NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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BASES de NUMÉRATION

 

Débutants

Nombres

Les BASES

 

Glossaire

Nombres

 

 

INDEX

Numération

 

Index bases

Introduction

Spécifique

Toutes les bases

Maximum

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Table

>>> Bases possibles

>>> Principe de numération en base B

>>> Exemple avec 1000

>>> Système unaire

 

 

 

 

 

Bases de numération

 Introduction

 

Un tour d'horizon, et les détails pour chaque base en pages dédiées.

 

 

 

Approche

 

Nous savons tous compter en base 10 depuis la maternelle. Pour cela nous utilisons dix chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lorsque nous avons compté jusqu'à 9, nous savons qu'il faut passer à 10, 11 … Ce sont les mêmes chiffres avec une position en plus. Ici les dizaines. Il s'agit de notre numération décimale dite de position. 

Voir Explications détaillées

 

Nous aurions très bien pu ne compter qu'avec huit chiffres de 0 à 7. Alors arrivé à 7, le 8 n'existant pas, on serait passé à 10, 11, … 17, 20 … C'est la base 8 dite octale.

 

En base 2 ou binaire, on n'utilise que deux chiffres le 0 et le 1. Arrivé à 1, le 2 n'existant pas, on passe à 10, 11, 100 …

 

Pour toutes les bases inférieures à 10, on peut se débrouiller, nous disposons de suffisamment de chiffres connus.

 

Pour les bases supérieures à 10, il faut d'autres chiffres. On aurait pu inventer des symboles nouveaux. On convient plutôt d'utiliser les premières lettres de l'alphabet: A, B, C …

 

En base 12, nous utilisons les douze "chiffres" suivants: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. De sorte que, arrivé à B, nous passons à 10, 11, 12 … 19, 1A, 1B, 20, 21 … En fait, le A en base 12 (base duodécimale), correspond au 10 en base décimale et le B correspond à 11.

 

Remarquez que 20 en duodécimal =  24 en décimal (deux fois la base 12).

 

En base 16 (hexadécimale), très utilisée en informatique, il faut utiliser 6 lettres-chiffres en plus des dix ordinaires.

 



Amusez-vous à composer ce tableau selon les bases de 2 à 16. Voir ci-dessous.



 

Tables des nombres de 0 à 26 en bases de 2 à 16

Voir Tables de conversion selon les bases

 

 

 

LES BASES possibles et leurs réminiscences

  Voir Diviseurs  / Nombres hautement composés

 

 

Principe de numération

 

Tout nombre entier naturel n s'écrit de manière unique comme somme de puissances de 10 pour les nombres décimaux, et puissances de B pour toute base B.
Alors:

 

*           Le nombre n est unique;

*           Les coefficients ai sont nuls ou compris entre 0 et B;

Ce sont les restes de la division par B  de N, puis des quotients successifs jusqu'à ce que le quotient des divisions successives soit nul.

Voir Identité remarquable

 

 

 

BASES DE NUMÉRATION

Aucune

Un, deux, beaucoup

*      Aborigènes, peuplades reculées.

1

Unaire

*      Un seul symbole utilisé >>>

2

Binaire

Binary

*      Informatique (0,1)

Le chiffre prend le nom de BIT.

3

Ternaire

(Trinaire)

Ternary

*      Ternaire classique avec les symboles (0, 1 et 2). Le bit devient trit (trinary digit).

*      Ternaire balancé avec (-1, 0, 1) qui rappelle la relation de comparaison ternaire (<, =, >).

*      La logique ternaire utilise les trois états: (vrai, faux, inconnu).

4

Quaternaire

Quaternary

5

Quinaire

Quinary

*      Existe encore en Afrique (peul, serène...),

Amérique (nahuatl, otomi...),

Océanie (houailou),

Asie (khmer).

*      Les Grecs anciens utilisaient ce système: pour décrire leur manière de compter, ils disaient "cinquer".

6

Sénaire
Senary

7

Sépténaire

Septenary

8

Octale

Octal

*      Informatique

En fait lecture plus commode du binaire par paquets de 3 bits

9

Nonaire

Nonary

10

Décimale

Decimal

*      Quasi – universel.

Avec des restes d'autres bases comme le quatre-vingts français.

*      Mais d'autres systèmes cohabitent

Corée et Japon.

11

Unidécimale

Undécimal

12

Duodécimale

Dudecimal

*      Unités de mesures en Angleterre.

