NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Références / Nouveautés

ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 19/11/2005

 

 SOS je suis

 Débutant

-Ý- Rubrique: NOMBRES GÉOMÉTRIQUES

Glossaire

Nombres Géométriques

§         Pairs / Impairs

§         Carrés

§         Cubes

§         Centrés

§         Proniques

§         Pentagonal et suite

§         Tétraédriques

§         Hex

§         Triangulaires

§         Grappes

§         Pyramidaux

§          

 

Sommaire de cette page

 

>>> NOMBRES PENTAGONAUX

>>> NOMBRES HEXAGONAUX

>>> NOMBRES k-GONAUX

 

Pages voisines

 

Nombres géométriques

§   Introduction

§   Valeurs

§   Théorie

 

§   Pentagone et étoile à 5 branches

§   Hexagone et étoiles à 6 branches

 

 

 

NOMBRES PENTAGONE,

HEXAGONE …

 

Nombres figurés en forme de polygones

 

Voir

 

Comme pour tous les nombres géométriques, en les dessinant on peut trouver des découpes qui donnent des relations entre eux

Pavages des nombres géométriques

 

 

-Ý-  NOMBRES PENTAGONAUX

 

P5

= { 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001,  … }

P5n

= 1/2 n (3n - 1)

= { 3n² - n } /2

 

= 1/3 T3n-1

= 1/3 x 1/2 (3n-1)(3n)

= 1/2  n(3n - 1)

 

= 3 Tn-1 + n

= 3 x 1/2 x (n-1)n + n

= 3/2 x n² - 1/2 x n

 

= Tn-1 + n²

 

P53

= 1/2 x 3(9-1) = 12

= 1/3 x 36 = 12

= 3 x 3 + 3 = 12

= 3 + 9 = 12

 

 

 

-Ý-  NOMBRES HEXAGONAUX

P6

= { 1, 6, 15, 28, 45 … }

P6n

= n (2n - 1)

= 2n² - n

 

= T2n-1

= 1/2 x (2n-1) 2n

= 1/2 (4n² - 2n)

= 2n² - n

 

= 4 Tn-1 + n

= 4 x 1/2 x (n-1)n + n

= 2n (n-1) + n

= 2n² - n

 

= 3 Tn-1 + Tn

= 3/2 (n-1)n + 1/2 n(n+1)

= 1/2 { 3n² - 3n + n² + n }

= 2n² - n

P63

= 3 (6-1) = 15

= 15 (5e triangulaire)

= 4 x 3 + 3 = 15

= 3 x 3 + 6 = 15

 

 

À noter

Les nombres hexagonaux sont égaux à un nombre triangulaire sur deux: les triangulaires impairs

Hn = T2n-1

 

Triangle

1

3

6

10

15

21

28

Hexagone

1

 

6

 

15

 

28

 

 

Tous les nombres parfaits

sont hexagonaux

et donc triangulaires

Voir Nombres Parfaits 

 

  

-Ý-  NOMBRES k-GONAUX

P7

P8

P9

P10

= { 1, 7, 18, 34, 55 … }

= { 1, 8, 21, 40, 65 … }

= { 1, 9, 24, 46, 75 … }

= { 1, 10, 27, 52, 85 … }

Pentagonaux

Octogonaux

Ennéagonaux

Décagonaux

Pkn

= 1/2 {kn(n - 1)} - n(n - 2)

 

= (k - 2) Tn-1 + n

 

 

 

 

Table des polygonaux de k = 1 à 10

      k =

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

n = 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

  2

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

  3

1

3

6

9

12

15

18

21

24

27

  4

1

4

10

16

22

28

34

40

46

52

  5

1

5

15

25

35

45

55

65

75

85

  6

1

6

21

36

51

66

81

96

111

126

  7

1

7

28

49

70

91

112

133

154

175

  8

1

8

36

64

92

120

148

176

204

232

  9

1

9

45

81

117

153

189

225

261

297

10

1

10

55

100

145

190

235

280

325

370

11

1

11

66

121

176

231

286

341

396

451

12

1

12

78

144

210

276

342

408

474

540

13

1

13

91

169

247

325

403

481

559

637

14

1

14

105

196

287

378

469

560

651

742

15

1

15

120

225

330

435

540

645

750

855

16

1

16

136

256

376

496

616

736

856

976

17

1

17

153

289

425

561

697

833

969

1105

18

1

18

171

324

477

630

783

936

1089

1242

19

1

19

190

361

532

703

874

1045

1216

1387

20

1

20

210

400

590

780

970

1160

1350

1540

 

À noter

§         Ils commencent tous par 1puis n

§         Pour une même valeur de k (colonne du tableau)
      la différence est kn - 2n + 1

§         Pour une même valeur de n (ligne du tableau),
      la différence est constante: 1/2 n(n+1)

§         Chaque nombre est une somme particulière

 

Nombres

Nombres ayant

un écart de

Leurs sommes

Soit les nombres

polygonaux

Triangulaires

1

1 + 2 + 3 + 4 + …

1, 3, 6, 10 …

Carrés

2

1 + 3 + 5 + 7 + …

1, 4, 9, 16 …

Pentagonaux

3

1 + 4 + 7 + 10 + …

1, 5, 12, 22 …

Hexagonaux

4

1 + 5 + 9 + 13 + …

1, 6, 15, 28 …

Etc.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

-Ý-

Voir

§         Introduction aux nombres géométriques

§         Théorie des nombres géométriques

§         Théorie des nombres

§         Liste des noms des nombres

§         Partition

§         Somme des cubes des entiers

§         Calcul mental

§         Géométrie

 

Site

§         Figurate numbers d'Eric Weisstein
       Absolument intarissable sur le sujet

 

Livre

 

§         Pour développements complets,
       Voir Conway et Guy " The book of numbers "

(Le livre des nombres)