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Édition du: 02/11/2020

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Brèves de Maths

 

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Types de triangles

Triangle

Géométrie

 

Triangle: Droites remarquables

Droites et points

Bissectrices

Médianes – Propriétés

Point Milieu

Médiatrices

Médianes – Démo géom.

Point et triangles

Hauteurs

Médianes – Démo vecteurs

Distances

Triangle médian

Médianes – Démo autres

 

 

 

MÉDIANES du TRIANGLE (4/4)

Démonstrations

 

Démonstrations à propos des médianes des triangles et de leur point de concours, le centre de gravité.

 

Sommaire de cette page

>>> Démo – Calculs d'aires

>>> Démo – Descente infinie

>>> Démo – Proportions

>>> Démo – Droites parallèles

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Médianes

Triangle

Voir Propriétés fondamentales des triangles

 

 

Démo – Calculs d'aires

haut

Construction

Triangle ABC. Les médianes AE et BD; intersection en G

La troisième médiane CH volontairement dessinée ne passant pas par G et créant une surface interne CGH

Le but est de démontrer que son aire est nulle.

 

Théorème

Une médiane partage un triangle en deux triangles de même aire.

Les trois médianes le partagent en six triangles de même aire (notés de 1 à 6).

Aires

Le soulignement indique qu'il s'agit des aires

ACH + CHG + CGHB  = ABC = 1 (comme référence)

Aire de ACH

CH est la médiane du triangle ABC: ACH = BCH = 1/2

CHG + CGHB  = 1/2

Aire de CGHB

CGHG = 2 + 3 + 4 = 3 x (1/6) = 1/2

Aire de CHG

CHG + 1/2  = 1/2

CHG = 0

 

Démo – Descente infinie

haut

Construction

Triangle ABC. Médianes AA', BB' et CC'

 

Hypothèse

Les trois médianes ne sont pas concourantes.

Elles créent un petit triangle intérieur MPQ.

 

Idée

Tous les triangles médians successifs ont les mêmes médianes et l'aire de chacun est égale à 1/4 du triangle mère.

 

Démonstration

Lors de la création de tous les triangles médians successifs, les médianes sont invariantes et, avec elles, le triangle MPQ.

Or, ce triangle reste interne au triangle qui le crée.

L'aire du triangle médian est égale à 1/4 de celle du triangle mère.

L'aire du triangle MPQ reste inférieure à celle-là.

Mise en évidence du triangle hypothétique MPQ

Zoom sur les triangles médians successifs

Au rang n:

Quand n tend vers l'infini:

 

 

Démo – Proportions

haut

Construction

Triangle ABC. Médianes BB' et CC'.

Parallèle C'D à BB'.

 

Idée

Propagation de proportions via les triangles semblables colorés.

 

Démonstration

Les triangles ABB' et AC'D sont semblables.
Le point D est le milieu de AB'.

Alors: B'D = 1/3 CD.

 

Les triangles CDC' et CB'G sont semblables.
Alors GC' = 1/3 CC'.

Le point G est sur la médiane CC' au 1/3 de la distance.

 

Avec la médiane AA' (au lieu de BB'), on trouverait que le point K est au 1/3 de CC', dit autrement  K et G sont confondus. G est unique. 

 

 

Démo – Droites parallèles

haut

Construction

Triangle ABC. Point B' milieu de AC.
Points M et P milieux de AB' et B'C.

Parallèles en ces points à BB'.
Intersection en C'.

Droite CC'.

 

Idée

Si une sécante coupe des parallèles selon des segments égaux, toute autre sécante en fera autant.

 

Démonstration

Sécante AC:

Segments égaux: AP = PB' = B'M = MC

Conséquence sur sécante CC':

Segments égaux: C'G = GH  = HC

Triangle ABB':

Le point P est le milieu de AB'

C'P // BB'

Le point C' est le milieu de AB. CC' est une médiane.

Point G:

Le point G est le point de concours de deux médianes (BB' et CC').

Autres faisceau de parallèles

Même raisonnement avec une autre série de parallèles qui donne le même pont G.

En prime

G est situé au 2/3 de CC' en partant du sommet C. 

 

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*      Médianes – Propriétés

*      Droites et points

Suite

*      Médianes concourantes – Démonstrations avec vecteurs

*      Illustration en 3D du centre de gravité d'un triangle

*      Construire le triangle connaissant les médianes

*    Quatre triangles

*      Triangles et carrés

*      Triangles et droites de partage

Voir

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*      Éléments de géométrie

*      Triangle – Débutants, novices

*      MédianesGlossaire

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*      Cercle

*      Losange et son cercle inscrit

Sites

*      Médianes dans un triangle – Comme exercice de 4e (avec le formalisme requis)

*      Point de concours des médianes – Bibm@th

*      Les médianes d’un triangle – Questions types du bac

*      The Medians – Cut-The-Knot Preuve par descente infinie

*      Proof That the Medians of a Triangle are Concurrent – Michael McCallum

*      Concurrence of Medians (1 of 2: Proof via similar triangles) – Eddie Woo – Vidéo

*      My Transversal is Longer Than Yours!? – Richard Francisco

*      The Medians of a Triangle Are Concurrent: A Visual Proof – Wolfram

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/Mediane3.htm

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