NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Introduction à la

Théorie des nombres

 

Débutants

Division

DIVISEURS

 

Glossaire

Division

 

 

INDEX

 

Accueil

 

Sommaire

Introduction

Valeurs

Quantité

Somme

Terminale

Produit

Comparaisons

 

Sommaire de cette page

>>> Exemple avec le nombre 969

>>> Nombre premier

>>> Produit de 2 facteurs premiers

>>> Puissances

>>> Produit de puissances

>>> Théorème général

 

 

 

 

 

 

SOMME des DIVISEURS

 

Selon la somme de ses diviseurs, un nombre entier est parfaits, déficients ou abondants.

 

Mais, comment calculer la somme des diviseurs d'un nombre entier (n)? Vous connaissez la factorisation de ce nombre, alors vous savez facilement calculer la somme des diviseurs.

 

Exemple pour 10. La somme de ses diviseurs est 18 = 1 + 2 + 5 + 10.

 

 

On effectue autant de divisions que de facteurs. Au numérateur un de moins que le facteur à la puissance +1; et au dénominateur le facteur sans puissance diminué de 1.

La lettre grecque se lit sigma de 10.

 

 

 

 

Exemple avec le nombre 969

Factorisation

La factorisation de 969 est délicate. Bien sûr, ce nombre est divisible par 3.

Une recherche plus approfondie doit être faite jusqu'à des facteurs possibles jusqu'à de l'ordre de 20 (racine de 400 > 323).

En effet, une recherche rapide sur tableur  montre que 323 = 17 x 19.

 

Divisible par 3

969 = 3 x 323

 

Recherche d'autres diviseurs

Identification des diviseurs

Les diviseurs uniques

Les diviseurs résultat de la multiplication de deux facteurs, puis

Les diviseurs résultat de la multiplication de trois facteurs

1, 3, 17, 19

 

3x17 = 51, 3x19 = 57, 17x19 = 323

 

3x17x19 = 969

Somme des diviseurs

1 + 3 + 17 + 19 + 51 + 57 + 323 + 969 = 1 440

Formule proposée

 

 

Identité du nombre 969

Nombre              969 = 3 x 17 x 19

Diviseurs:          1, 3, 17, 19, 51, 57, 323, 969

Quantité de diviseurs:            8

Somme des diviseurs:    1 440

 

 

Voyons l'élaboration de la formule générale, pas à pas.

 

Cas des NOMBRES PREMIERS

*       Nous savons qu'un nombre premier p

n'est divisible que par 1 et lui-même.

*       On a vite calculé:

*      la quantité de diviseurs :  

*      la somme des diviseurs:  

 

 (tau)       = 2

 (sigma) = 1 + p

On adopte la présentation ci-dessous qui va nous permettre de considérer des cas de plus en plus généraux en utilisant une procédure quasi automatique.

 

Nombre

Quantité

Diviseurs

Somme

Illustration

7 = 1 x 7

 = 2

Div. =

1

7

 

 

 

Somme =

1

+ 7

= 8

 

Formalisation

p = 1 x p

 = 2

Div. =

1

p

 

 

 

 = Somme =

 

 

1 + p

 

Exemples

Nombre

Facteurs

DIVISEURS

Quantité

Somme

11 =

1 x 11

2

1 + 11 = 12

13 =

1 x 13

2

1 + 13 = 14

101 =

1 x 101

2

1 + 101 = 102

1 009 =

1 x 1 009

2

1 + 1009 = 1 010

 

 

 

 

 

PRODUIT de DEUX FACTEURS PREMIERS

 

Illustration

6 =

 =(1+1)(1+1)

Div =

1

3

 

2 x 3

= 2

 

2

6

 

 

 

Div =

1

1 x 3

 

 

 

 

2

2 x 3

 

 

 

Somme =

3

+ 3 x 3

= 12

 

 

Note

12 = 2 x 6 => Nombre parfait

 

Formalisation

n =

= (1+1)(1+1)

Div =

1

1 .B

 

A. B

= 4

 

A

A .B

 

 

 

Somme =

1+ A

+ (1+ A) B

 

 

 

 =

(1 + A) (1 + B)

 

