NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sciences

 

Cristaux

Rhomboèdre

Symétrie

 

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Sommaire de cette page

>>> Systématique des cristaux

>>> Les trois lois de la cristallographie

>>> Cristaux de calcite

>>> Mailles cristallines 

>>> 230, 14, 7 ?

>>> Dimension des cristaux

>>> Limite du maillage

 

 

 

 

 

CRISTAUX

 

Le monde fascinant et complexe des Symétries.

 

 

 

 

SYSTÉMATIQUE DES CRISTAUX

 

*    La classification des cristaux est due à Auguste Bravais (1848) à partitr d'une réflexion toute théorique.

*    Il distingue, en théorie, 32 classes de symétrie des cristaux, réparties en 14 types de réseaux, les réseaux de Bravais. Presque tous les minéraux communs sont répartis en douze classes, et certaines classes n'ont jamais été observées.

*    Ces 32 classes sont regroupées en sept systèmes cristallins définissant la forme de la maille élémentaire, fondés sur la longueur et la disposition des axes des cristaux, lignes imaginaires passant par le centre du cristal, et coupant les faces, définissant les relations de symétrie du cristal. Les minéraux de chaque système partagent certains détails de symétrie et de forme cristalline ainsi que de nombreuses propriétés optiques.


32 classes de cristaux / 7 systèmes cristallins

*    Cubique ou isométrique,

*    Quadratique ou tétragonal,

*    Orthorhombique,

*    Monoclinique,

*    Triclinique,

*    Hexagonal, et

*    Rhomboédrique.
 

Autres?

 

*      Un postulat de la cristallographie a longtemps affirmé qu'il n'existait aucune structure cristalline présentant une symétrie d'ordre 5, c'est-à-dire quintuple ou pentagonale.  

 

*      En 1984, un groupe de scientifiques découvre un alliage d'aluminium et de magnésium qui semble contredire cette règle. La figure de diffraction de cet alliage montre la symétrie rotationnelle d'un icosaèdre, ou solide à 20 faces, avec 10 axes de symétrie rotationnelle d'ordre 3 et 6 d'ordre 5. Cette découverte laisse entrevoir la possibilité d'une autre organisation de la matière solide, distincte des formes cristalline et vitreuse.

 

Les trois lois de la cristallographie

 

Angles CONSTANTS

 

*    Les formes apparentes des cristaux ne sont pas régulières car ils ne se développent pas librement. Cependant, l'angle dièdre entre les faces est toujours égal à 120°.

*    Cette propriété, caractéristique des cristaux, constitue la première loi de la cristallographie, énoncée en 1783 par Romé de l'Isle.

*    Dans des cristaux de même espèce, les angles dièdres correspondants sont égaux, quel que soit le développement et la forme des faces.

 

Loi de la forme primitive: CARACTÉRISTIQUES ENTIÈRES

 

*    Un cristal a la même forme que les parallélépipèdes élémentaires qui le constituent. Cette forme est dite forme primitive. L'empilement des parallélépipèdes élémentaires suivant trois directions de l'espace permet de reconstituer le cristal dans son entier. Mais l'empilement s'arrête en formant des faces qui semblent planes.

*    Haüy (1784) a montré qu'on peut obtenir ce résultat en enlevant des parallélépipèdes élémentaires en nombre décroissant à partir d'un sommet ou d'une arête de la forme complète. Il se forme une sorte d'escalier, dont la limite semble plane du fait de la taille particulièrement fine des cristaux élémentaires.

*    Le rapport de la longueur de l'arête primitive sur celle de l'arête résultant de la troncature est obligatoirement un nombre rationnel (Ne dépassant pas 7).

 

Loi des SYMÉTRIES

 

*    Une rotation d'un certain angle autour d'un centre (ou axe, ou plan) de symétrie semble remettre le cristal dans une position identique à celle initiale.

 

Si la rotation est de

l'axe est dit

et se note

180°

*       BINAIRE

L2

120°

*       TERNAIRE

L3

90°

*       QUATERNAIRE

L4

60°

*       SÉNAIRE

L6

 

*    Haüy a montré que: si un cristal subit une modification (troncature d'un sommet ou d'une arête, par exemple), tous les éléments symétriquement identiques subissent la même modification.

*    Le cristal a un centre de symétrie: si un sommet est tronqué, le sommet opposé est également tronqué.

*    Le cristal a un axe de symétrie quaternaire.

*    Les quatre arêtes symétriques sont tronquées de manière identique.

*    Plus un cristal possède de facettes, plus il possède d'éléments de symétrie.

 

 

Cristaux de calcite: 45°23'

 

*    Angle particulier dans les cristaux de calcite, angle aux coins de faces tronquées.

*    Exemple d'une dispute entre théorie et observations:

*    Wollaston donna cette valeur après de soigneuses mesures.

*    Haüy disait que ça ne pouvait pas être autre chose que 45°: il préférait une théorie mathématiquement belle plutôt que celle qui suivait les observations (ce que dira aussi Dirac plus tard).

