

*  On vérifie que la DIFFÉRENCE des R

*  est égale à la racine numérique du résultat

R

6 - 6 = 0

333 => 3+3+3 = 9 => 0

 

 

 

 

 

 

MULTIPLICATION

 

N

 

R

    24

 

6

 x 12

 

3

   48

 

 

 24

 

 

 288

=> 9 => 0

18 => 0

En pratique

*  Colonne pour les R

*  On vérifie que le PRODUIT des R

*  est égal à la racine numérique du résultat

R

6 x 3 = 18 => 0

288 => 2 + 8 + 8 => 9 => 0

 

On peut présenter la preuve par 9 en croix

 

 

 

 

 

 

 

DIVISION

 

Un tout petit peu de théorie

*  Pour la division, la preuve par 9 est simple

si on se souvient bien de ce qu'est une division

*  Quand on divise a par b on obtient

un quotient q et un reste r

a = b . q + r

Exemple

257 = 7 x 36 + 5

*  Pour effectuer la preuve par 9 de la division

*  Il faut obtenir l'image de cette opération

 

5 = 7 x 9  + 5

5 = 0 + 5

 

En pratique, on fait une croix

 

 

 

Autre exemple

 

Opération

 

68

3

08

22

  2

 

 

Preuve par 9

 

 

3

 

 

 

6 + 8 = 14

=> 5

 

3 x 4 = 12

=> 3

on ajoute le reste

=>3 + 2

= 5

 

2 + 2 = 4

 

 

 

Les cellules grises matérialisent la croix que l'on dessine habituellement

 

 

 

Disposition à retenir

 

Diviseur

 

 

Nombre à diviser

(dividende)

égal

Produit (diviseur par quotient)

+ Reste

(à ne pas oublier)

 

Quotient

  

 

 

 

 

 

 

 

PRUDENCE

 

 

Si la preuve par 9

échoue

 

Le résultat de l'opération est

 faux

 

 

Si la preuve par 9

réussit

 

L'opération n'est

pas forcément exacte

 

 

*  Si la preuve par 9 donne un bon résultat

*  Il se peut que plusieurs erreurs se compensent

*  C'est pourquoi le résultat de l'opération n'est pas forcément juste

*  Mais, avec cette vérification,

on obtient une meilleure assurance tout de même

 

 

 

 

Voir

*    Calcul des carrés

*    Calcul mental

*    Carré magique débutant

*    Jeux

*    Multiplications védiques

*    Nombres débutants

*    Preuve - Glossaire

*    Preuve par 9

*    Racine numérique des nombres premiers

*    Rubriques débutants

*    Théorie des nombres

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