NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de l'arithmétique

 

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CALCUL

et autres pages sur la multiplication 

Initiation

Avec les décimaux

Table 2, 5, 9

Mental

Avec des négatifs

Table  3,4,6,7,8

 

Sommaire de cette page

>>> Analogie amis

>>> Analogie directions

>>> Analogie financière

>>> Cohérence mathématique

>>> Conclusion

>>> Pour se distraire

 

 

 

 

MULTIPLICATION

 

(-) (-) = +

moins par moins égal plus

 

Comment expliquer ce renversement de situation ? C'est la règle des signes. Valable pour la multiplication comme pour la division.

 

  3 x    4  =   12

3 x    4  = 12

  3 x (4) = 12

3 x (4) =   12

J'ai déjà une bonne idée, mais je voudrais être convaincu immédiatement et définitivement >>>

 

 

ANALOGIE avec les AMIS

 

*      Hervé Bazin (comme d'autres …)  avait trouvé une explication

 

 

Amis

Ennemis

Amis

*    Les amis de mes amis
sont mes amis

*    Les amis de mes ennemis
sont mes ennemis

Ennemis

*    les ennemis de mes amis sont mes ennemis

*    Les ennemis de mes ennemis sont mes amis

 

 

 

ANALOGIE avec les DIRECTIONS

 

*      Changement de direction

 

JE VAIS

PUIS

en avant

en arrière

Je ne change pas de sens

*    je vais en avant

*    je vais en arrière

Je change de sens

*    je vais en arrière

*    je vais en avant

 

*      Si l'on assimile le négatif au demi-tour, deux négatifs font deux demi-tours, soit un tour complet.

 

  

 

 

Même chose avec un codage

 

X 1 je continue, et X (–1) je change de sens.

 

*      Voici les quatre cas selon que présentement j'avance ou je recule et que je prends la décision de continuer ou de changer de sens.

 

 

 

 

 

ANALOGIE FINANCIÈRE

 

*      Ce que JE possède en plus ou en moins &
Ce que la BANQUE possède par rapport à moi, en plus et en moins

 

*      Voici les quatre hypothèses:

 

MOI

*      j'ai 3 fois

(+ 3)

un gain

de billets

de 10 euros

=> (+3) (+10) =

+ 30

*      j'ai 3 fois

(+ 3)

une dette

      "

=> (+3)  (–10) =

30

MA BANQUE

*      a  3 fois

(- 3)

un gain

      "

=> (–3)  (+10) =

30

*      a  3 fois

(- 3)

une dette

      "

=> (–3)   (–10) =

+ 30

 

*      Dans le dernier cas, ma banque me doit de l'argent, c'est du plus pour moi.

 

 

Illustration (avec d'autres chiffres)

Partons de ma situation financière et examinons les quatre cas d'évolutions possibles selon mes gains et mes dettes.

 

Nous allons voir qu'une dette qui diminue est un gain.

 

 

Cette explication est calquée sur la méthode de calcul des baguettes chinoises:

 les pièces sont remplacées par des baguettes de deux couleurs symbolisant les gains et les dettes.

 

Voir Résoudre les tracas de calcul

 

 

 

 

COHÉRENCE MATHÉMATIQUE

 

PROPRIÉTÉ GÉNÉRALE – Distributivité de la multiplication sur l'addition

 

*      Cette dénomination barbare se traduit par l'égalité:

a ( b + c) = a . b + a . c

 

*      Ou, en chiffres, pour mieux se rendre compte.

10 (2 + 3) = 10 x 2 + 10 x 3 = 50

Cette propriété va nous aider à démontre que moins par moins fait plus.

Nous allons successivement remplacer c.

CAS PARTICULIER: c = –b

*      Remplaçons c par sa valeur

*     Avec l'addition je sais que x + (–b) = x – b .

*     Avec la multiplication, je ne sais pas encore.

*   Je calcule à gauche b – b = 0.

a ( b +     c  )

a ( b + (b) )

a ( b     b) )

              0 

= a . b + a . c

= a . b + a . (–b)

= a . b + a . (b)

= a . b + a . (b)

*      En soustrayant ab de chaque côté de l'égalité (rappel).

a . b

= a (b)

CAS PARTICULIER: c = –b & a = –d

*      En remplaçant.

a ( b +    c  )

a ( b + (b))

0

=    a . b  +    a . c

=    a . b  +    a . (b)

= (d) b  + (d) (b)

*      En appliquant la première règle trouvée.

0

= d . b + (d) (b)

*      En ajoutant db de chaque côté.

d . b

= (d) (b)

 

 

CONCLUSION

 

*      La règle des signes pour la multiplication, après tout, semble assez logique et, elle découle d'une cohérence nécessaire des lois des maths.

 

 

*      On ne retient généralement que le cas le plus étrange avec cette formule:

MOINS par MOINS donne PLUS.

 

 

 

 

POUR SE DISTRAIRE

 

HOMMES – FEMMES

 

 

*      Seuls les couples hétérosexuels (homme & femme) sont capables de procréer

 

AIMANTS

 

 

*      Les pôles de même nature se repoussent.
Ceux de nature opposée s'attirent.

 

 

 

Suite

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*    Multiplication algébrique

*    Tracas de calculs

*    Autres pages sur la multiplication

Voir

*    Addition avec nombres négatifs

*    Calcul mental

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*    Jeux

*    Multiplications de tous poils

*    Table de multiplications originales

*    Table du 9 facile avec les doigts

*    Théorie des nombres

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