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Bases de numération Introduction Un
tour d'horizon, et les détails pour chaque base en pages
dédiées. |
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Nous savons tous
compter en base 10 depuis la maternelle. Pour cela nous utilisons dix
chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lorsque nous avons compté jusqu'à 9, nous
savons qu'il faut passer à 10, 11 … Ce sont les mêmes chiffres avec une
position en plus. Ici les dizaines. Il s'agit de notre numération décimale dite de position. Nous aurions très
bien pu ne compter qu'avec huit chiffres de 0 à 7. Alors arrivé à 7, le 8
n'existant pas, on serait passé à 10, 11, … 17, 20 … C'est la base 8 dite octale. En base 2 ou binaire, on n'utilise que deux chiffres le 0 et
le 1. Arrivé à 1, le 2 n'existant pas, on passe à 10, 11, 100 … Pour toutes les
bases inférieures à 10, on peut se débrouiller, nous disposons de
suffisamment de chiffres connus. Pour les bases
supérieures à 10, il faut d'autres chiffres. On aurait pu inventer des
symboles nouveaux. On convient plutôt d'utiliser les premières lettres de
l'alphabet: A, B, C … En base 12, nous
utilisons les douze "chiffres" suivants: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9, A, B. De sorte que, arrivé à B, nous passons à 10, 11, 12 … 19, 1A, 1B,
20, 21 … En fait, le A en base 12 (base duodécimale),
correspond au 10 en base décimale et le B correspond à 11. Remarquez que 20 en
duodécimal = 24 en décimal (deux fois
la base 12). En base 16 (hexadécimale), très utilisée en informatique, il
faut utiliser 6 lettres-chiffres en plus des dix ordinaires.
Amusez-vous à composer ce tableau
selon les bases de 2 à 16. Voir
ci-dessous.
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Tables des nombres de 0 à 26 en bases de 2
à 16
Voir Tables de conversion selon les bases
Voir Diviseurs / Nombres
hautement composés
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Tout nombre
entier naturel N s'écrit de
manière unique comme somme de puissances
de 10 pour les nombres décimaux, et
puissances de B pour toute base B.
Ce
sont les restes de la division par B de N, puis des quotients successifs jusqu'à
ce que le quotient des divisions successives soit nul.
Pour une base donnée, à chaque jeu de
coefficients correspond un nombre unique et, réciproquement, chaque nombre se
développe d'une seule telle façon avec cette base. Exemple avec 256 en diverses bases de numération Attention: les logiciels notent souvent les
coefficients à l'envers. 256 devient
[6, 5, 2]. |
Voir Identité
remarquable / Théorème
fondamental de l'arithmétique
Binaire
/ Octal
/ Hexadécimal
Merci à Gaudellycee pour
ses remarques
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Aucune |
Un,
deux, beaucoup |
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1 |
Unaire |
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2 |
Binary |
Le
chiffre prend le nom de BIT. |
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3 |
Ternaire (Trinaire) Ternary |
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4 |
Quaternaire Quaternary |
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5 |
Quinaire Quinary |
Amérique (nahuatl, otomi...), Océanie (houailou), Asie (khmer).
Plus d'info sur le site (K)am~itié |
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6 |
Sénaire |
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7 |
Sépténaire Septenary |
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8 |
Octal |
En
fait lecture plus commode du binaire par paquets de 3 bits |
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9 |
Nonary |
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10 |
Décimale / Dénaire Decimal / Denary |
Avec
des restes d'autres bases comme le quatre-vingts français.
Corée
et Japon. |
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11 |
Unidécimale Undécimal |
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12 |
Dudecimal |
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13 |
Tridécimale Tridécimal |
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14 |
Tétradécimale Tetradecimal |
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15 |
Pentadécimale Pentadecimal |
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16 |
Hexadecimal |
En
fait lecture plus commode du binaire par paquets de 4 bits. |
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18 |
Octodécimale Octadecimal |
Propriété en mod 90 et en utilisant les
racines numériques. |
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Vicésimale /
Vigénaire ou
vigésimal Vigesimal / Vigenary |
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24 |
Tétravigésimale |
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28 |
/ |
En comptant avec nos phalanges nous compterions jusqu'à
vingt-huit. 2 fois ( 3 x 4 doigts + 2 x 1 pouce). |
32 |
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36 |
Hexatrigésimal |
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40 |
Quadragésimale |
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Sexagesimal |
Origine Babylonienne |
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64 |
Tétrasexagésimale |
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96 |
Hexanonagésimale |
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100 |
/ |
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144 |
Centetétraquadragésimale |
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240 |
/ |
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360 |
Trecentosexagésimale |
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Voir Énigme de Randall / Nom
des polygones
1010 = 10 10
en base 10 s'écrit 10 22 = 10 2 en binaire s'écrit 10 88 = 10 8 en octal s'écrit 10 nn = 10
n en base n s'écrit 10 n2 n =
100
le carré de n en base n
s'écrit 100 n3 n =
1000
le cube de n en base n s'écrit
1000 Etc. |
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Remarque: avec 100010 on a 3E816 , il faut aller jusqu'à 102410 pour obtenir
40016 . |
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Système
unaire ou monadique (Unary
numeral system) Note: ne pas confondre avec les repunits
qui s'écrivent 11…1. |
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Code
unaire |
Exemple: 11011100
=> 0 00 00 0
0 000 00 00
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Merci à Yvan Q. pour ses
remarques constructives
Suite |
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Voir |
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Cette page |
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