NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 29/01/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
	Géométrie
Débutants Géométrie	SPHÈRE			Glossaire Géométrie
INDEX Géométrie	Général	Aire et volume	Volumes proches
	Empilements	Calotte …	Et cube
	Sphère terrestre
	Sommaire de cette page >>> Index – Sphère >>> Approche >>> Propriétés >>> Sphère et cylindre >>> Équations

SPHÈRE – Introduction et Index

Vocabulaire

La sphère est la surface qui délimite la boule.

Le cercle est la ligne qui délimite le disque.

Aire du disque	Aire de la sphère	Volume de la boule
	A = 4 R^2 = D^2	S = 4/3 R^3
DISQ = R^2	A = 4 DISQ

Index SPHÈRE

Aire et volume - Méthode de calcul Ballon de football Conjecture de Poincaré Empilement des disques en 0,9069 Empilement des sphères Hypersphère Hypersphère et Poincaré Hypersphère et Univers Iso-Aire Polyèdres proches de la sphère Sphère de dimension 7 Sphère en n dimensions en 12 Sphère terrestre Surface (aire) de la sphère en 12,56 Topologie et sphère Triangle sphérique Volume de la sphère en 4,188 Volume de l'hypersphère en 5,25 Volumes comparés du cube et de la sphère DicoMot - Sphère

Voir Expression avec le mot "sphère"

SPHÈRE – APPROCHE
Bulle ou surface de la sphère Ensemble des points situés à une distance fixe R d'un point donné. Boule ou volume de la sphère Solide engendré par la rotation d'un demi-cercle autour de son diamètre. Le point O est le centre de la sphère. La distance R = OA est le rayon. Le diamètre DD' est égal à deux fois le rayon. Deux points de la sphère D et D' opposés par le centre sont diamétralement opposés.

Anglais: Sphere, radius, diameter, antipode, bubble, ball

SEGMENT sphérique
Tranche d'une boule formée par la découpe de deux plans parallèles. Volume du segment sphérique

PROPRIÉTÉS
Rayon Tous les rayons sont égaux à R. Tous les diamètres sont égaux à 2R	OA = OD = OP = … = R
Points Par deux points de la sphère diamétralement: opposés passent une infinité de grands cercles. Ces grands cercles ont tous la même longueur. non diamétralement opposés passe un seul grand cercle	APB, ADB, AD'B … pp'
La distance la plus courte sur la sphère entre deux points est une géodésique: arc de grand cercle entre ces deux points.Cette distance est appelée distance sphérique. Elle est mesurée par l'angle au centre qui intercepte l'arc. Ceci est valable car tous les grands cercles sont de même longueur.	PP' POP'
Plan Toute intersection de la sphère et du plan produit un cercle ou un point si le plan est tangent à la sphère. Le cercle est minimum en ce point de tangence. Il est maximum lorsque le plan de section passe par le centre (et contient de ce fait un diamètre).
Propriété  Soit CC'P trois points de la sphère et du plan; Soit P un point de l'intersection du plan et de la sphère; La distance NP est fixe: P est situé sur un cercle de centre N de rayon r² = R² - h²	NP² = OP² - ON² = R² - h² = Constante
Le plan tangent est en contact avec un seul point T de la sphère. Le rayon OT est perpendiculaire au plan tangent.

Anglais: geodesic, great circle

SPHÈRE ET CYLINDRE

Considérons le cylindre circonscrit à la sphère: 

La surface du cylindre est égale à celle de la sphère.

Le volume entre le cylindre et la sphère vaut 1/2 sphère.

Voyons cela en formules:

ASphère	= 1	VSphère	= 2/3
Acylindre		Vcylindre

Pour le volume, on écrit aussi (ce qui revient au même).

VSphère	= 2
Vcylindre - VSphère

Archimède fier de ce résultat, le fit inscrire sur sa tombe.

Voir Démonstrations / Comparaison au cube

ÉQUATIONS

Cartésienne

x² + y² + z² = r²

Entre deux points

diamétralement opposés

(x-x₁) (x-x₂) + (y-y₁) (y-y₂) + (z-z₁) (z-z₂) = 0

Passant par 4 points

x² + y² + z² x1² + y1² + z1² x2² + y2² + z2² x3² + y3² + z3² x4² + y4² + z4²

x x1 x2 x3 x4

y y1 y2 y3 y4

z z1 z2 z3 z4

1 1 1 1 1

= 0

Polaire

x = r cosq sinj

y = r sinq sinj

z = r cosj

Paramétrique

u = r cosj

x =(r² - u²) cosq

y = (r² - u²) sinq

z = u

Généralisation

(ou la sphère est un cas particulier )

Ellipsoïde

x²	+	y²	+	z²	= 1
a²		b²		c²

Sphéroïde

x² + y²	+	z²	= 1
a²		c²

Hypersphère

x² + y² + z² + t² + … = r²

Suite	Aire et volume Voir Index
Voir	Cercle Deltaèdre Géométrie Illusions d'optique Nombre d'argent Nombre d'or Nombres en cercle Polyèdres  Sphère terrestre Triangle sphérique Triangles Vocabulaire de la géométrie