nombre d'or et géométrie

NOMBRES – Curiosités, Théorie et Usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 10/12/2023 Orientation générale DicoMot Math Atlas Actualités M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique Références Brèves de Maths
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	Triangle de Kepler	Ellipse	Construction dorée
		Sommaire de cette page >>> Triangle doré de Pythagore >>> Triangle d'or en n, n² et n³ >>> Cartes de crédits dorées >>> Rectangles d'or >>> Spirale >>> Polyèdres réguliers >>> De l'or dans le triangle équilatéral >>> Polyèdres réguliers

NOMBRE D'OR & GÉOMÉTRIE

Le nombre d'or est noté la lettre grecque majuscule phi.

Valeur du nombre d'or:

= 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 …

La corde sous 108° est en relation dorée avec le rayon

Le pentagone est le royaume du nombre d'or

TRIANGLE doré de Pythagore

Triangle rectangle construit à partir de la relation: Φ ² = Φ + 1

Que l'on peut écrire

Φ ² = (Φ)² + 1²

En numérique

1,618² = 1,272² + 1

2,618 = 1, 618 + 1

Voir Triangle de Pythagore

Les deux angles:

51,82729234 …°

38,17270766… °

Voir Triangles isocèles dorés (Triangles d'or)

Triangle d'or en n, n² et n³

haut

Question

Quel est le seul triangle rectangle de mesures n, n² et n³ ?

C'est celui de cette figure dont l'un des côtés est le nombre d'or.

Démonstration

Voir Nombre d'or et son équation

Cartes de crédits … dorées ? Non !
Le format des cartes de crédits, cartes de fidélité, cartes à puce approchent le format du rectangle d'or. En disposant deux cartes comme indiqué, l'une verticale et l'autre horizontale, les trois points jaunes sont alignés. C'est d'ailleurs un excellent moyen de vérifier qu'un rectangle est doré.
La relation indiquée sur la figure se traduit par: b² = a² + ab Or b = a a²² – a² – a² = 0 A n'est pas nul: ² – – 1 = 0 Qui est l'équation du nombre d'or.
OUI, mais, ce n'est pas exactement un rectangle d'or. Un écart d'environ 1,8 %.	Dimensions normalisées (ISO 7810) des cartes de crédit et dimensions qu'elles devraient avoir pour former un rectangle d'or parfait.

Merci à Annie pour ses précisions et sa vigilance !

RECTANGLES D'OR
Le rectangle ABCD est doré AB = 1 & BC = Φ Longueur / largeur: R = Φ R_ABCD = Φ Dessinons le carré ABEG Le rectangle ECDG est doré: CD = 1 EC = Φ – 1 = 1 / Φ R = 1 / (1/ Φ) = Φ R_ECDG = Φ Dessinons le carré ECJF Le rectangle FJDG est doré R_FJDG = Φ	Successions de rectangles dorés de plus en plus petits, jusqu'à l'infini … Si on ajoute ou retranche un carré au rectangle doré, on forme un nouveau rectangle doré. Application à la construction de la spirale, ci-dessous.
Relation à noter dans un tel rectangle Relation basée sur l'expression de Phi et qui peut servir pour la construction d'un rectangle d'or.

Voir Rectangles emboîtés / Rectangle d'or / Construction de Phi

Rectangles d'or (généralisation)

Définition

Par extension tous les rectangles ayant pour longueur et largeur deux nombres de Fibonacci sont appelés rectangle d'or. En effet le rapport de ces deux dimensions est proche du nombre d'or et tend vers le nombre d'or pour les plus grandes valeurs.

Liste des produits (dimensions des rectangles d'or)

SPIRALE dans les rectangles dorés

Construction basée sur l'emboîtement des rectangles dorés:

Spirale logarithmique ou équiangulaire

Le rectangle doré est découpé par un carré et un autre rectangle doré, et on peut répéter (Voir ci-dessus).

La spirale obtenue est une spirale équiangulaire.

Toutes les lignes droites partant de son centre

coupe la spirale exactement sous le même angle.

Elle est similaire à elle-même.

Les diagonales des rectangles se coupent au même point qui est le point limite de la spirale.

Elle apparaît souvent dans la nature: tournesols, coquillages, disposition des feuilles sur certaines branches...

POLYÈDRES réguliers (platoniciens)

Icosaèdre

Les douze sommets sont coplanaires par 4.

Ils forment 3 rectangles dorés perpendiculaires en eux.

Octaèdre

On peut y inscrire un icosaèdre de sorte que
chaque sommet du premier divise en or l'arête du second

Dodécaèdre

Même chose que l'icosaèdre, mais en prenant les centres des faces:

on forme 3 rectangles d'or perpendiculaires ente eux.

De l'or dans le triangle équilatéral
Propriété Un triangle équilatéral ABC et son cercle circonscrit. Les points milieux D et E et la droite De qui coupe le cercle en F et G. Alors DE / EF = nombre d'or. Démonstration On note DE = a et EF = b et a / b = x
Triangle équilatéral et points milieux		AE = EC = DE = a GD = EF = b
Théorème des cordes		AE . EC = GE . EF
En remplaçant		a . a = (a + b) b a² = ab + b²
En divisant par b² et en utilisant x		x² = x + 1 dont la racine est le nombre d'or.
Le nombre d'or se trouve aussi dans le rapport des longueurs AF / FC. Voir Démonstration par J.-L. Breuil

Voir Construction du pentagone par Jean-Louis Breuil

Polyèdres réguliers

Dodécaèdre régulier de côté 2/Phi: coordonnées des 20 sommets

Avec les centres des 12 pentagones, on forme 3 rectangles d'or qui se coupent à angle droit au centre.

Dodécaèdre et cube inscrit: coté de l'un sur côté de l'autre = Phi

Icosaèdre régulier de côté 2

Avec les 12 sommets, on forme 3 rectangles d'or qui se coupent à angle droit au centre.

Cube et icosaèdre inscrit; coté de l'un sur côté de l'autre = Phi

Voir Dodécaèdre et Icosaèdre

Suite	Construction du nombre d'or Dissection du pentagone en triangles isocèles De l'or dans les cercles Étoile Triangles isocèles dorés Trigonométrie du nombre d'or Valeurs du nombre d'or
Aussi	Cercle Constante Pi Constantes Mathématiques Construction géométrique des nombres Série du type Fibonacci et cousins
DicoNombre	Nombre 1,618…
Site	Some Solid (Three-dimensional) Geometrical Facts about the Golden Section – Dr Ron Knot
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbOrGeom.htm

Renvois de liens

Ellipse dorée

Croissant de lune - lunule

Triangle et rectangle en or

Pentagone et étoile à 5 branches

Cercle