Théorème des céviennes régulières dans le triangle

Édition du: 24/11/2024

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	Théorème des céviennes		Céviennes régulières

Céviennes régulières

dans le triangle quelconque

Un jeu de céviennes régulières regroupe des céviennes issues d'un sommet unique et partageant le côté opposé en segments égaux.

Surprise: la formule du binôme s'invite dans l'expression de la longueur de ces céviennes.

Sommaire de cette page

>>> Longueur des céviennes

>>> Céviennes régulières d'ordre 4

>>> Céviennes régulières d'ordre 3

>>> Céviennes régulières d'ordre k

>>> Cévienne et "corde" minimale

Débutants

Géométrie

Glossaire

Médianes

Triangle

Voir Propriétés fondamentales des triangles

Longueur des céviennes		haut
Théorème de Stewart La longueur d'une cévienne est fonction de la longueur des trois côtés et de celle des segments découpés sur un côté. On vérifie avec: x = a, y = 0, p = c
Application à la MÉDIANE avec x = y = a/2

Céviennes régulières d'ordre 4		haut
Les céviennes régulières sont issues du même sommet et découpent des segments égaux sur le côté opposé au sommet. On se propose d'étudier le cas de cette figure avec trois céviennes régulières découpant quatre segments égaux.
On calcule la longueur de chacun des segments issus du sommet supérieur et leur somme. On termine en mettant ces valeurs en relation façon formule du binôme. Une telle somme est nulle ! Notez que cette relation est valable quelle que soit la longueur a du côté découpé.

Voir Brève 908

Céviennes régulières d'ordre 3

haut

Le côté est découpé en trois et les longueurs des deux céviennes sont pet q.

Calcul identique au précédent en remplaçant les proportions du découpage sur le côté.

Céviennes régulières d'ordre k

haut

Cévienne et "corde" minimale

haut

Construction

Un triangle quelconque ABC. Un point M quelconque sur AC; BM est une cévienne.
Les perpendiculaires ME et MF aux deux autres côtés.

Quelle est la position du point M telle que la longueur de la "corde" EF soit minimale ?

Pistes

L'idée (pas évidente!) consiste à construire les points P et Q symétriques des points E et F par rapport aux côtés du triangle. Du fait des points milieux, dans le triangle MPQ, le segment PQ est deux fois plus long que le segment EF.

Or, du fait des symétries dans les triangles MBP et MBQ, les segments BM, BP et BQ sont de même longueur. Alors, M, P et Q sont situés sur un cercle de centre B.

L'angle EMF est constant, en effet :
EMF = 180° – EMA – CMF
= 180° – (90° – A) – (90° – C) = A + B

L'angle au centre PBQ vaut le double et, il est lui aussi constant.

Solution

La corde PQ a une longueur qui est fonction de la taille du cercle de centre B, donc de son rayon BM.

Ce cercle sera de taille minimale si le point M se déplace en H, le pied de la hauteur BH du triangle, alors le cercle est tangent en H au côté AB (figure du bas).

Note : Les points M, E, F et B, du fait des angles droits, sont cocycliques. Cette propriété ne nous a pas été utile.

Figure générale

Figure avec EF de longueur minimale

D'après une proposition de Florian Gomet – Tangente – Mars-avril 2008 - N° 121

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