NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages

 

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RUBRIQUE   BIOGRAPHIE

 

Débutants

Général

Édouard LUCAS

 

Glossaire

Général

 

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Résumé

>>> Biographie

>>> Ses publications et son œuvre

>>> Le paquebot Le Havre  New York

>>> Test de primalité

>>> Rappel sur le calcul de congruences

>>> Du tissage à l'échiquier

>>> Index Lucas

 

 

 

 

 

 

 

RÉSUMÉ

LUCAS

Édouard

1842-1891

49 ans

Français

 

*           Mathématicien français, né à Amiens.

*           Pasteur lui conseille l'École normale supérieure plutôt que Polytechnique.

*           A l’École Normale, Lucas a été élève de Charles Hermite.

*           De 1864 à 1869, affecté à l'Observatoire de Paris sous la direction d'Urbain Le Verrier.

*           Retour à Amiens après dispute avec Le Verrier. Il découvre les problèmes arithmétiques liés au tissage par l’intermédiaire des travaux d’Édouard Gand.

*           1867: Il publie une brochure intitulée Application de l’arithmétique à la construction de l’armure des satins réguliers.

*           La guerre franco-prussienne conduit Lucas aux combats de l’armée de la Loire.

*           1972: il devient professeur de mathématiques à Moulins.

*           Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis (1879-1890).

________________________________________________

*           Travaux sur:

*    Nombres de Fibonacci, nombres de Lucas. Il donne la formule pour trouver le nième terme de la série de Fibonacci.

*    Tests sur la primalité des nombres, prolongés par Lehmer pour les nombres de Mersenne.

*           Ouvrages

*    La Fasioulette – 1889 – Livre pour enfants sur des  combinaisons  arithmétiques  et  géométriques  très difficiles.

*    La théorie des nombres – 1891 (un tome sur 4 prévus)

*    Récréations mathématiques (4 tomes) – 1882 à 1894

*    L'arithmétique amusante – 1895

*           Inventeur du jeu de la tour de Hanoi.

*           Meurt à 49 ans après une inflammation de la joue due à une blessure par un morceau de vaisselle cassée lors d'un banquet à Marseille. Un garçon lâche une pile d'assiette alors qu'il était derrière lui. Un éclat atteint sa joue; la blessure est profonde. Il regagne Paris et alité, meurt d'érésipèle. Il est enterré à Montmartre.

A broken piece of porcelain came to hit the cheek of M. Lucas and caused him a deep injury from which blood flew in abundance. Forced to suspend his work, he returned to Paris. He took to his bed and soon appeared erysipelas which would take him away.

Voir Anglais

 

Ses publications et son œuvre

Lucas apparaît comme l’un des auteurs français les plus prolifiques de la fin du XIXe siècle. Une liste assez exhaustive de ses œuvres apparaît dans la bibliographie de  Duncan Harkin. On doit cependant la compléter par le mémoire paru dans la Nouvelle Correspondance Mathématique, par la note du bulletin de l’Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg, et remarquer par ailleurs qu'une erreur attribue à Édouard Lucas une note aux Comptes Rendus qui est en fait due à son homonyme Félix Lucas.

Sous la signature d’Édouard Lucas, on peut répertorier environ 180 articles et quinze livres, parmi lesquels le traité de Théorie des nombres, 4 ouvrages de Récréations mathématiques et une Arithmétique amusante, les deux derniers volumes des Récréations et l'Arithmétique amusante étant publiés à titre posthume sous l’égide de la Société Mathématique de France grâce aux efforts de H. Delannoy, C.-A. Laisant, E.Lemoine.

Sans compter de nombreux mémoires et articles parus dans des publications étrangères.

En algèbre et en théorie des nombres, par contre, les traités sont rares ; dans ce paysage, l’ouvrage de Théorie des nombres d’Édouard Lucas, publié en 1891 quelques mois avant la mort de l'auteur, fait exception. cet ouvrage peut dérouter par la profusion des thèmes qui s'entrecroisent dans l'ouvrage.

Alors qu'il est maintenu éloigné de l'Observatoire de Paris, Lucas publie en 1867 une brochure intitulée Application de l'arithmétique à la construction de l'armure des satins réguliers qui aborde l'arithmétique et la géométrie des tissus. Les tissus (comme les satins) sont propices à l'utilisation de l'arithmétique et que les corps des entiers modulo p (p premier) permettent de classer les satins, en particulier les satins carrés.  La démonstration "très simple" que donne Lucas de la loi de réciprocité quadratique en 1890, dans le Bulletin de l'Académie impériale des sciences de Saint-Pétersbourg.

 

Source: Édouard Lucas  par Anne-Marie Decaillot-Laulagnet

 

 

 

Le paquebot de Lucas – From Le Havre to New York

 

Énigme

 

Chaque jour à midi un paquebot part du port du Havre pour New York. Simultanément, un paquebot de la même compagnie part de New York vers Le Havre. La traversée se fait exactement en sept jours, soit dans un sens, soit dans l'autre.

Je quitte Le Havre aujourd'hui. Combien vais-je croiser de paquebots de cette compagnie?

 

Every day at noon in Le Havre an ocean liner sails to New York, and (simultaneously) in New York an ocean liner sails to Le Havre. The crossing takes seven days and seven nights in either direction. How many ocean liners will an ocean liner leaving Le Havre today pass at sea by the time it arrives in New York?