*    La valeur admise aujourd'hui est quasiment celle de Wollaston.
 

 

 

MAILLES CRISTALLINES

 

Régularité

 

*    Les atomes, ou groupes d'atomes, sont disposés, suivant une direction quelconque de l'espace, à intervalles réguliers les uns des autres.

*    L'intervalle est le même pour toutes les directions parallèles, mais il peut varier d'une direction à l'autre.

 

Ievgraf Stepanovitch Fedorov

 

*    En 1890, il montre qu'il existe 230 combinaisons possibles. Du fait des symétries et des propriétés physiques de cristaux, on réduit les 230 à seulement 32. Ce schéma de classification reste utilisé jusqu'à nos jours

*    En 1982, un nouveau type de symétrie quintuple est découvert: icosaèdres (20 faces)

 

Auguste Bravais (1811-1863)

 

*    En 1848, il montre qu'il ne peut exister que sept types de mailles cristallines élémentaires. La théorie de Bravais sera confirmée en 1911 par les études de von Laue sur la diffraction des rayons X par les cristaux.

*    Pas plus! En effet, imaginons une maille pentagonale: le pavage laisserait des vides entre les pentagones.

*    Une maille est caractérisée par

*    trois paramètres de dimension a, b, c

*    trois paramètres d'angle a, b, g

*    les symétries

 

Voici les paramètres pour les sept mailles

Source image: Les sept systèmes cristallins – Mineralogie.fr

ce site présente les détails pour chaque systèmes

 

Maille

a, b, c

a, b, g

Symétries

*    Cubique

a = b = c

a, b et g

sont égaux à

 90°

C,

3 axes L4,

4 axes L3,

 6 axes L2

9 plans P

*    Hexagonale

 

a = b ¹ c

a = b = 90° ;

g = 120°

C,

L6, 6L2 ,

7P

*    Quadratique, ou Tétragonale

 

a = b ¹ c

a = b = g = 90°

C,

L4, 4L2,

5P

*    Rhomboédrique, ou Trigonale

 

a = b = c

a = b = g ¹ 90°

C,

L3, 3L2,

3P

*    Orthorhombique, ou Rhombique

 

a ¹ b ¹ c ;

a = b = g = 90°

C,

3L2,

3P

*    Monoclinique

a ¹ b ¹ c

a = g = 90° ¹ b

C,

L2,

P

*    Triclinique

a ¹ b ¹ c

a = g = 90° ¹ b

C,

L2,

P

 

*    Il existe parfois des particules supplémentaires, situées au centre de la maille ou au milieu des faces. Il distingua ainsi quatorze types de réseaux cristallins différents.

*    De plus, la symétrie d'un cristal peut être inférieure à celle de sa maille primitive dans le cas où les groupes d'atomes situés aux sommets de la maille ne présentent pas la même symétrie que la maille.

*    Finalement, le nombre de degrés de symétrie, de combinaisons possibles, est égal à 32.

  

 

Cubique

Cubique centré

Cubique à faces centrées

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imagec013

imagec015

 

 

 

 

230, 14, 7 ?

230 =

*  Groupes de symétries cristallines.

*  Base de la classification moderne des cristaux.

*  Datant de 1891, par Evgraf Fedorov et Arthur Schoenflies ( en même temps).

Combinaisons de

7

*  Groupes de points.

& 14

*  Types de treillis (treillis de Bravais).

 

Pour comprendre, plaçons-nous dans le plan

(et non pas en 3 dimensions):

4 types de treillis

*  Parallélogramme général.

*  Losange (ou hexagone, par combinaisons).

*  Rectangle.

*  Carré.

2 groupes de points

*  Au sommet du treillis.

*  Idem, plus un point au centre.

 

 

 

DIMENSION des CRISTAUX (1,5 10-8)

 

Dimensions de la cellule élémentaire d'un cristal

10-8 m

*    L'arête de la cellule élémentaire d'un cristal mesure, en moyenne, quelque dix millionièmes de millimètre.

*    Cela signifie qu'une portion de cristal d'un millimètre de longueur contient environ 10 millions de cellules élémentaires alignées.

 

Dimension du noyau cristallin

10-5 m

*    L'arête du noyau cristallin mesure, en moyenne, un dix millième de millimètre.

*    Si on compare cette mesure avec celle de la cellule élémentaire, on peut en déduire que l'arête du noyau cristallin est formée de 1 000 cellules environ et le noyau lui-même d'environ un milliard de cellules.

 

Densité des atomes dans un cristal

1019

*    Le nombre d'atomes présents dans un millimètre cube de matériel dépend du type de substance considérée.

*    Dans un cube de cristal d'un millimètre de côté, on trouve en moyenne 10 000 millions de milliards d'atomes. Cela signifie que le nombre d'atomes dans un millimètre cube de cristal est un milliard et 700 millions de fois plus grand que celui des habitants de la Terre!

