NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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   TRIANGLES

 

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Triangle

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Triangle

 

 

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Sommaire de cette page

>>> Approche – 3, 4 ou 5 points

>>> Six points

>>> Neuf points

 

 

 

 

 

POINTS et TRIANGLES

 

Trois points non alignés définissent un triangle.

Avec neuf points combien de triangles? Sous quelles conditions?

 

 

 

Approche – 3, 4 ou 5 points

 

*    Trois points sont nécessaires et suffisent pour définir un triangle, à condition qu'ils ne soient pas alignés (sinon: triangle dégénéré).

 

 

 

 

*    Avec quatre points, il est possible de définir quatre triangles, deux par deux adjacents (un côté en commun); les deux paires se recouvrant.

*    Mais, il n'est pas possible de tracer deux triangles disjoints.

 

 

 

Triangles disjoints

*    Triangles sans sommet commun, sans côtés commun en tout ou partie et sans recouvrement même partiel.
Ils n'ont aucun point en commun.
 Triangles totalement indépendants.

 

*    Avec cinq points, c'est également impossible. On dessine un triangle avec trois points; impossible d'en dessiner un second avec les deux points qui restent.

 

 

Trois points

Trois points définissent un triangle, sauf si les points sont colinéaires.

 

Quatre points

 

Quatre points définissent quatre triangles qui se juxtaposent ou se chevauchent.

 

 

 

Six points

 

 

 

*    Avec six points, nous avons la possibilité de dessiner deux triangles disjoints.

 

*    Nous pouvons même admettre la présence de trois points alignés (figure).

 

 

 

*    Même: aucun inconvénient à autoriser quatre points alignés (figure en dessous).

 

 

 

*    Mais évidemment avec cinq points alignés, il est impossible de dessiner deux triangles distincts. Une fois le point isolé pris pour dessiner un triangle, il en reste trois alignés pour faire le second.

 

 

 

 

*    Question: peut-on se permettre la présence de deux couples de trois points alignés? La réponse pourrait être oui en regardant la figure du haut: en remontant légèrement le point haut-gauche de la figure.

*    Pourtant, avec deux triplets de points alignés dont un en commun, il n'est pas possible d'obtenir deux triangles disjoints (figure ci-contre).

 

Trois points alignés

 

Deux triangles distincts avec six points, même si trois sont alignés.

 

Quatre points alignés

 

Quatre points alignés sur six permettent encore de dessiner deux triangles distincts.

 

Double triplets de points alignés

 

 

Deux triplets de points alignés avec un point en commun rend impossible l'obtention de deux triangles distincts.

 

 

 

Neuf points

 

*    Les triplets alignés peuvent entraîner quelques soucis, alors la question que nous nous posons est la suivante:

 

Combien de triangles distincts peut-on former à coup sûr avec neuf points ne présentant pas de triplets alignés? Réponse: trois!

 

*    Traçons tous les segments possibles entre ces neuf points (il y en a ½ x 9 x 10 = 45).

*    Choisissons une direction (droite épaisse en rouge) non parallèle à ces segments. C'est possible car, il n'y aucune configuration de segment passant par trois points (hypothèse).

 

 

 

*    En faisant glisser cette droite parallèlement à elle-même, elle va rencontrer les points les uns après les autres.

 

*    Dés qu'elle en a passé trois, nous dessinons le triangle, et ainsi de suite pour chaque groupe de trois points.

 

 

Avec neuf points non-alignés par trois, il est toujours possible de dessiner trois triangles distincts.

 

 

 

 

 

 

Généralisation

 

Avec 3n points non-alignés par trois, il est toujours possible de dessiner n triangles distincts.

 

 

Anglais

If no three among 3n points are collinear, then, there exist n disjoint triangles that have those 3n points for their vertices.

P. Halmos (voir livre cité ci-dessous).

 

Une droite (rouge) non parallèle aux segments joignant tous les points deux à deux.

En glissant, cette droite balaye les points les uns après les autres.

Chaque groupe de trois points forment des triangles distincts.

 

 

 

 

 

Suite

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Livre

*    Problems for mathematicians young and old by Paul R. Halmos – The Mathematical Association of America.

Site

*    Encyclopedia of triangle centers (ETC) – Tous les centres du triangle possibles et imaginables (plus de 400!)

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Particul/Pointtrg.htm