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Édition du: 02/11/2020

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MÉDIANES du TRIANGLE (1/4)

 

Quelques propriétés remarquables des médianes des triangles et le centre de gravité.

On trouvera d'autres propriétés lors de l'exploration des démonstrations sur les pages suivantes.

Les trois médianes d'un triangle se rencontrent en un point unique, le centre de gravité du triangle.

Chaque médiane partage le triangle en deux triangles de même aire.

Les trois médianes partagent le triangle quelconque en six triangles de même aire.

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle équilatéral

>>> Triangle isocèle

>>> Triangle quelconque

>>>  English corner

>>>  Bilan

>>>  Proportion 2 : 1

>>>  Longueur des médianes et des céviennes

 

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Médianes

Triangle

Voir Propriétés fondamentales des triangles

                                                                                                                        

Médianes du triangle équilatéral

haut

Triangle équilatéral ABC
de côté a = 14 carreaux.

 

La notation T ou Ti veut dire aire du triangle T ou Ti.

 

Sa hauteur mesure (Pythagore):

h² =

Valeur numérique:

h =

Aire du triangle:

T =

Longueur de GC':

GC' =

Aire de T4 ou T5:

T4 =

Le triangle étant équilatéral, les six triangles sont égaux car ils ont tous, de deux en deux, un côté en commun, un côté égal et un angle égal.

Ti =

 

Médianes du triangle isocèle

haut

Triangle isocèle ABC
de côté a = 14 carreaux.

 

Longueurs données (figure ci-contre):
a = 14 carreaux
h = 16 carreaux

Aire du triangle du triangle isocèle:

T =

Longueur de GC':

GC' =

Les triangles T4 et T5 sont égaux du fait de la symétrie. Leur aire:

T4 =

T5 =

Les triangles T1 et T2 sont égaux du fait également de la symétrie du triangle isocèle.

T1 =

T2

Dans le triangle CGA, la médiane GB' partage ce triangle en deux triangles de même aire.

T1 =

T6

En rapprochant les égalités:

T1 =

T2 = T6 = T3 (en aire)

Partage du grand triangle:

T =

2T4 + 4T1

Aire de T1:

T1=

Conclusion, même dans le triangle isocèle, les six triangles ont la même aire.

Ti =

 

Le côté b mesure:

b² =

Soit la mesure de h en fonction de a et b.

h² =

Aire du triangle en fonction de a et b.

T =

Longueur de AG, qui vaut les 2/3 de la médiane AA':

m² =

Longueur de la médiane:

AA' =

 

Médianes du triangle quelconque

haut

Triangle quelconque ABC
de côté a = 14 carreaux.

 

De côté a, b et c.

 

Médianes AA', BB' et CC'.

Voir Triangle médian

La médiane CC' partage les triangles ABC et AGB en deux triangles d'aires égales.

T1 + T6 + T5

T5

T1 + T6

=  T2 + T3 + T4

=  T4

=  T3 + T4

Le point G est situé au 2/3 de CC'.

La proportion est conservée sur la hauteur (Voir Proportion 2 : 1)

2T5

= T1 + T6

Avec la médiane GB':

T1

= T6

En rapprochant:

2T5

T5

= 2 T1

=    T1 = T6

Idem pour l'autre côté:

T1 + T2 + T3

=  T4 + T5 + T6

Et pour le calcul de l'aire de chacun:

Ti

 

Théorème

Les trois médianes concourent en un même point G, le centre de gravité. Elles divisent le triangle en six triangles de même aire.

 

Theorem: The three medians of any triangle intersect in one point, G, called the centroid. Furthermore, the medians divide the triangle into six triangles of the same area.

 

Voir Partage du triangle / Démonstration du théorème

 

English corner

Triangles T5 and T4 have the same altitude since they share the same vertex and are sitting on the same base AB.

But we know that C' is the midpoint of AB (CC' is the median).

It then follows that the area of triangle T5 is equal to the area of triangle T4.

We know that in the case of two medians, the second median divided the two triangles formed by the first median in the ratio 2:1. Using that argument we know that the area of triangle T5 is 1/3 the area of triangle ACC'.

Similarly the triangles T6 and T1 are also equal in area. This means that the area of triangle T6 = area of triangle T1 =1/3 area of triangle ACC'.

We can now conclude that the triangles T1, T6 and T5 are all equal in area.

Same for right part: T2, T3 and T4 are all equal in area.

 

Bilan

Chaque médiane partage le triangle quelconque en deux triangles de même aire.

Les trois médianes partagent le triangle quelconque en six triangles de même aire.

Le point de concours des médianes est le centre de gravité (centroid). Ce point partage la médiane dans le ratio 2 : 1.

Le triangle tient en équilibre sur son centre de gravité ainsi que sur les lignes médianes.

 

 

Proportion 2 : 1

 

 

*    Nous savons que le centre de gravité G, point de concours des médianes, est tel que G' = 2GC'.

 

*    En vert, la hauteur CH et la parallèle GK à la base AC' en G.

 

*    Théorème de Thalès:

 

 

*    Aires des triangles:

 

Dans un triangle quelconque, une médiane découpe le triangle en deux triangles dont l'un est le double de l'autre.

 

 



Retour à Triangle quelconque

 

 

 

Longueur des médianes et des céviennes

Théorème d'Apollonius

Théorème de Stewart (1946)

Figure

 

AM est la médiane de longueur m.

 

Ap est une cévienne de longueur p dont le pied est à une distance x du sommet

Relation dans les triangles APB et APC.

 

 

Égalité des cosinus.

Puis, en simplifiant directement par 2p.

 

 

 

Théorème e Stewart donnant la longueur de la cévienne p.

Cas de la médiane
 avec x = y = a/2.

 

 

 

 

 

 

 

Avec sa forme commune:

Théorème d'Apollonius

 

 

 

 

Vérification avec GeoGebra

 

Les points bleus indiquent les cordonnées ou les mesures relevées par GeoGebra.

 

Les lignes 1 et 2 montrent la vérification de la relation pour les céviennes.

 

La ligne 3 montre le calcul de la  longueur de la médiane et la ligne 4 donne la mesure faite par GeoGebra.

         

Merci à Daniel F. pour avoir rappelé ces théorèmes et signalé la page allemande en référence

 

 

SUITE: les médianes sont concourantes – Démonstrations (page 2/4) >>>

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Sites

*      Médianes – Wikipédia

*      Encyclopedia of triangle centers (ETC) – Tous les centres du triangle possibles et imaginables (plus de 400!)

*      Vergessene Sätze am Dreieck (Teil 2) – Matroids Matheplanet

*      Théorème de Stewart – Wikipédia

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/Medianes.htm

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