NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Nombres d'or

 

Débutants

NOMBRE

D'OR

GÉOMÉTRIE

 

Glossaire

NOMBRE

D'OR

 

 

INDEX

 

Suite de Fibonacci et nombre d'or

 

 

Géométrie

 

Index

Introduction

Proportion

Construction

Géométrie

Étoile

Aire Phi

Cercle

Triangle de Kepler

 

Sommaire de cette page

>>> Triangle doré de Pythagore

>>> Cartes de crédits dorées

>>> Rectangles d'or

>>> Spirale

>>> Polyèdres réguliers

>>> De l'or dans le triangle équilatéral

>>> Polyèdres réguliers

 

 

 

 

 

NOMBRE D'OR & GÉOMÉTRIE

 

Le nombre d'or est noté  la lettre grecque majuscule phi.

 

Valeur du nombre d'or:

             = 1,618 033 988 749 894 848 204 586 834 365 …

 

 

La corde sous 108° est en relation dorée avec le rayon

 

 

TRIANGLE doré de Pythagore

 

*  Triangle rectangle construit à partir de la relation:   Φ ² = Φ + 1

 

*  Que l'on peut écrire

                    Φ ² = (Φ + 1²

 

En numérique

1,618² = 1,272² + 1

2,618  = 1, 618 + 1

 

Voir Triangle de Pythagore

 

Les deux angles:

  51,82729234 …°

  38,17270766… °

Voir Triangles isocèles dorés (Triangles d'or)

 

 

 

Cartes de crédits … dorées!

 

*    Le format des cartes de crédits, cartes de fidélité, cartes à puce sont généralement au format du rectangle d'or.

*    En disposant deux cartes comme indiqué, l'une verticale et l'autre horizontale, les trois points jaunes sont alignés. C'est d'ailleurs un excellent moyen de vérifier qu'un rectangle est doré.

 

 

La relation indiquée sur la figure se traduit par:

   b² = a² + ab

 

Or b = a

  ² – a² – a² = 0

A n'est pas nul:

  ² –  – 1 = 0

 

Qui est l'équation du nombre d'or.

 

 

RECTANGLES D'OR

 

*  Le rectangle ABCD est doré

AB = 1 & BC = Φ

*  Longueur / largeur:
    R = Φ

RABCD = Φ

*  Dessinons le carré ABEG

Le rectangle ECDG est doré:

CD = 1

EC = Φ – 1 = 1 / Φ

R = 1 / (1/ Φ) = Φ

RECDG = Φ

 

*  Dessinons le carré ECJF

Le rectangle FJDG est doré

RFJDG = Φ

 

Successions de rectangles dorés

de plus en plus petits,

jusqu'à l'infini …

 

Si on ajoute ou retranche un carré au rectangle doré, on forme un nouveau rectangle doré.

 

Application à la construction de la spirale, ci-dessous.

Relation à noter dans un tel rectangle

*  Relation basée sur l'expression de Phi et qui peut servir pour la construction d'un rectangle d'or.

Voir Rectangles emboîtés / Rectangle d'or / Construction de Phi

 

 

SPIRALE dans les rectangles dorés

 

*  Construction basée sur l'emboîtement des rectangles dorés:

 

 

Spirale logarithmique ou équiangulaire 

 

*  Le rectangle doré est découpé par un carré et un autre rectangle doré, et on peut répéter (Voir ci-dessus).

 

*  La spirale obtenue est une spirale équiangulaire.

 

Toutes les lignes droites partant de son centre

coupe la spirale exactement sous le même angle.

 

*  Elle est similaire à elle-même.

*  Les diagonales des rectangles se coupent au même point qui est le point limite de la spirale.

 

*  Elle apparaît souvent dans la nature: tournesols, coquillages, disposition des feuilles sur certaines branches...

 

 

 

 

POLYÈDRES réguliers (platoniciens)

 

 

Icosaèdre

*  Les douze sommets sont coplanaires par 4.

*  Ils forment 3 rectangles dorés perpendiculaires en eux.

 

 

Octaèdre

*  On peut y inscrire un icosaèdre de sorte que
chaque sommet du premier divise en or l'arête du second

 

 

Dodécaèdre

*  Même chose que l'icosaèdre, mais en prenant les centres des faces:

on forme 3 rectangles d'or perpendiculaires ente eux.

 

 

 

 

De l'or dans le triangle équilatéral

Propriété

Un triangle équilatéral ABC et son cercle circonscrit.

Les points milieux D et E et la droite De qui coupe le cercle en F et G.

 

Alors DE / EF  =  nombre d'or.

 

 

 

Démonstration

 

On note DE = a et EF  = b

et a / b = x

Triangle équilatéral et points milieux

AE = EC = DE = a

GD = EF  = b

Théorème des cordes

AE . EC = GE . EF

En remplaçant

a .  a = (a + b) b

a² = ab + b²

En divisant par b² et en utilisant x

x² = x + 1

dont la racine est le nombre d'or.

 

 

Polyèdres réguliers

 

Dodécaèdre régulier de côté 2/Phi: coordonnées des 20 sommets

Avec les centres des 12 pentagones, on forme 3 rectangles d'or qui se coupent à angle droit au centre.

Dodécaèdre et cube inscrit: coté de l'un sur côté de l'autre  = Phi

 

 

Icosaèdre régulier de côté 2

Avec les 12 sommets, on forme 3 rectangles d'or qui se coupent à angle droit au centre.

Cube et icosaèdre inscrit;  coté de l'un sur côté de l'autre  = Phi

 

Voir Dodécaèdre et Icosaèdre

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Construction du nombre d'or

*    De l'or dans les cercles

*    Étoile

*    Triangles isocèles dorés

*    Trigonométrie du nombre d'or

*    Valeurs du nombre d'or

Aussi

*    Cercle

*    Constante Pi

*    Constantes Mathématiques

*    Construction géométrique des nombres

*    Série du type Fibonacci et cousins

DicoNombre

*    Nombre 1,618…

Site

*    Some Solid (Three-dimensional) Geometrical Facts about the Golden Section – Dr Ron Knot

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Geometri/NbOrGeom.htm

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Renvois de liens

Ellipse dorée

Croissant de lune - lunule

Triangle et rectangle en or

Pentagone et étoile à 5 branches 

Cercle