NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

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Triangle

Propriétés – Curiosités

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

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Triangle

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Médianes

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Heilbron

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Représentation

Brocard

Cercles et triangles

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle équilatéral

>>> Triangle isocèle

>>> Triangle quelconque

>>>  English corner

>>>  Bilan

>>>  Proportion 2 : 1

 

Voir Propriétés fondamentales des triangles

                                                                                                                        

 

 

 

TRIANGLE & MÉDIANES

 

*      Chaque médiane partage le cercle en deux triangles de même aire.

*      Les trois médianes partagent le triangle quelconque en six triangles de même aire.

La notation T ou Ti veut dire aire du triangle T ou Ti.

 

 

Triangle équilatéral

*    La longueur des côtés du triangle équilatéral  mesure (figure ci-dessous):

 a =

14 carreaux

*    Sa hauteur mesure (Pythagore):

h² =

*    Valeur numérique:

h =

*    Aire du triangle:

T =

*    Longueur de GC':

GC' =

*    Aire de T4 ou T5:

T4 =

*    Le triangle étant équilatéral, les six triangles sont égaux car ils ont tous, de deux en deux, un côté en commun, un côté égal et un angle égal.

Ti =

 

 

 

Triangle isocèle

*    Longueurs données (figure ci-dessous):

 a =

h =

14 carreaux

16 carreaux

*    Aire du triangle du triangle isocèle:

T =

*    Longueur de GC':

GC' =

*    Les triangles T4 et T5 sont égaux du fait de la symétrie. Leur aire:

T4 =

T5 =

*    Les triangles T1 et T2 sont égaux du fait également de la symétrie du triangle isocèle.

T1 =

T2

*    Dans le triangle CGA, la médiane GB' partage ce triangle en deux triangles de même aire.

T1 =

T6

*    En rapprochant les égalités:

T1 =

T2 = T6 = T3 (en aire)

*    Partage du grand triangle:

T =

2T4 + 4T1

*    Aire de T1:

T1=

*    Conclusion, même dans le triangle isocèle, les six triangles ont la même aire.

Ti =

 

 

 

*    Le côté b mesure:

b² =

*    Soit la mesure de h en fonction de a et b.

h² =

*    Aire du triangle en fonction de a et b.

T =

*    Longueur de AG, qui vaut les 2/3 de la médiane AA':

m² =

*    Longueur de la médiane:

AA' =

 

 

 

Triangle quelconque

*    La médiane CC' partage les triangles ABC et AGB en deux triangles d'aires égales.

T1 + T6 + T5

T5

T1 + T6

=  T2 + T3 + T4

=  T4

=  T3 + T4

*    Le point G est situé au 2/3 de CC'.

La proportion est conservée sur la hauteur (Voir Proportion 2 : 1)

2T5

= T1 + T6

*    Avec la médiane GB':

T1

= T6

*    En rapprochant:

2T5

T5

= 2 T1

=    T1 = T6

*    Idem pour l'autre côté:

T1 + T2 + T3

=  T4 + T5 + T6

*    Et pour le calcul de l'aire de chacun:

Ti

 

 

Voir Triangle médian

 

 

 

English corner

 

*    Triangles T5 and T4 have the same altitude since they share the same vertex and are sitting on the same base AB.

*    But we know that C' is the midpoint of AB (CC' is the median).

*    It then follows that the area of triangle T5 is equal to the area of triangle T4.

*    We know that in the case of two medians, the second median divided the two triangles formed by the first median in the ratio 2:1. Using that argument we know that the area of triangle T5 is 1/3 the area of triangle ACC'.

*    Similarly the triangles T6 and T1 are also equal in area. This means that the area of triangle T6 = area of triangle T1 =1/3 area of triangle ACC'.

*    We can now conclude that the triangles T1, T6 and T5 are all equal in area.

*    Same for right part: T2, T3 and T4 are all equal in area.

 

 

Bilan

Chaque médiane partage le triangle quelconque en deux triangles de même aire.

Les trois médianes partage le triangle quelconque en six triangles de même aire.

Le point de concours des médianes est le centre de gravité (centroid). Ce point partage la médiane dans le ratio 2 : 1.

Le triangle tient en équilibre sur son centre de gravité ainsi que sur les lignes médianes

 

 

 

Proportion 2 : 1

 

 

*    Nous savons que le centre de gravité G, point de concours des médianes, est tel que G' = 2GC'.

 

*    En vert, la hauteur CH et la parallèle GK à la base AC' en G.

 

*    Théorème de Thalès:

 

 

*    Aires des triangles:

 

Dans un triangle quelconque, une médiane découpe le triangle en deux triangles dont l'un est le double de l'autre.

 

 



Retour à Triangle quelconque

 

 

 

 

 

 

Suite

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Site

*    Encyclopedia of triangle centers (ETC) – Tous les centres du triangle possibles et imaginables (plus de 400!)

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/Medianes.htm