Bases de numération, introduction

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Bases de numération

Introduction

Un tour d'horizon, et les détails pour chaque base en pages dédiées.

Approche

Nous savons tous compter en base 10 depuis la maternelle. Pour cela nous utilisons dix chiffres: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Lorsque nous avons compté jusqu'à 9, nous savons qu'il faut passer à 10, 11 … Ce sont les mêmes chiffres avec une position en plus. Ici les dizaines. Il s'agit de notre numération décimale dite de position.

Voir Explications détaillées

Nous aurions très bien pu ne compter qu'avec huit chiffres de 0 à 7. Alors arrivé à 7, le 8 n'existant pas, on serait passé à 10, 11, … 17, 20 … C'est la base 8 dite octale.

En base 2 ou binaire, on n'utilise que deux chiffres le 0 et le 1. Arrivé à 1, le 2 n'existant pas, on passe à 10, 11, 100 …

Pour toutes les bases inférieures à 10, on peut se débrouiller, nous disposons de suffisamment de chiffres connus.

Pour les bases supérieures à 10, il faut d'autres chiffres. On aurait pu inventer des symboles nouveaux. On convient plutôt d'utiliser les premières lettres de l'alphabet: A, B, C …

En base 12, nous utilisons les douze "chiffres" suivants: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. De sorte que, arrivé à B, nous passons à 10, 11, 12 … 19, 1A, 1B, 20, 21 … En fait, le A en base 12 (base duodécimale), correspond au 10 en base décimale et le B correspond à 11.

Remarquez que 20 en duodécimal = 24 en décimal (deux fois la base 12).

En base 16 (hexadécimale), très utilisée en informatique, il faut utiliser 6 lettres-chiffres en plus des dix ordinaires.

Amusez-vous à composer ce tableau selon les bases de 2 à 16. Voir ci-dessous.

Tables des nombres de 0 à 26 en bases de 2 à 16

Voir Tables de conversion selon les bases

LES BASES possibles et leurs réminiscences

Voir Diviseurs / Nombres hautement composés

Principe de numération

Tout nombre entier naturel n s'écrit de manière unique comme somme de puissances de 10 pour les nombres décimaux, et puissances de B pour toute base B.
Alors:

Le nombre n est unique;

Les coefficients a_i sont nuls ou compris entre 0 et B;

Ce sont les restes de la division par B de N, puis des quotients successifs jusqu'à ce que le quotient des divisions successives soit nul.

BASES DE NUMÉRATION
Aucune	Un, deux, beaucoup	Aborigènes, peuplades reculées.
1	Unaire	Préhistoire, lorsqu'on comptait avec des cailloux. 1111 veut dire 4.
2	Binaire	Informatique (0,1) Le chiffre prend le nom de BIT.
3	Ternaire (Trinaire)	Ternaire classique avec les symboles (0, 1 et 2). Le bit devient trit (trinary digit). Ternaire balancé avec (-1, 0, 1) qui rappelle la relation de comparaison ternaire (<, =, >). La logique ternaire utilise les trois états: (vrai, faux, inconnu).
5	Quinaire	Existe encore en Afrique (peul, serène...), Amérique (nahuatl, otomi...), Océanie (houailou), Asie (khmer). Les Grecs anciens utilisaient ce système: pour décrire leur manière de compter, ils disaient "cinquer".
6	Sénaire
8	Octale	Informatique En fait lecture plus commode du binaire par paquets de 3 bits
10	Décimale	Quasi – universel. Avec des restes d'autres bases comme le quatre-vingts français. Mais d'autres systèmes cohabitent Corée et Japon.
12	Duodécimale	Unités de mesures en Angleterre.
14	Tétradécimale	Nous avons échappé à cette base car en sortant de l'eau les premiers animaux terrestres avec sept doigts.
16	Hexadécimale	Informatique. En fait lecture plus commode du binaire par paquets de 4 bits.
20	Vicésimale	Reste dans système de numération français (héritage celtique): *quatre-vingts. Reste en anglais avec le mot score*: three scores and ten = 70.
28	/	Nous comptons sur nos doigts jusqu'à dix. En comptant avec nos phalanges nous compterions jusqu'à vingt-huit. 2 fois ( 3 x 4 doigts + 2 x 1 pouce).
60	Sexagésimale	Utilisé pour les angles, le temps...
100	/	L'Hindi, est bien en base 10, mais tous les nombres de 1 à 100 ont un nom.

n en base n

10₁₀ = 10 10 en base 10 s'écrit 10

2₂ = 10 2 en binaire s'écrit 10

8₈ = 10 8 en octal s'écrit 10

n_n = 10 n en base n s'écrit 10

n² _n = 100 le carré de n en base n s'écrit 100

n³ _n = 1000 le cube de n en base n s'écrit 1000

Etc.

EXEMPLE avec 1000

Expression de 1000 base décimale en diverses autres bases:

*Base*	*Expression de 1000*
2	1 111 101 000
3	1 101 001
4	33 220
5	13 000
6	4 344
7	2 626
8	1 750
9	1 331
10	1 000
11	8 2 A
12	6 B 4
16	3 E 8
20	2 A 0
60	[40, 16]

Au-delà de 9, il a fallu introduire de nouveaux symboles pour matérialiser les nombres nécessaires; on utilise les lettres A, B, C …
Les logiciels utilisent une notation conservant des chiffres. D'ailleurs bien utile lorsque la base est grande, comme avec 60.
Exemple: 1000₁₀ = [3,14, 8]₁₆ ou parfois inversé: [8,14,3]

Remarque: avec 1000₁₀ on a 3E8₁₆ ,

il faut aller jusqu'à 1024₁₀ pour obtenir 400₁₆ .

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Sites	Histoire des nombres et des symboles mathématiques Le chiffre - son histoire Base Valued Numbers Numeral & Numbers' history and curiosities.
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