NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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TABLES

 

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Totient

FACTEURS & DIVISEURS

 

Glossaire

Diviseurs

 

 

INDEX

 

Tables

Facteurs de 1 à 299

Facteurs de 300 à 1000

Hautement composés

 

Sommaire de cette page

>>> Table

>>> Courbes

>>> Cas de 360

>>> Table avec factorisation

>>> Problème des diviseurs en cascade

 

 

 

 

NOMBRES HAUTEMENT COMPOSÉS

et quantité de diviseurs

 

Un nombre est hautement composé s'il a plus de diviseurs que pour tous ceux qui le précédent.

La fonction arithmétique tau () exprime la quantité de diviseurs d'un nombre. Ex: (120) = 16, autrement dit: 120 a 16 diviseurs.

 

 

 

 

Table des nombres hautement composés et quantité de diviseurs jusqu'à 10 millions

Suite de la table avec factorisation

Curiosité esthétique: notez la forme des nombres à partir de 720 720.

 

 

"Cousins" très composés (autant que le hautement composé 720 720)

Autour du million: tau  = 240

 

720 720

=

24

x 32

x 5

x 7

x 11

x 13

 

831 600

=

24

x 33

x 52

x 7

x 11

 

 

942 480

=

24

x 32

x 5

x 7

x 11

 

x 17

982 800

=

24

x 33

x 52

x 7

 

x 13

 

997 920

=

25

x 34

x 5

x 7

x 11

 

 

1 053 360

=

24

x 32

x 5

x 7

x 11

x 19

 

 

Hautement composés et primorielles

Les premières primorielles: 2, 6, 30, 210

Quels sont les produits possibles: 

2, 2 x 2 = 4, 2 x 6 = 12, 2 x 30 = 60, 2 x 210 = 420

6, 6 x 30 = 180, 6 x 210 = 1 260

30, 30 x 210 = 6 300

Les nombres hautement composés sont tous produit de primorielles. Réciproque non valable.

 

 

 

Courbes

 

Jusqu'à 1000 – échelle normale


 

 

 

Jusqu'à 10 000 000 – échelle logarithmique

 

 

 

 

CAS DE 12, 60 et 360

 

Observations

 

*    Pour ces trois nombres,

*      il faut passer au double du nombre pour avoir plus de diviseurs, et

*      pour disposer de deux fois plus de diviseurs, il faut atteindre un nombre au moins 5 fois supérieur.

 

*    C'est la raison qui explique pourquoi nous certaines unités sont basées sur ces nombres, et encore aujourd'hui. Ces nombres offrent, plus que d'autres, beaucoup de possibilités de partages.              Voir Bases
 

 

Table des nombres hautement composés avec factorisation

 

Et au-delà …

À la recherche d'un nombre dont le précédent est égal à sa quantité de diviseurs

ou

La quantité de diviseurs du successeur est égale au prédécesseur 

 

Quantité de diviseurs en cascade

Le problème

Nous supposons une quantité de diviseurs égale à 3 au départ.

Et la formule de récurrence indiquée:

N1 = 3

N2 = le plus petit nombre ayant 3 diviseurs.

Et d'une manière générale:

 

Ni + 1 = plus petit nombre ayant Ni diviseurs.

Calcul de N2

La première valeur est facile à calculer (à deviner).

La quantité de diviseurs se nomme "tau".

 

Quel est le plus petit nombre ayant 3 diviseurs?

 

N2 = 4 = 2²

 

Diviseurs de 4: (1, 2, 4).

Quantité de diviseurs:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Calcul de N3

On rappelle que la quantité de diviseurs est égale au produit des exposants incrémentés de 1.

 

Quel est le plus petit nombre ayant 4 diviseurs?

 

N3 = 6 = 21 x 31

Diviseurs: (1, 2, 3, 6).

 

Puissances de 2 – Remarque qui exclut le fait de prendre des puissances de 2 comme majorant de Ni.

On aurait pu penser à 23  qui à 3 + 1 = 4 diviseurs. Mais 8 est plus grand que 6 et n'est pas le bon candidat.

La puissance k de 2 a k+1 diviseurs, c'est certain; par contre, ce n'est pas le plus petit nombre ayant k+1 diviseurs et de loin.

Ex: 120 est le plus petit nombre avec 16 diviseurs; or 215 =  32 768 >> 120

 

Calcul de N4, N5 et N6

Le tableau jusqu'à N6 ne pose pas de problème.

 

Exemple: 60 possède 12 diviseurs; le nombre 5 040 en a 60.

Cas de 5040, le plus petit nombre (PPN) ayant 60 diviseurs.

5 040 = 24 . 32 . 51 . 71

Tau(5040) = (4+1) (2+1) (1+1) (1+1) = 60

 

Le plus petit?

Notez que, dans ce cas, les exposants de la factorisation qui servent à construire tau, donnent le nombre le plus petit avec 5 040 diviseurs (testé sur ordinateur). Ce n'est pas toujours le cas, mais en tout cas, c'est un majorant de la solution.

 

 

 

Calcul de N7

Une valeur possible avec la construction de tau à partir de la factorisation du nombre.

 

Tau(N7) = 24 .32 .5 .7 = 16 . 9 . 5 . 7

Candidat possible pour N7:

N7 = A15 . B8 . C4 . D6

En prenant les premiers successifs:

N7 = 215 . 38 . 54 . 76 = 15 808 411 422 720 000

     = 1,58 … 1016

 

Nombre de 17 chiffres (15 millions de milliards).

Est-ce le bon? Non!

 

Une exploration par ordinateur nous donne

 

N7 = 26 . 34 . 52 . 72 . 11. 13 . 17. 19

=  293 318 625 600 = 2,93 … 1011

 

N7 est un nombre de 12 chiffres (293 milliards et quelques) qui a bien 5 040 diviseurs.

 

 

 

 

 

 

 

Suite en cours de rédaction

Merci à Jean-François A. pour l'idée de cette recherche

 

 

 

Suite

*         Nombres hautement composés

*         Nombres premiers – Table

Voir

*         Calcul de la quantité de diviseurs

*         Diviseurs

DicoNombre

*         Nombre 1012

Sites

*         OEIS A002182 – Highly composite numbers, definition (1): where d(n), the number of divisors of n increases to a record.

*         Highly composite numbers – Wolfram MathWorld

*         Highly composite numbers** – Proceedings 1915

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