Exemples

Nombre

Facteurs

DIVISEURS

Quantité

Somme

10 =

2 x 5

2 x 2 = 4

(1 + 2) (1 + 5) = 3 x 6 = 18 

14 =

2 x 7

4

(1 + 2) (1 + 7) = 3 x 8 = 24 

15 =

3 x 5

4

(1 + 3) (1 + 5) = 4 x 6 = 24 

22 =

2 x 11

4

(1 + 3) (1 + 11) = 4 x 12 = 48 

 

 

 

 

PUISSANCES pures

 

Illustration

8

 = (3 + 1)

Div =

1

 

= 23

= 4

 

2

 

 

 

 

4

 

 

 

 

8

 

 

 

Somme =

 

= 15

 

Formalisation

n = Aa

 = (a+1)

Div =

1

 

 

A

 

 

 

 

A2

 

SA est une progression géométrique de raison A, d'où cette formule.

 

A3

 

 

Somme  =

 

 

Exemples

8 = 23

 

 =

24 – 1

=

15

=

15

 

2 – 1

1

 

125 = 53

 

 =

54 – 1

=

624

=

156

 

5 – 1

4

 

 

 

 

 

PRODUIT DE PUISSANCES

 

Illustration

200

 = (3 + 1) (2 + 1)

Div =

1

5

25

 

= 23 . 52

= 12

 

2

10

50

 

 

 

 

4

20

100

 

 

 

 

8

40

200

 

 

 

Div =

1

1 x5

1 x52

 

 

 

 

2

2 x5

2 x52

 

 

 

 

4

4 x5

4 x52

 

 

 

 

8

8 x5

8 x52

 

 

 

Somme =

15

+ 15 x5

+ 15 x52

= 465

 

Formalisation

n = Aa . Bb

 = (a+1)(b+1)

Div =

1

1 x B

1 x B2

 

 

A

A x B

A x B2

 

 

 

 

A2

A2 x B

A2 x B2

 

 

 

 

A3

A3 x B

A3 x B2

 

 

 

 =

SA

+ SA . B

+ SA . B2

 

 

SA et SB sont des

progressions géométriques

de raisons A et B.

=

=

SA ( 1 + B + B2 )

SA . SB

=

 

Exemples

200 = 23 . 52

 

 =

24 – 1 

x

53 – 1

=

15 x 124

=

465

 

2 – 1

5 – 1

1 x 4

 

1000 = 23 . 53

 

 =

24 – 1

x

54 – 1

=

15 x 624

=

2 340

 

2 – 1

5 – 1

1 x 4

 

 

 

 

 

THÉORÈME GÉNÉRAL

Nombre & Facteurs

Quantité de diviseurs

Somme des diviseurs

n = Aa . Bb . Cc

 = (a+1)(b+1)(c+1) …

 

 

 

n = Aa . M

 = (a+1)M'

n = 2a . M

 = (a+1)M'

divisible par (2a+1 – 1)

un nombre impair

 

 

Exemples

Nombre

Facteurs

DIVISEURS

Quantité

Somme

10 =

2 x 5

2 x 2 = 4

(22–1)/(2–1) x (52–1)/(5–1) = 3 x 6 = 

18

11 =

1 x 11

2

1 + 11 =

12

12 =

22 x 3

3 x 2 = 6

(23–1)/(2–1) x (32–1)/(3–1) = 7 x 4 = 

28

13 =

1 x 13

2

1 + 13 =

14

14 =

2 x 7

2 x 2 = 4

(22–1)/(2–1) x (72–1)/(7–1) = 3 x 8 = 

24

15 =

3 x 5

2 x 2 = 4

(32–1)/(3–1) x (52–1)/(5–1) = 4 x 6 = 

24

900 =

22 x 32 x 52

3 x 3 x 3 = 27

(23–1)/(2–1) x (33–1)/(3–1) x (53–1)/(5–1) =

7 x 13 x 31 = 

2 821

3 888 000 =

27 x 35 x 53

8 x 6 x 4 = 192

(28–1)/(2–1) x (36–1)/(3–1) x (54–1)/(5–1) =

255 x 364 x 156 = 

14 479 920

 

 

Bilan

Nous savons désormais calculer la quantité et la somme des diviseurs d'un nombre entier.

Il n'est pas inintéressant de comparer ces valeurs au nombre n lui-même, ne serait-ce que pour bien assimiler ces notions.

Voyons cela >>>

 

 

 

Table des sommes des diviseurs et de leurs cumuls

 

En bleu les records pour la somme des diviseurs

Voir TablesIndex

 

 

 

 

 

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