NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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GÉOMÉTRIE

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Sommaire de cette page

>>> Polyèdres réguliers

>>> Autres polyèdres

>>> Remplissage de la sphère

>>> Ballon de football

 

 

 

 

POLYÈDRES PROCHES de la SPHÈRE

 

 

Comment approximer la sphère par un volume polyédrique ?

 

Comment choisir le volume pour construire un ballon de football ?

 

 

POLYÈDRES RÉGULIERS

proches de la sphère

 

ICOSAÈDRE

 

*    L'icosaèdre, un des cinq solides platoniciens,  est un polyèdre régulier qui se rapproche de la sphère.
 

*    Il est formé de:

20 faces triangulaires,

12 sommets,

30 arêtes,

20 + 12 = 30 + 2 (relation d'Euler).

*    Aire et volume, avec a la longueur de l'arête:

 

 

image006

Angl. Icosahedron

 

 

DODÉCAÈDRE

 

*    Le dodécaèdre, un des cinq solides platoniciens,  est un autre polyèdre régulier qui se rapproche de la sphère.

*    Il est formé de:

12 faces pentagonales,

20 sommets,

30 arêtes,

12 + 20 = 30 + 2 (relation d'Euler).

*    Aire et volume, avec a la longueur de l'arête:

 

image015

Angl. Dodecahedron

 

 

Propriétés

*    L'icosaèdre et le dodécaèdre, placés à l'intérieur de la même sphère, ont aussi la même sphère inscrite.

*    Le triangle de l'icosaèdre et le pentagone du dodécaèdre sont inscrits dans un cercle de même taille.

*    Le ratio des volumes pour ces deux objets est le même que celui des aires.

 

 

 

 

AUTRES POLYÈDRES

 

ICOSAÈDRE TRONQUÉ

 

*    L'icosaèdre tronqué est un polyèdre archimédien semi-régulier formé de:

32 faces

12 pentagones,

20 hexagones,

60 sommets,

90 arêtes,

32 + 60 = 90 + 2 (relation d'Euler).

 

*    La molécule de buckminsterfullerène, formée de 60 atomes de carbone, a la structure de l'icosaèdre tronqué.

Diamètre de la molécule: 1 nm (10-9 m).

Découverte 1985.

Carbone pur: C60

Fullerène, du  nom de Richard Buckminster Fuller.

image020

 

Angl. Truncated icosahedron, , football ball, soccer ball,

fullerene molecule, buckyball

Alle. Trunkatiertes Ikosaeder

 

 

RHOMBICOSIDODÉCAÈDRE

 

*    Le rhombicosidodécaèdre est un solide archimédien formé de:

62 faces triangulaires,

20 triangles,

30 carrés,

12 pentagones,

60 sommets,

120 arêtes,

62 + 60 = 120 + 2 (relation d'Euler).

 

image021

 

Angl. rhombicosidodecahedron, or small rhombicosidodecahedron

 

 

 

 

REMPLISSAGE de la SPHÈRE

 

Polyèdres réguliers

Taux

*        Tétraèdre

12, 2518 %

*        Cube

36, 7553

*        Octaèdre

31, 8310

*        Icosaèdre

60, 5461

*        Dodécaèdre

66, 4909

Polyèdre semi-régulier

 

*        Icosaèdre tronqué

86, 74

*        Icosaèdre tronqué, ballon de foot gonflé

 95

*        Rhombicosidodécaèdre

94, 32

 

 

Remarque

*    L'icosaèdre remplit moins bien la sphère que le dodécaèdre.

*    Pourtant, visuellement il semble plus proche de la sphère, c'est que

il a plus de faces et

ses angles sont moins saillants.

*    C'est pourquoi l'icosaèdre, avec un supplément d'adoucissage (troncature), s'est trouvé élu comme volume approprié pour construire le ballon de football.

*    Le rhombicosidodécaèdre, qui semble encore mieux, n'a pas été retenu car plus difficile à fabriquer; il faut faire 120 coutures au lieu de 90 pour l'icosaèdre tronqué.

 

 

BALLON DE FOOTBAL

 

*    Panneaux hexagones

*    Panneaux pentagones

20

12

image012

*    Fils de liaison des panneaux

*    Circonférence

*    Masse

18 mètres

68 à 71 cm

390 à 435 g

 

 

 

 

 

 

 

Voir

*  Football

*  Introduction à la sphère

*  Polyèdres

*  Sphère

Sites

*  Platonic solid - Wikipedia, the free encyclopedia

*  Rhombicosidodecahedron - Wikipedia, the free encyclopedia

*  Icosahedron -- From MathWorld

*  Polyèdre en rotation

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http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Footsphe.htm