 

Contexte

 

Cette énigme figure au chapitre 49 d'Initiations mathématiques de Charles-Ange Laisant publié en 1906.

Il s'agit d'une anecdote authentique qui est arrivée à Édouard Lucas au cours d'un congrès scientifique.

À la fin du déjeuner, Lucas pose cette énigme.

 

Les mathématiciens présents répondirent sept ou se turent.

La réponse est inexacte. Voyez-vous pourquoi?

 

Indice: la compagnie de paquebots a été créée dix ans avant ma date de départ.

Solution

 

 

Somme des carrés

 

*      Lucas conjecture que la seule solution de l'équation diophantienne indiquée est donnée pour n = 40.

*      La preuve sera apportée en 1818 avec une démonstration impliquant les fonctions hyper-elliptiques.

 

*      Par contre on sait que la somme des cubes des entiers successifs est toujours un carré.

 

 

 

Pour n = 24, la somme est égale à 4 900 = 70²

Et c'est l'unique solution.

Sauf 1² = 1², trivial.

 

 

 

Puissance 2 moins 1

 

*      Il s'acharne durant 19 ans et finalement prouve que 2127 – 1 est premier.

*      Plus grand premier durant trois quarts de siècle et il reste encore le plus grand premier prouvé à la main (sans calculateur).

C'est le 127e nombre de Mersenne:

 

170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

= 0, 17 1039

 

 

Test de primalité de Lucas-Lehmer

Exemple

n = 71 

m = N – 1 = 70 = 2 x 5 x 7

 

Condition 1

1170  1 mod 71

 

Condition 2

Pour chacun des facteurs de m:

m/2 = 35 et 1135  70  1 mod 71

m/5 = 14 et 1134  54  1 mod 71

m/7 = 10 et 1110  32  1 mod 71

 

Conclusion

n est premier

 

Théorème

 

Sil existe un nombre a tel que 1 < a < n

Avec q les facteurs premiers de n – 1

 

Condition 1

 

Condition 2

Pour chacun des facteurs q

 

Conclusions

N est premier

Si a n'existe pas, le nombre est composé.

 

Voir Primalité et Mersenne / Les tests de primalités

 

 

Rappel sur le calcul des congruences (ici mod 71)

 

*      Le calcul exploite la propriété des puissances:
ap+q = ap x aq

 

Par ce jeu, reste tout de même à calculer le reste de la division de 2500 par 71, par exemple (= 15) et les autres.

 

*      En pratique, on utilisera une calculette, comme celle de votre ordinateur qui possède la fonction Mod.

 

 

 

Voir Congruences

 

 

Le paquebot de Lucas – Solution

 Solution

La réponse 7 serait exacte si mon voyage était le voyage inaugural de la compagnie maritime. En fait, elle officie depuis longtemps et avant mon départ des paquebots sont déjà en route depuis New York (lignes vertes).

Le graphique montre le décompte:

*       13 croisements (rouge),

*         1 rencontre au départ, et

*         1 rencontre à l'arrivée.

 

Note: mon fils me fait remarquer que le bateau part à midi en France, mais ce n'est pas la même heure à New York. Lucas avait pris la précaution de dire: simultanément.

Et si les bateaux ne vont pas à la même vitesse. Peu importe les vitesses intermédiaires. Lucas précise que les croisières dans un sens comme dans l'autre durent sept jours.

Mais, il peut y avoir bien d'autres paquebots sur l'Atlantique? Lucas précise: de la même compagnie.

 

Graphe distance en fonction des jours

 

Ma traversée en rouge.

Les paquebots au départ de New York en vert.

Les situations de croisement: billes rouges.

 

Retour   /      Voir ÉnigmesIndex

 

 

Du tissage à l'échiquier

Tissus à texture rectiligne

Ils sont représentés par des dessins quadrillés nommés armures.

Les points du tissu où le fil de chaîne passe sur le fil de trame sont des points de liage.

 

Représentation par un échiquier carré dont un certain nombre de cases ombrées correspondant aux points de liage.

*       Colonnes pour les fils de chaîne et

*       Lignes pour les fils de trame.

 

Questions

Déterminer l'échiquier de taille minimale (p, p) représentant le dessin du tissu considéré.

Le nombre p est alors appelé le module de l'armure.

 

Parmi ces dessins, les satins réguliers sont rangés d'après le nombre minimum de fils de chaîne sur lesquels la trame opère l'entrecroisement.

Le dessin fondamental des satins réguliers comporte p points de liage disposés sur l'échiquier de dimension (p, p) de telle sorte que deux d'entre eux ne se trouvent pas sur le même fil de chaîne ou de trame.

 

 

 

 

Index

Lucas

*             Baguenaudier

*             La promenade des demoiselles

*             Nombre parfaits

*             Nombres et suite de Lucas

*             Permutations figurées

*             Tour de Hanoi

*            Triangle bi magique de Lucas

Voir

*             Contemporains

Site

*            Des récréations pour enseigner les mathématiques avec Lucas, Fourrey, Laisant – Évelyne Barbin et René Guitart

*            Édouard Lucas (1842-1891) : le parcours original d'un scientifique français dans la deuxième moitié du XIXe siècle - Anne-Marie Decaillot-Laulagnet – 1999

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http://villemin.gerard.free.fr/aBiograp/Lucas.htm