 

Résistance électrique

1012

*    À la température ambiante, les meilleurs conducteurs sont les métaux. Leur résistance électrique est de 100 à 10 000 milliards de fois plus basse que celle des non-métaux.

*    Parmi les métaux, il existe également de bons et de mauvais conducteurs. La résistance d'un bon conducteur est environ 100 fois plus faible que celle d'un mauvais conducteur.

 

Supraconducteurs

1011

*    Un supraconducteur a une résistance électrique environ 100 milliards de fois plus faible que celle du meilleur conducteur normal.

*    Les métaux deviennent supraconducteurs à des températures très basses, qui approchent du zéro absolu (-273 °C). La transition des métaux a lieu à environ 4 degrés kelvin (symbole K), c'est-à-dire à 4 degrés au-dessus du zéro absolu ; 4 K correspondent à -269 °C.

 

 

 

LIMITE DU MAILLAGE

 

*    1,615 =  limite de la somme du maillage cristallographique.

*    Le chlorure de sodium a une structure cubique, et sa cohésion s'explique essentiellement par les forces électrostatiques. Pour caractériser la cohésion d'un ion, on calcule la somme des termes q/d pour tous les ions du voisinage, jusqu'à l'infini, avec d distance et q charge (+1 ou -1).

 

*    Le problème consiste à trouver le type de découpage:

 

Image1342

*    On peut trouver d'autres découpages, avec d'autres valeurs limites. C'est le carré, ou le cube dans la réalité, qui est le bon. C'est lui qui reste globalement neutre a grande échelle, l'intérieur est homogène et neutre.  

 

 

 

 

Mode de Vibration

 

*    27 ou 39 ou  infini =  modes de vibrations pour un objet tétraédrique.

 

*    James Montaldi a prouvé que seuls ces nombres de modes de vibrations sont possibles, et pas d'autres.

 

Ceci est valable que le tétraèdre  soit en caoutchouc,

ou 4 boules retenues par des ressorts

ou la molécule de méthane.

 

*    Le type de matériaux et la physique de l'objet ne font pas de différence; seule la symétrie compte.

=> Théorie de la symétrie brisée.

 

  

 

 

Suite

*    Atomes

*    Combinaison atomiques

*    Une dimension:        7 frises

*    Deux dimensions:   17 papiers peints

*    Trois dimensions:  230 cristaux

Voir

*    Atomes lourds

*    GéométrieIndex

*    Masse des particules

*    Parallélépipède

*    Sphères – Empilement

*    Symétries

DicoNombre

*    Infini

*    Nombre 1,,5 10-8

*    Nombre 1,615

*    Nombre 120

*    Nombre 27

*    Nombre 32

*    Nombre 39

*    Nombre 45

Sites

*    Système cristallin – Wikipédia

*    Les sept systèmes cristallins – MINERALOGIE.fr – J.-J. Chevallier – Simple avec planches en couleurs pour chaque système

*      Introduction to Crystallography and Mineral Crystal Systems

*      Nom des mailles

*      Atlas des formes cristallographiques – Toutes les formes avec la projection de leur axes de symétrie – Université Le Mans

*      CristallographyCSIC – Clair, beaucoup d'illustrations et animations (en anglais)

*      Éléments de cristallographie – Gustave Rose – e-book

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Science/Cristaux.htm

 

 

 

 


 

ARCHIVES – Voir explications sur le deuxième site indiqué ci-dessus (les sept systèmes cristallins)

Les sept systèmes cristallins

 

Cubique ou isométrique

 

*       Ce système comprend des cristaux présentant trois axes, tous perpendiculaires entre eux et tous de même longueur.

*       L'élément de base est un cube

 

Quadratique ou tétragonal

 

*       Ce système comprend des cristaux présentant trois axes, tous perpendiculaires entre eux et dont deux sont de même longueur.

*       L'élément de base est un prisme droit à base carrée

Orthorhombique

 

*       Ce système comprend des cristaux présentant trois axes, tous perpendiculaires entre eux et tous de longueur différente.

*       L'élément de base est un parallélépipède rectangle.

 

Monoclinique

 

*       Ce système comprend des cristaux présentant trois axes de longueur inégale, dont deux forment un angle différent de 90°, le troisième leur étant perpendiculaire.

*       L'élément de base est un prisme oblique à base losange.

 

 

Triclinique

 

*       Ce système comprend des cristaux présentant trois axes de longueur inégale et formant entre eux des angles différents de 90°.

*       L'élément de base est un parallélépipède à base losange.

 

 

Hexagonal

 

*       Ce système comprend des cristaux présentant quatre axes.

*       Trois de ces axes, de même longueur, sont dans un même plan et font entre eux un angle de 120°.

*       Le quatrième axe, perpendiculaire aux trois autres, est un axe d'ordre 6 (rotation de 60°).

*       L'élément de base est un prisme droit à base losange.