NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

Débutants

Triangle

Propriétés – Curiosités

 

Glossaire

Triangle

 

 

INDEX

 

Types de triangles

 

Triangle

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Point et triangles

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Quantité de triangles

Torricelli

Triangles et triangles

Médianes

Quatre triangles

Heilbron

Carrés triangles

Représentation

Brocard

Cercles et triangles

 

Sommaire de cette page

>>>  Théorème du point milieu

>>>   Démonstration

>>>  Théorème de la médiane ou d'Apollonius

>>>   Démonstartion

>>>  Théorème de la médiane

>>>   Règle du parallélogramme

>>>  Théorème de Stewart

>>>   Démonstration avec la loi des cosinus

 

 

 

  

 

TRIANGLE et DROITES de partage

 

Voici trois théorèmes importants concernant des droites de partage dans le triangle. Avec démonstrations. En prime la démonstration du joli théorème des parallélogrammes liant les côtés et les diagonales.

 

 

 

Théorème du point milieu

 

*      Le segment qui joint les milieux de deux côtés d'un triangle:

*   est parallèle au troisième côté et

*   sa longueur est moitié de celle de ce troisième côté.

 

   AB // A'B'

[AB] = ½ [A'B']

 

 

Anglais

*    The straight line connecting midpoints of two sides of a triangle:

*  is parallel to the third side of the triangle and

*  is of half of the length of the third side of the triangle.

 

Voir Trapèze

 

 

Thalès

D'une manière générale le théorème de Thalès affirme que: dans un triangle, une parallèle à un côté engendre des proportinalités et réciproquement. Dans le cas du point milieu, la proportionalié est gale à ½.

 

 

Démonstration du théorème du point milieu

 

Données

*    Triangle quelconque ABC.

*    A' et B' les milieux de AC et BC.

 

Ce qu'il faut démontrer

*    Le segment A'B' est parallèle à AB et sa longueur est moitié de celle de AB.

 

Démarche

*    On construit le point D:

*    AD est la parallèle en A à BC;

*    D est le point d'intersection de AD et A'B'.

 

*    Nous allons montrer que ABB'D est un parallélogramme.

*    Pour cela nous allons passer par l'égalité des triangles T1 et T2 (que nous voyons être au sein des diagonales d'un probable parallélogramme AB'CD).

 

 

On note que D est le symétrique de B' par rapport à A'. Et aussi que les quadrilatères ABB'D et AB'CD sont des parallélogrammes.

 

Intuition?

Comme souvent en math, ici utilise une sorte de truchement, de marche-pied pour aller plus loin: l'idée de construire le point D symétrique de B'.

Comment avoir l'idée de dessiner ce point qui va faire apparître deux parallélogrammes ayant un côté commun(AD)? Intéressant car de la connaissance des mesures de l'un on rebondira pour connaître les mesures de l'autre.

C'est l'intuition, nourrie par une bonne connaissance des propriétés des objets et déclenchée par les suggestions que nous délivent la lecture de la figure. Ici, droites parallèles nous amène à parallélogramme.

 

Démonstration (niveau collège)

 

*    Dans les triangles T1 et T2:

*    A' est le milieu de AC; les côtés A'C et A'A ont même longueur;

*    les angles A3 et A4 sont opposés sur les droites AC et DB'; et

*    AD est parallèle à BC; les angles A1 et A2 sont alternes-internes.

 

 

 

 

A'C = A'A

 

Angles: A3 = A4

 

Angles: A1 = A2

 

 

Outil: cas de congruence des triangles

Deux triangles ayant un côté de même longueur et deux angles égaux sont congrus   (ou égaux).

 

 

 

Triangles: T1 = T2

*    Conséquence: toutes les autres mesures des deux triangles sont égales.

CB' = AD

*    Or B' est le milieu de BC
Et AD est parallèle à BC.

CB' = BB' = AD

BB' // AD

 

Outil: caractérisation d'un parallélogramme

Si un quadrilatère (non croisé) a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, c'est un parallélogramme.

ABB'D est un parallélogramme

*    Conséquence: les deux autres côtés du parallélograme sont parallèles et égaux.

AB = DB'

AB // DB'

*    Les triangles T1 et T2 étant congrus.

A'D = A'B'

AB = DB' = 2A'B'

 

 

 

 

Théorème de la médiane ou d'Apollonius

 

*      Un triangle quelconque ABC

Un des médianes CM

Le théorème de la médiane dit:

 

a² + b² = 2 (m² + d²)

        ou

a² + b² = 2 m² + ½ c²

 

Anglais

*    Median length, Apollonius' Theorem: in any triangle, the sum of the squares of any two sides is equal to twice the square on half the third side together with twice the square on the median which bisects the third side.

Note: bisect : qui coupe en deux (pas forcément en parts égales).

 

Voir Démonstration / Aires des triangles sous médiane

 

 

 

Démonstration par coordonnées

Données

*    Triangle quelconque ABC.

*    M le milieu de AB.

 

Ce qu'il faut démontrer

a² + b² = 2 (m² + d²)

 

Démarche

*    Système d'axes orthonomé en M.

Calcul des longueurs en utilisant le théorème de Pythagore.

 

 

Démonstration

 

Pythagore à l'oeuvre

MC² = (x – 0)² + (y – 0)² = x² + y² = m²

AC² = (x + d)² + (y – 0)² = x² + 2xd + d² + y² = b²

BC² = (x – d)² + (y – 0)² = x² – 2xd + d² + y² = a²

Somme des deux dernières

a² + b² = 2x²+  2d² + 2y² = 2 (x² + y² + d²)

En remplaçant

a² + b² = 2 (m² + d²)

 

 

Règle du parallélogramme

 

*    Le théorème de la médiane nous fournit l'occasion d'étendre la propriété aux parallélogramme. En effet:

 

*    Nous venons de démontrer que:

 

a² + b² = 2 (m² + d²)

 

*    En doublant:

 

2a² + 2b² = 4m² + 4d²

 

= 4(d1 / 2) ² + 4(d2 / 2) ²

 

= d12 + d22

 

  Règle (en fait théorème)

Dans un parallélogramme, la somme des carrés des côtés est égale à la somme des carrés des diagonales.

 

Voir Règle du parallélogramme illustrée / Règle du parallélépipède

 

 

 

Théorème de Stewart

 

Généralisation du théorème de la médiane à un point quelconque du troisième côté; autrement dit à toute cévienne.

 

a²d' + b²d = c (m² + dd')

 

Notez que: le dernier terme cdd' est un nombre entier.

 

Un triangle quelconque ABC avec BC = 3 unités

Un point D sur BC tel que BD  = 2 unités.

 

Calculer AC² + 2AB² – 3AD.

 

Notre théorème s'écrit:

1 x AC² + 2 x AB² = 3 (AD² + 1 x 2)

AC² + 2 AB² = 3AD² + 6

AC² + 2 AB² – 3AD² = 6

 

Un application simple qui montre que

cdd' = 3 x 2 x 1 = 6 est un nombre entier.

 

Voir Démonstration

 

 

Démonstration avec la loi des cosinus

*    Cette loi des cosinus établit cette formule entre les trois côtés (a, b , c) du triangle quelconque.

*    Apliquée aux deux angles supplémentaire en M pour lesquels cos(A2) = – cos(A1)

 

*    En égalisant
et en développant.

 

 

 

 

 

*    avec c = d + d'

 

Voir Démonstration (la même avec vérification GeoGebra)

 

 

 

 

 

 

Suite

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