NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

 

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Géométrie

 

 

Général

Aire et volume

Volumes proches

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Calotte …

Et cube

Sphère terrestre

 

Sommaire de cette page

>>> Index – Sphère

>>> Approche

>>> Propriétés

>>> Sphère et cylindre

>>> Équations

 

 

 

 

 

SPHÈRE – Introduction et Index

 

Vocabulaire

La sphère est la surface qui délimite la boule.

Le cercle  est la  ligne     qui délimite le disque.

 

 

Aire du disque

Aire de la sphère

Volume de la boule

A = 4  R2 =  D2

V = 4/3  R3

DISQ =  R2

A = 4 DISQ

 

 

 

 

 Index 

SPHÈRE

 

 

 

 

*      Aire et volume - Méthode de calcul

*      Ballon de football

*      Conjecture de Poincaré

*      Empilement des disques en 0,9069

*      Empilement des sphères

*      Hypersphère

*      Hypersphère et Poincaré

*      Hypersphère et Univers

*      Iso-Aire

*      Polyèdres proches de la sphère

*      Segment sphérique

*      Sphère de dimension 7

*      Sphère en n dimensions en 12

*      Sphère terrestre

*      Surface (aire) de la sphère  en 12,56

*      Topologie et sphère

*      Triangle sphérique

*      Volume de la sphère - Méthode de calcul

*      Volume de la sphère en 4,188

*      Volume de l'hypersphère en 5,25

*      Volumes comparés du cube et de la sphère

 

*      DicoMot - Sphère

 Voir Expression avec le mot "sphère"

 

 

SPHÈRE – APPROCHE

 

Bulle ou surface de la sphère

 

*      Ensemble des points situés à une distance fixe R d'un point donné.

 

Boule ou volume de la sphère

 

*      Solide engendré par la rotation d'un demi-cercle autour de son diamètre.

 

Le point O est le centre de la sphère.

La distance R = OA est le rayon.

Le diamètre DD' est égal à deux fois le rayon.

Deux points de la sphère D et D' opposés par le centre sont diamétralement opposés.

Anglais: Sphere, radius, diameter, antipode, bubble, ball 

 

 

SEGMENT sphérique

 

 

*      Tranche d'une boule formée par la découpe de deux plans parallèles.

 

Volume du segment sphérique

 

 

PROPRIÉTÉS de la sphère

 Rayon

*      Tous les rayons sont égaux à R.
Tous les diamètres sont égaux à 2R

OA = OD = OP = …

= R

Points

*      Par deux points de la sphère diamétralement:

*      opposés passent une infinité de grands cercles. Ces grands cercles ont tous la même longueur.

*      non diamétralement opposés passe un seul grand cercle

APB, ADB, AD'B

PP'

*      La distance la plus courte sur la sphère entre deux points est une géodésique: arc de grand cercle entre ces deux points. Cette distance est appelée distance sphérique. Elle est mesurée par l'angle au centre qui intercepte l'arc. Cela est valable car tous les grands cercles sont de même longueur.

PP'

POP'

Plan

*      Toute intersection de la sphère et du plan produit un cercle ou un point si le plan est tangent à la sphère. Le cercle est minimum en ce point de tangence. Il est maximum lorsque le plan de section passe par le centre (et contient de ce fait un diamètre).

 

 

/

*      Propriété 

*      Soit CC'P trois points de la sphère et du plan;

*      Soit P un point de l'intersection du plan et de la sphère;

*      La distance NP est fixe: P est situé sur un cercle

*    de centre N

*    de rayon r² = R² - h²

NP² = OP² - ON²

= R² - h²

= Constante

*      Le plan tangent est en contact avec un seul point T de la sphère. Le rayon OT est perpendiculaire au plan tangent.

/

Anglais: geodesic, great circle

 

 

 

SPHÈRE ET CYLINDRE

*      Considérons le cylindre circonscrit à la sphère: 

La surface du cylindre est égale à celle de la sphère.

Le volume entre le cylindre et la sphère vaut 1/2 sphère.

 

*      Voyons cela en formules:

 

ASphère

= 1

 

VSphère

= 2/3

Acylindre

 

Vcylindre

 

*      Pour le volume, on écrit aussi (ce qui revient au même).

VSphère

= 2

Vcylindre - VSphère

 

*      Archimède fier de ce résultat, le fit inscrire sur sa tombe.

Voir  Démonstrations

 

 

Volume occupé dans le cube

La sphère occupe en gros la moitié du cube qui l'enveloppe.

Voir  Comparaison des aires de la boule et du cube  / Volume de l'hypersphère

 

 

 

ÉQUATIONS de la sphère

Cartésienne

x² + y² + z² = r²

Entre deux points

diamétralement opposés

(x-x1) (x-x2) + (y-y1) (y-y2) + (z-z1) (z-z2) = 0

Passant par 4 points

x² + y² + z²

x1² + y1² + z1²

x2² + y2² + z2²

x3² + y3² + z3²

x4² + y4² + z4²

x

x1

x2

x3

x4

y

y1

y2

y3

y4

z

z1

z2

z3

z4

1

1

1

1

1

= 0

Polaire

x =  r cosq sinj

y =  r sinq sinj

z =  r cosj

Paramétrique

u = r cosj

x =(r² - u²)   cosq

y = (r² - u²)   sinq

z = u

Généralisation

(ou la sphère est un cas particulier )

Ellipsoïde

+

+

= 1

Sphéroïde

x² + y²

+

= 1

Hypersphère

x² + y² + z² + t² + … = r²

 

 

  Sphère-robot (Rosphere)

Les chercheurs de l'Université de Madrid ont imaginé un robot sphérique, capable de se déplacer sur tout type de terrain. Il est mû par l'action d'un balancier interne qui déplace le centre de gravité, entraînant le mouvement de la sphère.

Actualité de juillet 2013

 

 

Suite

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*    Voir Index

Voir

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