NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

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Glossaire Géométrie

 

 

INDEX

GÉOMÉTRIE

Sphère

Proche

Sphère, cube et octaèdre

 

Sommaire de cette page

>>> Polyèdres réguliers

>>> Autres polyèdres

>>> Remplissage de la sphère

>>> Ballon de football

 

 

 

 

POLYÈDRES PROCHES de la SPHÈRE

 

 

Comment approximer la sphère par un volume polyédrique ?

 

Comment choisir le volume pour construire un ballon de football ?

 

 

POLYÈDRES RÉGULIERS

proches de la sphère

haut

 

ICOSAÈDRE

L'icosaèdre, un des cinq solides platoniciens,  est un polyèdre régulier qui se rapproche de la sphère.

Il est formé de:

*    20 faces triangulaires,

*    12 sommets,

*    30 arêtes,

20 + 12 = 30 + 2 (relation d'Euler).

 

Aire et volume, avec a la longueur de l'arête:

 

 

     

image006

 

Angl. Icosahedron

 

 

 

 

DODÉCAÈDRE

Le dodécaèdre, un des cinq solides platoniciens,  est un autre polyèdre régulier qui se rapproche de la sphère.

Il est formé de:

*    12 faces pentagonales,

*    20 sommets,

*    30 arêtes,

12 + 20 = 30 + 2 (relation d'Euler).

 

Aire et volume, avec a la longueur de l'arête:

 

    

image015

 

Angl. Dodecahedron

 

 

 

 

Propriétés

 

 

L'icosaèdre et le dodécaèdre, placés à l'intérieur de la même sphère, ont aussi la même sphère inscrite.

 

Le triangle de l'icosaèdre et le pentagone du dodécaèdre sont inscrits dans un cercle de même taille.

 

Le ratio des volumes pour ces deux objets est le même que celui des aires.

  

Voir Polyèdres et nombre d'or

 

 

Formulaire du dodécaèdre

a côté

A aire

V volume

R rayon de la sphère circonscrite

r rayon de la sphère inscrite

 rayon de la sphère tangente aux côtés

 

 

AUTRES POLYÈDRES

 

ICOSAÈDRE TRONQUÉ

 

*    L'icosaèdre tronqué est un polyèdre archimédien semi-régulier formé de:

32 faces

12 pentagones,

20 hexagones,

60 sommets,

90 arêtes,

32 + 60 = 90 + 2 (relation d'Euler).

 

*    La molécule de buckminsterfullerène, formée de 60 atomes de carbone, a la structure de l'icosaèdre tronqué.

Diamètre de la molécule: 1 nm (10-9 m).

Découverte 1985.

Carbone pur: C60

Fullerène, du  nom de Richard Buckminster Fuller.

image020

 

Angl. Truncated icosahedron, , football ball, soccer ball,

fullerene molecule, buckyball

Alle. Trunkatiertes Ikosaeder

 

 

RHOMBICOSIDODÉCAÈDRE

 

*    Le rhombicosidodécaèdre est un solide archimédien formé de:

62 faces triangulaires,

20 triangles,

30 carrés,

12 pentagones,

60 sommets,

120 arêtes,

62 + 60 = 120 + 2 (relation d'Euler).

 

image021

 

Angl. rhombicosidodecahedron, or small rhombicosidodecahedron

 

 

 

 

REMPLISSAGE de la SPHÈRE

 

Polyèdres réguliers

Taux

*        Tétraèdre

12, 2518 %

*        Cube

36, 7553

*        Octaèdre

31, 8310

*        Icosaèdre

60, 5461

*        Dodécaèdre

66, 4909

Polyèdre semi-régulier

 

*        Icosaèdre tronqué

86, 74

*        Icosaèdre tronqué, ballon de foot gonflé

 95

*        Rhombicosidodécaèdre

94, 32

 

 

Remarque

*    L'icosaèdre remplit moins bien la sphère que le dodécaèdre.

*    Pourtant, visuellement il semble plus proche de la sphère, c'est que

il a plus de faces et

ses angles sont moins saillants.

*    C'est pourquoi l'icosaèdre, avec un supplément d'adoucissage (troncature), s'est trouvé élu comme volume approprié pour construire le ballon de football.

*    Le rhombicosidodécaèdre, qui semble encore mieux, n'a pas été retenu car plus difficile à fabriquer; il faut faire 120 coutures au lieu de 90 pour l'icosaèdre tronqué.

 

 

BALLON DE FOOTBAL

 

*    Panneaux hexagones

*    Panneaux pentagones

20

12

image012

*    Fils de liaison des panneaux

*    Circonférence

*    Masse

18 mètres

68 à 71 cm

390 à 435 g

 

 

 

 

 

 

 

Voir

*  Football

*  Introduction à la sphère

*  Polyèdres

*  Sphère

Sites

*  Platonic solid - Wikipedia, the free encyclopedia

*  Rhombicosidodecahedron - Wikipedia, the free encyclopedia

*  Icosahedron -- From MathWorld

*  Polyèdre en rotation

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http://villemin.gerard.free.fr/Geometri/Footsphe.htm