Anglais: angle bisector

 

 

Approche

Prenez une feuille de papier; amenez le bord-bas vers le bord-gauche et pliez.

La marque de la pliure est la bissectrice de l'angle droit bas gauche; on a divisé l'angle droit en deux parties égales (45°).

 

Définition

 

Bissectrice d'un angle: demi-droite issue du sommet de l'angle et qui le partage en deux parties égales; notez qu'il en existe deux pour chaque angle: la bissectrice interne et la bissectrice externe; les trois bissectrices internes d'un triangle se coupent en un même point, centre du cercle inscrit dans le triangle.

 

Formalisation

La demi-droite [MB) est la bissectrice de l'angle

 

Propriété majeure

*        Tout point de la bissectrice est équidistant des deux droites.

PH  =  PK

P'H' = P'K'

 

 

Construction

*        Avec un compas de centre O dessinez M et M';

*        Puis avec la même ouverture de compas dessinez un arc de cercle de centre M et un autre de centre M';

*        Ils se croisent en B; OB est la bissectrice de l'angle MOM'.

 

 

Terminologie

 

*        On dit: Bissectrice de l'angle ou bissectrice du secteur angulaire.

*        La bissectrice telle que représentée ci-dessus est la bissectrice intérieure de l'angle; en prolongeant OB au-delà de O, on forme la bissectrice extérieure de l'angle.

 

 

 

 

Propriétés

 

*        La bissectrice partage l'angle en deux parties égales.

*        La bissectrice est un axe de symétrie du secteur angulaire.

*        Dans un triangle isocèle la bissectrice de l'angle au sommet est aussi la médiatrice et la hauteur.
Dans un triangle équilatéral, cette propriété est vraie pour les trois bissectrices.

*        Dans un triangle quelconque, les trois bissectrices intérieures concourent en un même point, le centre du cercle inscrit dans le triangle.

 

Voir Démonstration

 

Le cercle inscrit dans le triangle est tangent aux trois côtés du triangle.



*        Dans un triangle, une bissectrice intérieure et les deux bissectrices extérieures concourent en un même point, le centre d'un des trois cercles exinscrits du triangle.

Note: bissectrice intérieure et bissectrice extérieure sur un même sommet sont perpendiculaires (bissectrices de deux angles dont la somme est un plat – 180°).

 

Voir Triangle et cercle / Cercles exinscrits – Développements

 

 

To produce (geometry)

A circle which touches one side of a triangle and the other two produced is called an escribed circle of the triangle.

Un cercle exinscrit à un triangle tangent à un côté et aux deux autres prolongés.

Voir Faux-amis anglais

 

 

 

Démonstration

Hypothèses

Un triangle ABC; AA' et CC' deux bissectrices qui se coupent en O.

 

Ce qu'il faut démontrer

La droite BB' est la troisième bissectrice.

 

Démonstration

Le point O étant sur la bissectrice AO de l'angle BAC, il est à égale distance des côtés: OB" = OC".

Le point O étant sur la bissectrice CO de l'angle ACB, il est à égale distance des côtés: OB" = OA".

D'où l'égalité: OB" = OC" = OA"

Autrement-dit, le point O est à égale distance des côtés AB et AC de l'angle ABC.

Il est situé sur la bissectrice de cet angle; BB' est la troisième bissectrice.

  

 

 

Théorème de la bissectrice

*        La bissectrice AM découpe une sécante BC dans le rapport des côtés adjacents AB et AC.

 

Démonstration

 

La démonstration est d'une grande simplicité à condition d'une petite astuce de tracé.

 

*        On dessine NC parallèle à la bissectrice AM.

*        Les angles A1 = N1 et A2 = C2

*        Or A1 = A2 (bissectrice).

*        Conclusion: le triangle ANC est isocèle et AN = AC.

*        Avec l'aide de Thales .

*        Et en remplaçant AN par AC.

Voir Application au partage d'un triangle en sept parties de même aire

 

Ligne isogonale

*        Soit un angle et sa bissectrice; une ligne symétrique par rapport à la bissectrice est son isogonale.

 

Propriété

*        Dans un triangle, si trois droites issues des sommets sont concourantes, alors leurs isogonales sont concourantes.

*        Le point est le conjugué isogonal. C'est le cas du point de Fermat.

 

 

 

Anglais

*        To bisect: to cut in half; to bisect a line or an angle means to divide it into two equal parts.

Note de prudence: souvent ce mot est pris pour diviser en deux, pas forcément en parts égales.

 

Prononciation:baɪˈsekt] en gros: baille secte.

 

Orthographe (un "s" ou deux; parts égales ou non?)

*        (Angle) bisector: the line that divides an angle into two equal angles.

The internal bisector and external bisector of an angle.

*        Perpendicular bisector (fr. médiatrice).

 

The three angle bisectors of a triangle intersect in a single point; this point is the center of the triangle's incircle, the circle which lies inside the triangle and touches all three sides. There are three other important circles, the excircles; they lie outside the triangle and touch one side as well as the extensions of the other two.

En savoir plus

 

*           Allumettes – Bissection avec des -

*           Angles

*           Bissection

*           Bissection du triangle

*           Bissection et trisection

*           Carrés et couronnes

*           Cercles inscrit et exinscrits

*           Cercles inscrits au milieu d'autres cercles

*           Constructions élémentaires: bissectrice

*           Couper en deux – Découverte Junior

 

 

 

 

Section avancée*

 

 Coordonnées du centre du cercle inscrit

 

Quelles sont les coordonnées du point O?

 

 

 

 

Avec AT l'aire du triangle ABC (voir formules de Héron).

 

Même formules avec permutations pour les autres bissectrices.

 

Voir Rayon du cercle inscrit / Calculs pour l'orthocentre / Droite d'Euler

 

 

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