NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Polygones

 

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Géométrie

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Polygones

 

Géométrie

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Octogone

Calculs

Octogone dans le parallélogramme

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Octogone régulier

>>> Formulaire de l'octogone

>>> Construction de l'octogone – Carré

>>> Construction de l'octogone – Côté

>>> Panneau stop

>>> Octaèdre

>>> Formulaire de l'octaèdre

 

 

 

 

OCTOGONE & OCTAÈDRE

 

Octogone: Polygones à 8 côtés.

Octaèdre: Polyèdre à 8 faces.

Autochtone: une personne à huit côtés!? J

 

 

Octagramme (octogone non-régulier) – Voir Jeu de l'étoile  

 Grec: oktagônes, à huit angles et oktôhedra huit faces. >>>

Anglais: Regular octagon, Octahedron.

Français: les mots octogone et octaèdre ont chacun huit lettres.

 

 

Données sur les diagonales de l'octogone régulier

 

Diamètre du cercle inscrit

 

Diamètre du cercle circonscrit

 

 

Nombre d'argent

 

Nombre de Cordovan

 

Voir Nombres d'argent

 

 

 

Octogone régulier et ses diagonales

 

 

 

Voir Intersections et régions dans les polygones

Longueur des diagonales des polygones

Voir Nombre 2,4142… / Nombre 2,6131… / Brève 527 /  Constante Pi / Nombre d'or

 

 

Approche

 

*    Comment dessiner un octogone dans un cercle?

 

*      Un octogone est un polygone qui a huit côtés. Le dessin de l'octogone régulier est l'un des plus faciles à réaliser:

*        un cercle et deux diamètres perpendiculaires;

*        le carré circonscrit au cercle et ses deux diagonales; et

*        joindre les huit points d'intersections.

*      La figure montre que chacun des huit angles au centre vaut 360 / 8 = 45°.

Chacun des huit triangles formant l'octogone est isocèle.

Chacun des deux angles à la base vaut:

(180 – 45) / 2 = 67,5°.

L'angle au sommet de l'octogone est égal à 2 x 67,5 = 135°.

 

*    Quelle est la nature du triangle jaune?

 

Le triangle (en jaune) dont un sommet est le sommet de l'octogone et dont le côté opposé à ce sommet est un diamètre est un triangle rectangle.    >>>

 

Notez que le triangle est rectangle quel soit le sommet de l'octogone ou même de n'importe quel point situé sur le cercle.

 

*    Quelle est la mesure de l'angle ?

 

La méthode de calcul la plus simple consiste à faire appel au théorème des angles inscrits:

 

L'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre interceptant le même arc.

 

 

Le triangle BAC est isocèle. Les angles à la base  et  sont égaux et valent:

(180 – 45) / 2 = 67,5°.

 

Ces trois questions comptaient pour 5 points sur 40 au Brevet de 2014

 

 

Octogone régulier

 

Illustration



Huit triangles dans l'octogone, chacun avec ses 180°, donnent 8 x 180 = 1440°, moins les 360° du centre; soit 1080° pour l'octogone. La formule générale est S = (n – 2) x 180°.

Huit axes de symétrie; un centre de symétrie; une rotation de 45%  laisse l'octogone invariant.

 

Calcul de l'aire de l'octogone régulier

 

Triangles jaunes: rectangles- isocèles

*       Hypoténuse: a, la longueur du côté

*       Côté (Th. de Pythagore): c² + c² = a² => c = a / 2

*       Aire des quatre triangles jaunes: 2 x (a / 2)² = a²

Carré

*       Côté: a + 2 a / 2 = a (1 + 2 / 2) = a (1 + 2) = 2,414 … a

*       Aire: a² (1 + 2)² = (3 + 22) a²

En anglais, la mesure du côté du grand carré ou diamètre du cercle inscrit est appelée: "octagon altitude".

Notez que l'anglais respecte le grec: oktagonon.

 

Octogone

*       Aire = aire carré – aire triangles jaunes

*       A = (3 + 22) a² – a² = (2 + 22) a² = 2 (1 + 2) a²

*       A = 4, 828427124746190097… a²

 

Formulaire

Si la mesure du côté est a, le périmètre est naturellement égal à 8a.

Voir Angle pi/8 = 22;5° + exemple de calculs trigonométriques

 

 

Formule utile

Aire de l'octogone en fonction du rayon du cercle circonscrit:  

Voir Cas de la piscine octogonale

 

 

Note

L'octagramme montré dans le titre n'est pas un octogone régulier. Sa surface recouvre sept carrés de côté a. Son aire est égale 7a². >>>

 

 

 

Construction de l'octogone à partir du carré

 

*    Construisez les médiatrices de AB et de BC qui déterminent quatre sommets de l'octogone.

*    Tracez les diagonales du carré. Elles déterminent le centre du carré et de l'octogone.

*    Dessinez le cercle contre O et de rayon OP1. Les intersections avec les diagonales donnent les quatre sommets complémentaires.


 

 

Si vous disposez du cercle dont on connait le centre

 

Tracez la médiatrice d'un diamètre quelconque.

Tracez la bissectrice d'un des angles de 90° formé par ces deux diamètres.

Vous avez les huit sommets de l'octogone régulier.

Pour obtenir le centre du cercle >>>

 

 

 

 

 

Construction de l'octogone à partir du côté

 

Première étape


Seconde étape

Voir Construction de la médiatrice

 

 

STOP

Stop.png

*    Le panneau 'stop" est octogonal.

*    C'est pour le reconnaître même si le gel ou la neige cache l'inscription.

*    Depuis le 8 novembre 1968, Europe, États-Unis et Canada ont uniformisé leur code de la route.
 

 

 

OCTAÈDRE

 

*    Polyèdre à huit faces.

*    Si ses faces sont triangulaires, il possède alors douze arêtes et six sommets.

 

Octaèdre régulier

 

*    Si les faces sont des triangles équilatéraux, c'est un octaèdre régulier, un des cinq solides de Platon.

*       Longueur de l'arête:  a

*       Aire:                    2 3 a2   = 3,464 101… a2

*       Volume:             2/3  a3   = 0,471 404… a3

 

Le dual de l'octaèdre est le cube.

Voir Sphère inscrite et circonscrite à l'octaèdre / Régions externes crées par l'octaèdre

 

 Formulaire de l'octaèdre

a côté

A aire

V volume

R rayon de la sphère circonscrite

r rayon de la sphère inscrite

 rayon de la sphère tangente aux côtés

 

 

 

Suite

*       Octogone – Calculs

*       Octogone – Diagonales

*       Octogone semi-régulier

*       Octogone rigide (Meccano)

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*       Nombres octaédriques

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Voir

*       Construction géométrique des nombres

*       GéométrieIndex

*       Partage du cercle en parts égales

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