NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Géométrie

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Glossaire

Géométrie

 

 

INDEX

 

Polygones et polyèdres

 

Cylindre

 

Géométrie

 

Énigmes

 

Cube

Sphère

Cylindre

Cône

Pavé

Fourmi sur pavé

Cylindre – Exercices

Pavé magique

Prisme

Rhomboèdre

 

Sommaire de cette page

>>> Le Pavé ou Parallélépipède quelconque

>>> Le Pavé droit ou Parallélépipède rectangle

>>> Problème de calcul de volume

>>> Règle du parallélépipède – Diagonales 

>>> Famille – Les types de parallélépipèdes 

>>> Dimensions en progression arithmétique

>>> Parallélépipède inscrit dans un ellipsoïde

>>> Parallélépipède = 6 tétraèdres

>>> Volume du parallélépipède quelconque

>>> Anglais

 

 

 

 

Pavé ou Parallélépipède 

 

Définition, propriétés et amusements.

 

Parfois aussi nommé: brique.

 

Anglais: Parallelepiped or rhomboid / Vertex, face and edge /Length, breadth and height / Face diagonal and space diagonal >>>

Étymologie: Du latin: parallelepipĕdum; issu du grec ancien: parallêlônepipedon, qui a des plans parallèles.

Parallelos (parallèle) et epipedon (une surface plane. De epi, sur et pedon, le sol.

 

 

Le Pavé ou Parallélépipède 

 

Pavé quelconque

Volume dont les six faces sont des parallélogrammes

 

*    F =   6 faces,

*    S =   8 sommets, et

*    A = 12 arêtes

 

Les faces opposées sont parallèles et congruentes (égales).

Les arêtes sont de même longueur quatre à quatre.

 

Comme tous les polyèdres, le pavé vérifie la formule d'Euler (invariant égal  à 2):

 

S + F – A  = 8 + 6 – 12 = 2

 

Anglais: parallelepiped or rhomboid

 

 

La somme des angles à un sommet n'excède jamais 360°; cas où une arête est tellement oblique qu'elle tend à appartenir au plan formé par les deux autres.

Les trois dimensions sont:

*    longueur de la base L,

*    largeur de la base l, et

*    hauteur h.

 

Il suffit de définir trois vecteurs avec ces trois dimensions (normes) pour définir un parallélépipède quelconque.

Le sommet opposé à l'origine des trois vecteurs représente la somme des trois vecteurs dans l'espace. La multiplicité des chemins pour rejoindre ces deux points montrent que la somme des vecteurs et commutative et associative.

Voir Calcul (vectoriel) du volume

 

Voir Parallélépipède quelconque, mais parfait / Rhomboèdre, pavé avec faces en losanges

/ Évaluation de CM1

 

Le Pavé droit ou Parallélépipède rectangle 

Pavé droit ou parallélépipède rectangle

(ou prisme carré droit ou brique)

 

Pavé dont les six faces sont des rectangles.

 

Chaque face a quatre angles droits.

 

À chaque sommet, le trièdre est composé de trois angles droits.

 

Anglais: rectangular cuboid

 

 

 

Formules

 

Périmètre = somme des longueurs des arêtes.

 

Une grande diagonale  relie deux sommets opposés du pavé:

*      4 grandes diagonales  de même longueur, et

*      12 diagonales de face de trois espèces.

Faces opposées

Bases

Aire totale

Aire latérale

Faces qui n'ont aucune arête en commun

Les deux faces de plus grandes dimensions

Aire des six faces

Aire des quatre faces hors les bases

 

 

Problème de calcul de volume

 

Quelle quantité de béton pour remplir ce coffrage?

 

Solution en partant du volume évidé

Volume du parallélépipède extérieur:

Ve = 100 x 80 x 20 = 16 000 cm3

 

Volume intérieur (attention deux fois l'épaisseur!):

Vi = (100 – 2x5) x (80 – 2x5) x 20 = 12 600 cm3

 

Volume du coffrage:

Vc = Ve – Vi =  16 000 – 12 600 = 34 000 cm3

 

Solution des quatre panneaux

Volume des panneaux avant et arrière:

V1 = 2 x (100 – 5) x 20 x 5 = 19 000 cm3

Volume des panneaux latéraux:

V2 = 2 x (80 – 5)  x 20 x 5 = 15 000 cm3

Volume total:

V1 + V2 = 19 000 + 15 000 = 34 000 cm3

 

Dimensions en cm

 

 

 

Règle du parallélépipède – Diagonales  

 

Diagonales de la face

 

d² = L² + l² = 100 + 25 => d = 11,18…

 

Il y en a douze (2 par face) en trois groupes de 4 de même longueur.

 

Diagonales principale ou grandes diagonales

 

D² = d² + h² = L² + l² + h²

= 100 + 25 + 49 = 174 => D = 13,19…

 

Il y en a quatre, toutes de même longueur et concourantes.

 

Anglais: face diagonal & space diagonal

 

 

 

 

Règle du parallélépipède

 

Dans un parallélépipède quelconque, les grandes diagonales sont concourantes et le point d'intersection les bissecte. La somme de leur carré est égale à la somme des carrés des douze arêtes.

Voir Règle du parallélogramme

 

 

Dans le pavé droit,  les quatre grandes diagonales sont de même longueur.

 

 

 

 

Famille – Les types de parallélépipèdes

 

Famille

Le pavé peut être quelconque (faces parallélogrammes) ou droit (faces rectangles).

Avec des faces en losanges, c'est un rhomboèdre qui devient régulier si tous les losanges sont identiques, mais dans tous les cas toutes les arêtes sont de même longueurs.

