Accueil

Orientation générale

Barre de recherche

DicoNombre

DicoMot Math

DicoCulture

Atlas des maths

Rubriques

Index alphabétique

Nouveautés

Actualités

Références

Édition du: 02/11/2020

M'écrire

Brèves de Maths

 

INDEX

 

Types de triangles

Triangle

Géométrie

 

Triangle: Droites remarquables

Droites et points

Bissectrices

Médianes – Propriétés

Point Milieu

Médiatrices

Médianes – Démo géom.

Point et triangles

Hauteurs

Médianes – Démo vecteurs

Distances

Triangle médian

Médianes – Démo autres

 

 

 

MÉDIANES du TRIANGLE (2/4)

Démonstrations

 

Démonstrations à propos des médianes des triangles et de leur point de concours, le centre de gravité.

 

Sommaire de cette page

>>> Types de démonstrations

>>> Démonstrations

Débutants

Géométrie

 

Glossaire

Médianes

Triangle

Voir Propriétés fondamentales des triangles

 

Démonstrations – Type et Accès

Géométrique

Longueurs 2:1  >>>

Céviennes >>>

Parallélogramme  >>>

Trapèze >>>

Triangles semblables >>>

Droites parallèles >>>

Analytique

Coordonnées du centre de gravité >>>

Calculs

Proportions >>>

Calcul des aires >>>

Logique

Descente infinie >>>

Vecteurs

Calcul vectoriel >>>

Vecteurs à somme nulle >>>

Isobarycentre >>>

 

Démo – Parallélogramme (Démo classique et simple)

haut

Hypothèses

Un triangle ABC;
AA' et CC' deux médianes qui se coupent en G.

La droite BG coupe AC en B'.

 

Ce qu'il faut démontrer

AB' = B'C et alors la droite BB' est la troisième médiane.

 

Démonstration

Construire le point K symétrique de B par rapport à G.

Diagonales

BG = GK

Il faut démontrer que B' est le pied de la médiane.

Ce sera le cas si GK et AC sont les diagonales d'un parallélogramme.

Parallèles

Théorème du point milieu

Dans le triangle BAK, C' et G sont des points milieux: C'G est parallèle à AK.

Dans le triangle BCK, A' et G sont des points milieux: A'G est parallèle à CK.

Parallélogramme

Avec des côtés parallèles deux à deux, le quadrilatère AGCK est un parallélogramme.

En prime

BG = GK = 2GB' ou encore GB' = 1/3 BB'

 

VARIANTE

Construire en C la parallèle à AA' qui coupe BB' en K.

Dans le triangle BCK,

A' étant le milieu de BC et

A'G est parallèle à CK,
Alors, G est le milieu de BK.

Dans le triangle ABK,

G et C' sont les milieux des côtés,
Alors, C'G est parallèle à AK.

Le quadrilatère AGCK

Il a ses côtés parallèles deux à deux,
c'est un parallélogramme.

Ses diagonales se coupent en leur centre:

AB' = B'C. 

 

 

Démo – Longueurs 2:1

haut

Hypothèses

Triangle ABC

Médianes AE et BD; intersection en G.

 

Ce qu'il faut démontrer

Le point G est unique pour toutes les médianes prises deux à deux.

 

Idée

Proportions dans les triangles semblables AGB  et EGD.

Le point G découpe une paire de médianes dans la proportion 2 : 1.

Avec une autre paire, on a le même point G. On en déduit que le point G est unique.

 

DE parallèle à AB

Les points D et E sont les milieux de AC et BC, les droites DE et AB sont parallèles.

Les triangles CDE et CAB sont semblables:
AB  = 2DE

Triangles AGB et EGD

Avec des angles égaux (en rouge), les triangles AGB et EGD sont semblables.

AB / DE = AG / GE
AG  = 2 GE 

Suite …

Cette proportion est valable pour la deuxième médiane pour le même point G.

On recommence avec une autre paire de médianes pour constater que le point G est le même.

 

Démo – Théorème de Céva

haut

 

Hypothèses

Un triangle ABC et ses médianes.

Les demi-longueurs des côtés x, y et z.

 

Théorème de Céva

Condition nécessaire et suffisante pour que les trois céviennes soient concourantes:

Ce qui est le cas ici.

 

 

Démo – Trapèze

haut

Construction

Triangle ABC.

 

Construction du triangle dont ABC sera le triangle médian:

*      C''B'' parallèle à BC en A.

*      BC'' parallèle à AC en B.

*      CB'' parallèle à AB en C.

 

Idée

Le point G est le point de concours des diagonales et médiane du trapèze.

Ce point est aussi le point de concours des médianes des triangles ABC et A''B''C''.

Identification de parallélogrammes et de triangles isométriques.

 

Avec deux côtés parallèles:

Le quadrilatère BCB''C'' est un trapèze.

Avec leurs côtés parallèles deux à deux:

Les quadrilatères BCAC'' et BCB''A sont des parallélogrammes, et BC = C''A = AB''.

Les diagonales se coupent en leur milieu:
BC' = C'A et CB' = B'A

BB' et CC' sont les médianes du triangle ABC.