13

Tridécimale

Tridécimal

14

Tétradécimale

Tetradecimal

*      Nous avons échappé à cette base car en sortant de l'eau les premiers animaux terrestres avec sept doigts.

15

Pentadécimale

Pentadecimal

16

Hexadécimale

Hexadecimal

*      Informatique.

En fait lecture plus commode du binaire par paquets de 4 bits.

20

Vicésimale

ou vigésimal

Vigesimal

*      Reste dans système de numération français (héritage celtique): quatre-vingts.

*      Reste en anglais avec le mot score: three scores and ten = 70.

28

/

*      Nous comptons sur nos doigts jusqu'à dix.

En comptant avec nos phalanges nous compterions jusqu'à vingt-huit.

2  fois ( 3 x 4 doigts + 2 x 1 pouce).

60

Sexagésimale

Sexagesimal

*      Utilisé pour les angles, le temps...

Origine Babylonienne

100

 /

*      L'Hindi, est bien en base 10, mais tous les nombres de 1 à 100 ont un nom.

Voir Énigme de Randall / Nom des polygones

 

 

 

  n en base n

1010        = 10       10 en base 10 s'écrit 10

  22          = 10         2 en binaire    s'écrit 10

  88          = 10         8 en octal       s'écrit 10

  nn          = 10         n en base n   s'écrit 10

 

  n2 n       = 100       le carré de n en base n   s'écrit 100

  n3 n       = 1000     le cube de n en base n   s'écrit 1000

  Etc.

 

 

EXEMPLE avec 1000

 

*      Expression de 1000 base décimale en diverses autres bases:

 

Base

Expression de 1000

2

1 111 101 000

3

1 101 001

4

33 220

5

13 000

6

4 344

7

2 626

8

1 750

9

1 331

10

1 000

11

8 2 A

12

6 B 4

16

3 E 8

20

2 A 0

60

[40, 16]

 

*      Au-delà de 9, il a fallu introduire de nouveaux symboles pour matérialiser les nombres nécessaires; on utilise les lettres A, B, C …
Les logiciels utilisent une notation conservant des chiffres. D'ailleurs bien utile lorsque la base est grande, comme avec 60.
Exemple: 100010 = [3,14, 8]16 ou parfois inversé: [8,14,3]

 

Remarque:      avec 100010 on a             3E816 ,

il faut aller jusqu'à 102410 pour obtenir 40016 .

 

 

 

Système unaire ou monadique

 

 

Système unaire

ou

monadique

 

(Unary numeral system)

 

Note: ne pas confondre avec les repunits qui s'écrivent 11…1.

*      Système de comptage utilisé durant la Préhistoire, lorsqu'on comptait avec des cailloux, notamment pour dénombrer le cheptel.

 

*      Il ne s'agit pas à proprement parler d'une base de numération (ordinal), mais d'un système de comptage (cardinal). Le symbole (ou l'objet) utilisé est écrit (ou posé) autant de fois que nécessaire (concaténation / juxtaposition). Il s'agit donc plutôt de marque de dénombrement.

*      Ce système est encore employé lorsqu'on compte avec des bûchettes ou pour dénombrer les suffrages à un vote, etc.

*      Un symbole quelconque représente une unité. Il n'a pas de chiffre 0, sinon avec un signe supplémentaire, ce serait du binaire. Il n'y a donc pas de façon pour représenter explicitement le rien.

*      Applications modernes en théorie des nombres comme l'axiomatique de Peano.

 

 

 

Code unaire

*      Il existe un système de codage unaire qui utilise la convention suivante à partir d'un nombre binaire.

*      un groupe de 0 est annoncé par un double zéro suivi d'un espace

*      un groupe de 1 est annoncé par un zéro unique suivi d'un espace

 

Exemple:  11011100 => 0 00 00 0 0 000 00 00

 

*      En fait, c'est un code avec deux signes: le zéro et l'espace.

Merci à Yvan Q. pour ses remarques constructives

 

 

 

 

Suite

*    Numération – Spécificités et bizarreries

*    Nombres brésiliens – Repdigit en base b

*    Autres en haut de page

Voir

*    Binaire

*    ChiffresGlossaire

*    Tables de calculs en base 2 à 16

*    Romain

*    Étymologie

Sites

*    Histoire des nombres et des symboles mathématiques

*    Système unaire – Wikipédia

*    Le chiffre – son histoire

*    Base Valued Numbers

*    Numeral & Numbers' history and curiosities.

*    List of numeral systems – Wikipedia

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