NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

 

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Polygones et polyèdres

 

Géométrie

Tétraèdre

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Cuboctaèdre

Polyèdre

Cube

Octaèdre

Dodécaèdre

Icosaèdre

 

Sommaire de cette page

>>> Tétraèdre en boules

>>> Tétraèdre

>>> Tétraèdre régulier

>>>  Centre de gravité

>>>  Volume

>>> Tétraèdre et dollar

>>> Dissection du cube en tétraèdres

 

 

 

 

TÉTRAÈDRE

*   Le tétraèdre est une sorte de pyramide dont on peut calculer le volume en utilisant une formule classique avec la hauteur.

*   Ici, nous donnons notamment la formule lorsque seule la longueur de chaque côté est connue.

 

Former quatre triangles équilatéraux identiques avec six allumettes

 

  

Le diamant est formé de carbone. Ses atomes occupent les sommets A, B, C et D de tétraèdres réguliers et leurs centres G.

Voir Cristaux

 

  

Tétraèdre en boules!

 

*      On dispose de 20 boules assemblées en deux barres de 4 et deux rectangles de 2 x 3.

*      Comment les disposer pour former un tétraèdre?

*      Célèbre puzzle du commerce.

Malgré la simplicité des éléments en main, la solution n'est pas si évidente qu'il y parait. Essayez avant de regarder la solution.

 

 

 

Solution

 

 

 

TÉTRAÈDRE

 

*      Polyèdre à quatre sommets.

*      Pyramide avec six arêtes et quatre faces triangulaires.

*      Aucune diagonale.

*      Les médianes sont concourantes; les hauteurs ne le sont pas, dans le cas général.

 

Tétraèdre régulier

*      Les quatre faces sont des triangles équilatéraux qui sont isométriques ("égaux")

*      Caractéristiques et formules de calcul du volume >>>

 

Voir Deltaèdre

 

 

TÉTRAÈDRE RÉGULIER

 

Angle au centre du tétraèdre: 109° 28'

Angle entre faces: 70°32'

 

 

 

  

*      La hauteur AH passant par centre G est coupé par ce centre au 1/4.
Cette hauteur mesure:
  = 0,8165… c

La distance de la base à G est alors égale à 1/4 ce cette hauteur, soit:   .

*      Le cosinus de l’angle au centre (AGB, AGC…) vaut : 1/3 et l’angle 109° 28’

 

 

*      Le diamant est formé de carbone. Ses atomes occupent les sommets A, B, C et D de tétraèdres réguliers et leurs centres G

 

 

Dans le tétraèdre,

*      L'arête est la moyenne géométrique (racine carrée du produit) de la hauteur du tétraèdre et du diamètre de la sphère circonscrite.

 

Dans le dodécaèdre,

*      L'arête est la section d'or de l'arête du cube inscrit dans la même sphère.

 

 

 

Centre de gravité du tétraèdre régulier

*    Tétraèdre régulier.

 AB = BC = CA = AD = BD = CD = 1

*    Centre de gravité des faces.

H et H' nous serons utiles.

*    Dans le triangle équilatéral ABC.

*    Centre de gravité au 2/3.

*    Triangle rectangle ADH

*    Hauteur du tétraèdre:

*    Triangles DHA' et DH'G.

Rectangles en H et H'

Angle commun: HDA' = GDH'

Triangles semblables

*    Proportion avec ces deux triangles.

*    Tétraèdre régulier.

H'G = HG

*    Proportion devient:

*    HA' = 1/3 de médiane:
DH' = 2/3 de médiane:

*    Hauteur du tétraèdre:

*    Distance du centre de gravité à la base:

*    Rapport:

 

 

 

Calcul du VOLUME du TÉTRAÈDRE

 

*      Seules les longueurs des côtés sont connues.

 

*      Formule trouvée par Euler (1752).

 

*      NB: les faces doivent être constructibles.

 

 

Avec

P = 4 a² b² c²

Q = a². E² + b². F² + c². D²

R = D . E . F

 

D = a² + b² - d²

E = b² + c² - e²

F = a² + c² - f²

 

*      Volume du tétraèdre régulier

 

Voir Démonstration via le cube

a = b = c = d = e = f

D = E = F = a²

P = 4 a6

Q = 3 a6

R =    a6

V = 1/12 (4a6 - 3 a6 + a6)

   

V = 0,1178511301977579207… a3

*      Autres données du tétraèdre régulier

*      Hauteur

*      Centre par rapport à base

*      Surface

 

*      Volume du tétraèdre quelconque.
Formule de Tartaglia avec le déterminant de la matrice associant les distances entre sommets, deux à deux.

Le volume d'un tétraèdre couvrant trois arêtes convergentes d'un parallélépipède est égal au sixième de celui du parallélépipède >>>

Voir  Volume via le cube / Aire du triangle quelconque

 

 

 

TÉTRAÈDRE et DOLLAR

 

Problème

 

*      Prenez un billet de 1 dollar ou un rectangle de mêmes dimensions (16,6 x 6,6 cm²).
Formez un tétraèdre!

 

*      Aucun des billets fraais ne permet cette possibilité.

 

Solution

 

*      Développement du tétraèdre  et relation longueur / largeur :

 

Calcul

 

l² + a² = (2a)²

l² = 3a²

l = a

 

 

Patron du tétraèdre

 

 

*      Or ce rapport (L / l) du billet de 1 dollar vaut  2,36.

*      D'où une superbe approximation permettant le pliage en un tétraèdre.

 

 

 

Dissection du cube en tétraèdres

 

*      Tout polyèdre convexe à n côtés peut être divisé en k tétraèdres.

*      Quelle est la valeur minimale de k dans le cas du cube?

*    La valeur classique est 6 et chacun vaut 1/6 du cube en volume. Cette propriété est vraie pour tout parallélépipède.

*    Il est même possible de diviser le cube en 5, en chanfreinant les sommets et en faisant émerger un tétraèdre central.

 

 

*      On ne connait pas de solution avec moins de tétraèdres. La recherche de telles dissections est un problème de type NP-complet. Démontré par Loera et al.

 

Cube en 6 tétraèdres

 

Cube en 5 tétraèdres

 

 

*      La dissection en 5 est l'occasion de calculer le volume du tétraèdre régulier (au centre) en retirant quatre fois le volume des tétraèdres latéraux (en fait: pyramides triangulaires) du volume du cube

VT = VC – 4 VP

*      En fonction de la longueur (a) du côté du tétraèdre, celle du cube (c)

Volume des tétraèdres latéraux

Volume du cube

Volume du tétraèdre central

 

 

 

 

 

Suite

Tétraèdre

*    Volume du tétraèdre

*    Centre de gravité du tétraèdre

*    Tétraèdre du feu

*    Tétraèdre et autres polyèdres

*    Tétraèdre orthocentrique ou orthogonal

*    Tétraèdres inscrits dans le parallélépipède

*    Nombres tétraédriques

*    Remplissage de la sphère

*    Groupe de symétrie du tétraèdre

*    Tétraèdre du feu

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Tetraedr.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Solution

 

*      On commence par placer horizontalement une barre de quatre.

*      On pose un rectangle sur celle-ci.

 

P1030789  P1030790

 

*      La suivante est un rectangle posé perpendiculairement à la précédente.

*      La dernière barre est posée en hauteur sur les boules du rectangle.

 

P1030791   P1030792

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