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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 27/12/2015

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Général

RUBRIQUE   Mathématiciens

Glossaire Général

 

  LUCAS

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Résumé

>>> Biographie

>>> Test de primalité

>>> Rappel sur le calcul de congruences

>>> Index Lucas

 

 


 

 

RÉSUMÉ

LUCAS

Édouard

1842-1891

49 ans

Français

Amiens-

 

*           Mathématicien français, né à Amiens.

*           Pasteur lui conseille l'École normale supérieure plutôt que Polytechnique.

*           Affecté à l'Observatoire de Paris sous la direction d'Urbain Le Verrier, puis l'armée, et devient professeur de mathématiques à Paris.

*           Travaux sur:

*    Nombres de Fibonacci, nombres de Lucas. Il donne la formule pour trouver le nième terme de la série de Fibonacci.

*    Tests sur la primalité des nombres, prolongés par Lehmer pour les nombres de Mersenne.

*           Inventeur du jeu de la tour de Hanoi.

*           Meurt à 49 ans après une inflammation de la joue due à une blessure par un morceau de vaisselle cassée lors d'un banquet à Marseille. Un garçon lâche une pile d'assiette alors qu'il était derrière lui. Un éclat atteint sa joue; la blessure est profonde. Il regagne Paris et alité, meurt d'érésipèle. Il est enterré à Montmartre.

A broken piece of porcelain came to hit the cheek of M. Lucas and caused him a deep injury from which blood flew in abundance. Forced to suspend his work, he returned to Paris. He took to his bed and soon appeared erysipelas which would take him away.

Voir Anglais

 

 

Somme des carrés

 

*      Lucas conjecture que la seule solution de l'équation diophantienne indiquée est donnée pour n = 40.

*      La preuve sera apportée en 1818 avec une démonstration impliquant les fonctions hyper-elliptiques.

 

*      Par contre on sait que la somme des cubes des entiers successifs est toujours un carré.

 

 

 

Pour n = 24, la somme est égale à 4 900 = 70²

Et c'est l'unique solution.

Sauf 1² = 1², trivial.

 

 

 

Puissance 2 moins 1

 

*      Il s'acharne durant 19 ans et finalement prouve que 2127 – 1 est premier.

*      Plus grand premier durant trois quarts de siècle et il reste encore le plus grand premier prouvé à la main (sans calculateur).

C'est le 127e nombre de Mersenne:

 

170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

= 0, 17 1039

 

 

Test de primalité de Lucas-Lehmer

Exemple

n = 71 

m = N – 1 = 70 = 2 x 5 x 7

 

Condition 1

1170  1 mod 71

 

Condition 2

Pour chacun des facteurs de m:

m/2 = 35 et 1135  70  1 mod 71

m/5 = 14 et 1134  54  1 mod 71

m/7 = 10 et 1110  32  1 mod 71

 

Conclusion

n est premier

 

Théorème

 

Sil existe un nombre a tel que 1 < a < n

Avec q les facteurs premiers de n – 1

 

Condition 1

 

Condition 2

Pour chacun des facteurs q

 

Conclusions

N est premier

Si a n'existe pas, le nombre est composé.

 

Voir Primalité et Mersenne / Les tests de primalités

 

 

Rappel sur le calcul des congruences (ici mod 71)

 

*      Le calcul exploite la propriété des puissances:
ap+q = ap x aq

 

Par ce jeu, reste tout de même à calculer le reste de la division de 2500 par 71, par exemple (= 15) et les autres.

 

*      En pratique, on utilisera une calculette, comme celle de votre ordinateur qui possède la fonction Mod.

 

 

 

Voir Congruences

 

 

 

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Triangle bi magique de Lucas

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La promenade des demoiselles

 

 

 


 

Voir

*             Contemporains