Avec des faces carrées, le pavé devient cube.

 

Nomenclature



Cousinage

Parallélépipède: famille des zonoèdre

= polyèdre à six faces (hexaèdre) dont les faces sont parallèles deux à deux;

= prisme dont la base est un parallélogramme;

= parallélotope de dimension 3.

 

Voir Parallélogramme et sa famille / Brique parfaite / Filiation des rhomboèdres

 

 

Dimensions en progression arithmétique

Énigme

Quels sont tous les pavés dont les dimensions sont en progression arithmétique et qui ont un volume inferieur à 100.

 

Formulation

h est la plus petite dimension et r est la raison de la progression arithmétique (le terme constant à ajouter). Alors:

 

V = h . (h + r) . (h + 2r) < 100

 

Résolution

Une simple exploration va permettre de résoudre cette énigme.

On exclut le cas trivial d'une raison nulle comme 2 x 2 x 2 = 8.

 

Solutions

Avec V < 101, il y a dix possibilités avec un volume maximum pour 1 x 7 x 13 = 91

 

Avec V < 1001, il y a 69 possibilités avec un volume maximum atteint pour 9 x 10 x 11 = 990.

 

Avec V < 10 001, il y a 374 possibilités avec un volume maximum atteint pour 10 x 25 x 40 = 10 000 ou 10 x 10 x 10 pour la solution triviale.

 

Avec V < 100 001, il y a 1 917 possibilités avec un volume maximum atteint pour 30 x 49 x 68 = 99 960.

Les 10 pavés dont les dimensions sont en progression arithmétique et dont le volume n'excède pas 100.

Voir ÉnigmesIndex

 

 

 

Ellipsoïde et parallélépipède inscrit

 

Source image: EllipsoidWikipedia

Équation de l'ellipsoïde

 

avec a < b < c, les demi-axes principaux de l'ellipsoïde.

Le plus grand parallélépipède inscrit dans un ellipsoïde a pour volume:

Voir Ellipse

 

 

Parallélépipède = 6 x tétraèdres

 

Théorème

Prenons le tétraèdre formé par trois arêtes issues du même sommet; son volume est égal à un sixième de celui du parallélépipède.

 

English: The volume of any tetrahedron that shares three converging edges of a parallelepiped has a volume equal to one sixth of the volume of that parallelepiped.

Source image: Dune

 

 

Les quatre types de tétraèdres inscrits dans un parallélépipède

Voir Dissection du cube en tétraèdres

 

 

 

 

Volume du parallélépipède quelconque**

 

On connait la longueur des 3 côtés et les angles entre ses trois cotés

 

 

On connait les coordonnées des trois vecteurs

 

Voir Justification

 

Traduction en coordonnées

 

Le volume de chacun des tétraèdres est égal à 1/6 de cette valeur.

 

 

Exemple simple

 

 

= 0 + 0 + 5 [3 x 10 – 0] = 5 x 3 x 10

 

Ce qui est bien la formule classique du volume du parallélépipède rectangle.

 

 

Voir Aire du parallélogramme

 

Volume vectoriel du parallélépipède – Justification

 

Un parallélépipède défini par les trois vecteurs u, v et w.

Le produit vectoriel (x) de u et v produit un vecteur orthogonal au plan contenant u et v.

Sa norme (longueur) est égale à l'aire du parallélogramme (= u . v . sin bêta et v . sin bêta est une hauteur).

 

Le produit scalaire (.) entre ce nouveau vecteur et w fait intervenir l'angle alpha.

Or longueur de w x cos alpha est la hauteur (h) du parallélépipède, celle qui permet de calculer le volume de ce solide.

 

 

 

Valeur d'alpha (trigonométrie).

Valeur d'alpha (vectoriel: produit scalaire)

Avec A = (u x v) et B = w.

 

En égalant:

 

Volume = aire de la base  x hauteur.

Trois formules sont possibles en choisissant l'une des trois faces comme base.

Calcul de l'angle alpha avec le volume divise par le produit des trois longueurs d'arêtes.

 

 

 

 

English corner

 

Parallelepiped
A solid shape with six faces such that all the two opposite faces are parallel. In a parallelepiped, all six faces are parallelograms. When the faces are rectangles, it is called a rectangular parallelepiped or cuboid. When the faces are squares, it is a cube.

 

Parallelepiped is a prism, bases of which are parallelograms. So, a parallelepiped has six faces and all of them are parallelograms. Opposite faces are two by two equal and parallel. A parallelepiped has four space diagonals; they all intersect in the one point and they are divided into two equal parts.

 

 

 

 

 

 

Suite

*    Fourmi sur pavé

*    Pavé parfait (ou brique parfaite ou brique de Pythagore)

*    Sphère

*    Polyèdres – Bases de la géométrie

*    Maille des cristaux

Aussi

*    Carré

*    CercleIndex

*    Chemin entre villes

*    Chemins eulériens

*    Cylindre – Exercices (Brevet)

*    Cylindres tangents

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*    Hélice

*    Les quatre souris

*    Spirale

*    Tonneau – Volumes / Énigmes

*    Vocabulaire de la géométrie

DicoNombre

*    Nombre 10 000

Sites

*    Parallélépipède – Wikipédia

*    Je découvre le parallélépipède rectangle, etc. – Cours CNED pour la sixième – pdf 40 pages

*    Cuboids, Rectangular Prisms and Cubes – Math is Fun – Pour le vocabulaire anglais

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http://villemin.gerard.free.fr/GeomLAV/Objet3D/Pave.htm