NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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RUBRIQUE   BIOGRAPHIE

 

Débutants

Général

Édouard LUCAS

 

Glossaire

Général

 

 

 

 

Sommaire de cette page

>>> Résumé

>>> Biographie

>>> Le paquebot Le Havre  New York

>>> Test de primalité

>>> Rappel sur le calcul de congruences

>>> Index Lucas

 

 

 

 

 

 

 

RÉSUMÉ

LUCAS

Édouard

1842-1891

49 ans

Français

 

*           Mathématicien français, né à Amiens.

*           Pasteur lui conseille l'École normale supérieure plutôt que Polytechnique.

*           Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis (1879-1890).

*           Affecté à l'Observatoire de Paris sous la direction d'Urbain Le Verrier, puis l'armée, et devient professeur de mathématiques à Paris.

*           Travaux sur:

*    Nombres de Fibonacci, nombres de Lucas. Il donne la formule pour trouver le nième terme de la série de Fibonacci.

*    Tests sur la primalité des nombres, prolongés par Lehmer pour les nombres de Mersenne.

*           Ouvrages

*    La Fasioulette – 1889 – Livre pour enfants sur des  combinaisons  arithmétiques  et  géométriques  très difficiles.

*    La théorie des nombres – 1891 (un tome sur 4 prévus)

*    Récréations mathématiques (4 tomes) – 1882 à 1894

*    L'arithmétique amusante – 1895

*           Inventeur du jeu de la tour de Hanoi.

*           Meurt à 49 ans après une inflammation de la joue due à une blessure par un morceau de vaisselle cassée lors d'un banquet à Marseille. Un garçon lâche une pile d'assiette alors qu'il était derrière lui. Un éclat atteint sa joue; la blessure est profonde. Il regagne Paris et alité, meurt d'érésipèle. Il est enterré à Montmartre.

A broken piece of porcelain came to hit the cheek of M. Lucas and caused him a deep injury from which blood flew in abundance. Forced to suspend his work, he returned to Paris. He took to his bed and soon appeared erysipelas which would take him away.

Voir Anglais

 

 

 

Le paquebot de LucasFrom Le Havre to New York

 

Énigme

 

Chaque jour à midi un paquebot part du port du Havre pour New York. Simultanément, un paquebot de la même compagnie part de New York vers Le Havre. La traversée se fait exactement en sept jours, soit dans un sens, soit dans l'autre.

Je quitte Le Havre aujourd'hui. Combien vais-je croiser de paquebots de cette compagnie?

 

Every day at noon in Le Havre an ocean liner sails to New York, and (simultaneously) in New York an ocean liner sails to Le Havre. The crossing takes seven days and seven nights in either direction. How many ocean liners will an ocean liner leaving Le Havre today pass at sea by the time it arrives in New York?

 

Contexte

 

Cette énigme figure au chapitre 49 d'Initiations mathématiques de Charles-Ange Laisant publié en 1906.

Il s'agit d'une anecdote authentique qui est arrivée à Édouard Lucas au cours d'un congrès scientifique.

À la fin du déjeuner, Lucas pose cette énigme.

 

Les mathématiciens présents répondirent sept ou se turent.

La réponse est inexacte. Voyez-vous pourquoi?

 

Indice: la compagnie de paquebots a été créée dix ans avant ma date de départ.

Solution

 

 

Somme des carrés

 

*      Lucas conjecture que la seule solution de l'équation diophantienne indiquée est donnée pour n = 40.

*      La preuve sera apportée en 1818 avec une démonstration impliquant les fonctions hyper-elliptiques.

 

*      Par contre on sait que la somme des cubes des entiers successifs est toujours un carré.

 

 

 

Pour n = 24, la somme est égale à 4 900 = 70²

Et c'est l'unique solution.

Sauf 1² = 1², trivial.

 

 

 

Puissance 2 moins 1

 

*      Il s'acharne durant 19 ans et finalement prouve que 2127 – 1 est premier.

*      Plus grand premier durant trois quarts de siècle et il reste encore le plus grand premier prouvé à la main (sans calculateur).

C'est le 127e nombre de Mersenne:

 

170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727

= 0, 17 1039

 

 

Test de primalité de Lucas-Lehmer

Exemple

n = 71 

m = N – 1 = 70 = 2 x 5 x 7

 

Condition 1

1170  1 mod 71

 

Condition 2

Pour chacun des facteurs de m:

m/2 = 35 et 1135  70  1 mod 71

m/5 = 14 et 1134  54  1 mod 71

m/7 = 10 et 1110  32  1 mod 71

 

Conclusion

n est premier

 

Théorème

 

Sil existe un nombre a tel que 1 < a < n

Avec q les facteurs premiers de n – 1

 

Condition 1

 

Condition 2

Pour chacun des facteurs q

 

Conclusions

N est premier

Si a n'existe pas, le nombre est composé.

 

Voir Primalité et Mersenne / Les tests de primalités

 

 

Rappel sur le calcul des congruences (ici mod 71)

 

*      Le calcul exploite la propriété des puissances:
ap+q = ap x aq

 

Par ce jeu, reste tout de même à calculer le reste de la division de 2500 par 71, par exemple (= 15) et les autres.

 

*      En pratique, on utilisera une calculette, comme celle de votre ordinateur qui possède la fonction Mod.

 

 

 

Voir Congruences

 

 

Le paquebot de Lucas – Solution

 Solution

La réponse 7 serait exacte si mon voyage était le voyage inaugural de la compagnie maritime. En fait, elle officie depuis longtemps et avant mon départ des paquebots sont déjà en route depuis New York (lignes vertes).

Le graphique montre le décompte:

*       13 croisements (rouge),

*         1 rencontre au départ, et

*         1 rencontre à l'arrivée.

 

Note: mon fils me fait remarquer que le bateau part à midi en France, mais ce n'est pas la même heure à New York. Lucas avait pris la précaution de dire: simultanément.

Et si les bateaux ne vont pas à la même vitesse. Peu importe les vitesses intermédiaires. Lucas précise que les croisières dans un sens comme dans l'autre durent sept jours.

Mais, il peut y avoir bien d'autres paquebots sur l'Atlantique? Lucas précise: de la même compagnie.

 

Graphe distance en fonction des jours

 

Ma traversée en rouge.

Les paquebots au départ de New York en vert.

Les situations de croisement: billes rouges.

 

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Index

Lucas

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*             Tour de Hanoi

*            Triangle bi magique de Lucas

Voir

*             Contemporains

Site

*            Des récréations pour enseigner les mathématiques avec Lucas, Fourrey, Laisant – Évelyne Barbin et René Guitart

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http://villemin.gerard.free.fr/aBiograp/Lucas.htm