Du fait du tracé des parallèles:

 

Les quatre triangles de cette figure (ABC, A"BC, BAC'' et CAB"") ont des angles égaux et un côté de même mesure.

Ils sont isométriques (superposables directement ou par rotation).

Avec BC = C''A = AB'', A est le milieu de C''B"

Avec BC parallèle à B''C'', le point A' est le milieu de BC.

La droite AA' est la médiane du trapèze BCB''C''.

Avec  A''B = BC'' et A''C = CB":

Les diagonales CC'' et BB'' du trapèze sont aussi les médianes du triangle A''B''C''.

Théorème du trapèze

Dans le trapèze, les diagonales BB'' et CC''et la médiane AA' se coupent en un point unique G.

Les médianes du triangle ABC se coupent en un point unique G.

Les médianes du triangle A''B''C'' se coupent en un point unique G.

 

Démo – Triangles semblables

haut

 

Construction

Triangle ABC.

Parallèles aux côtés opposés formant le triangle DFH.

Deux médianes AA' et BB' (en vert) avec intersection en I.

Il s'agit de montrer que la troisième médiane CC' passe par I.

 

Construction complémentaire

Médianes BB1 et CC1 des triangles bleux.

Diagonale BF.

Diagonale DC.

Droite AE qui coupe DB en B''.

En bref

Cette démonstration reprend celle avec le trapèze, en ignorant le théorème du trapèze

Les triangles colorés étant superposables, si le point G ou E est un point de concours des médianes, alors le point I l'est aussi.

Deux médianes dans chaque triangle bleu, par superposition de ces triangles, produisent les trois médianes qui se coupent en un même point.

Triangles isométriques

Avec l'effet des parallèles, les quadrilatères DACB et AFCB sont des parallélogrammes: BC = DA = AF.

Les angles des triangles ABC, BAD et CFA sont égaux deux à deux, et avec un côté de même mesure, ils sont isométriques (égaux).

EB1 = GC1

A milieu de DF; B1 milieu de DA et C1 milieu de AF.

B1A = AC1 = BA' = A'C.

AA', BB1 et CC1 sont parallèles. AA' = BB1 = CC1.

Dans le triangle DCC1: le point B1 est situé au 1/3 de DC1.
Avec Thalès: EB1 = 1/3 CC1

Même chose avec le triangle FBB1 et GC1 = 1/3 BB1.

En rapprochant les deux égalités: EB1 = GC1

Superposition

Dans le triangle de droite (AFC), deux médianes se coupent en G.

On superpose le triangle de droite sur celui de gauche, y compris ses attributs: CC1 en BB1; G en E; FB' en AB".

Le point B' est le milieu de AC; B" est donc le milieu de DB.

Le point E, construit comme intersection de BB1 et DC est également sur la médiane AB".

DC' est médiane

Dans le parallélogramme DACB, les diagonales se coupent en leur milieu: le point C' est le milieu de AB et DC' est la troisième médiane de DAB.

Les trois médianes de DAB se coupent au même point E.
C'est le cas pour ses triangles semblables ABC et ACF.

Centres de gravité

Cette figure montre que le point I est le centre de gravité des triangles ABC et HDF.

Et, que E et G sont les centres de gravité des triangles DAB et AFC. 

L'idée de cette démonstration est due à Rachid Annouaoui

 

Démo –Coordonnées

haut

Repère Oxy.

Coordonnées des points (xi, yi).

 

Idée

On suppose que le point G est situé au 2/3 de chaque médiane.

On montre que les trois couples de coordonnées obtenues sont identiques et, donc, que le point G est unique.

F milieu de AB

G au 2/3 de CF

Avec les coordonnées de F

Formule symétrique en A, B et C

Les coordonnées de A, B et C peuvent être permutées sans changer les coordonnées de G.

Un calcul sur les deux autres médiatrices donnerait le même résultat.

Le point G est unique.

 

SUITE Démonstrations avec vecteurs (3/4) >>>

Haut de page

                                                                                                                                                                                

 

Retour

*      Médianes – Propriétés

*      Droites et points

Suite

*      Médianes concourantes – Démonstrations avec vecteurs

*      Illustration en 3D du centre de gravité d'un triangle

*      Construire le triangle connaissant les médianes

*    Quatre triangles

*      Triangles et carrés

*      Triangles et droites de partage

Voir

*      DicoMot

*      DicoNombre

*      Droite de Simson

*      Droite d'Euler

*      Éléments de géométrie

*      Triangle – Débutants, novices

*      MédianesGlossaire

*      TriangleIndex

*      Cercle

*      Losange et son cercle inscrit

Sites

*      Médianes dans un triangle – Comme exercice de 4e (avec le formalisme requis)

*      Point de concours des médianes – Bibm@th

*      Les médianes d’un triangle – Questions types du bac

*      The Medians – Cut-The-Knot Preuve par descente infinie

*      Proof That the Medians of a Triangle are Concurrent – Michael McCallum

*      Concurrence of Medians (1 of 2: Proof via similar triangles) – Eddie Woo - Vidéo

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Triangle/Propriet/Mediane1.htm

Haut de page