NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

Accueil                           DicoNombre            Rubriques           Nouveautés      Édition du: 06/12/2012

Orientation générale        DicoMot Math          Atlas                   Références                     M'écrire

Barre de recherche          DicoCulture              Index alphabétique                               

     

Géométrie

 

Débutants

Géométrie

Polyèdres

 

Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

Géométrie

 

Polyèdres

Tétraèdre

Cube

Octaèdre

Dodécaèdre

Icosaèdre

Sommaire de cette page

>>> Représentation

>>> À noter

>>> Données numériques

>>> Dualité

>>> Historique

 

 

 

 

Icosaèdre régulier

 

*    Polyèdre à vingt faces en forme de triangle équilatéral.

*    Chacun des douze sommets reçoit cinq faces.

*    Les vingt triangles ont 3 x 20 = 60 côtés. Chaque côté est partagé par deux faces ; soit 60 / 2 = 30 arêtes.

*    Connu de Platon; vu dans la nature bien plus tard, en observant les virus au microscope électronique.

 

Grec eikosaedros (ikosa:  vingt, et edros: siège, base) et latin icosahedrum

Anglais: A polyhedron with twenty faces is an icosahedron

 

Représentation

Imaginez trois parties:

*      une pyramide formée de cinq triangles au sommet, pointe vers le haut;

*      une pyramide formée de cinq triangles à la base, pointe vers le bas; et

*      une couronne de dix triangles, cinq dans un sens et cinq dans l'autre, pour associer les deux pyramides.

Le patron de l'icosaèdre découle de cette remarque.

 

En plaçant les triangles dans d'autres configurations, il y a 43 380 façons de réaliser le patron de l'icosaèdre.
Rappel: il y en a 11 pour le cube.

 

Anglais: patron  net

 

À noter

 

*    Icosaèdre Polyèdre à 20 faces – 12 sommets et 30 arêtes.

*    Comme tous les polyèdres, il vérifie la relation:

Faces + Sommets – Arêtes = 20 + 12 – 30 =  2

*    S'il est régulier, ses faces sont des triangles équilatéraux isométriques.

*    C'est le polyèdre régulier qui compte le plus de faces. C'est le dernier des cinq à avoir été découvert.

*    Cinq triangles forment un hexagone. Pas étonnant de retrouver le nombre d'or dans les mesures de l'icosaèdre.

 

*    Les virus les plus petits sont de forme icosaédrique de 18 à 20 nm de "diamètre".

 

 

 

Icosaèdre – Données numériques

*    Angle du dièdre

*    Rayon de la sphère circonscrite

 

 

*    Aire

*    Volume

 

 

Dualité

 

*    Icosaèdre et dodécaèdre sont duaux. Chacun possède la quantité de faces et de sommets de l'autre, mais croisée.

*    Un pentagone placé sur chacun des 12 sommets de l'icosaèdre forme un dodécaèdre.
 

 

 

 

Historique

 

 

Pythagore (vers – 560) ne connaissait que le tétraèdre (pyramide à base triangulaire), le cube et le dodécaèdre (la sphère des douze pentagones).

Théétète, ami de Platon, (vers – 380) comprend qu'il n'est pas possible d'assembler des faces hexagonales pour créer un polyèdre. Seuls les triangles, carrés et pentagones conviennent. Comme pour le dodécaèdre, il pense à prendre deux pyramides ayant quatre faces en triangle équilatéral et une base carrée ayant et à les assembler tête bèche par leur base: c'est l'octaèdre. Puis, avec la pyramide à cinq triangles, il veut appliquer le même procédé. Pour assurer la jonction des deux pyramides, il a l'idée de compléter par des triangles équilatéraux. C'est l'icosaèdre.

 

 

 

 

Suite

*         Voir haut de page

Voir

*         Polyèdres

DicoNombre

*         Nombre 20

Site

*         Icosaèdre – Robert Ferréol

*         IcosahedromMathworld

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Objet3D/Icosaedr.htm