NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 12/11/2011

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Valeurs		Quantité	Somme		Comparaisons
			Produit
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SOMME des DIVISEURS

Ce n'est pas si compliqué à calculer!

C'est même amusant de savoir le faire

… pour épater

Je veux voir le résultat tout de suite

Plus sérieusement

Cette somme comparée au nombre lui-même

permet de distinguer plusieurs types de nombres,

comme les nombres parfaits, déficients ou abondants

NOMBRE PREMIER

Nous savons qu'un nombre premier p

n'est divisible que par 1 et lui-même

On a vite calculé:

- la quantité de diviseurs : (tau) = 2

- la somme des diviseurs: (sigma) = 1 + p

On adopte la présentation ci-dessous

qui va nous permettre de considérer des cas de plus en plus généraux

en utilisant une procédure quasi automatique

Nombre

Quantité

Diviseurs

Somme

Illustration

7 = 1 x 7	= 2	Div =	1	7
		Somme =	1	+ 7	= 8

Formalisation

p = 1 x p	= 2	Div =	1	p
		= Somme =			1 + p

Exemples

Nombre	Facteurs	DIVISEURS
		Quantité	Somme
11 =	1 x 11	2	1 + 11 = 12
13 =	1 x 13	2	1 + 13 = 14
101 =	1 x 101	2	1 + 101 = 102
1 009 =	1 x 1 009	2	1 + 1009 = 1 010

PRODUIT DE 2 FACTEURS PREMIERS

Nombre

Quantité

Diviseurs

Somme

Illustration

6 =	=(1+1)(1+1)	Div =	1	3
2 x 3	= 2		2	6
		Div =	1	1 x3
			2	2 x3
		Somme =	3	+ 3 x3	= 12
		Note	12 = 2 x 6 => Nombre parfait

Formalisation

n =	= (1+1)(1+1)	Div =	1	1 .B
A. B	= 4		A	A .B
		Somme =	1+A	+ (1+A)B
		=	(1 + A) (1 + B)

Exemples

Nombre	Facteurs	DIVISEURS
		Quantité	Somme
10 =	2 x 5	2 x 2 = 4	(1 + 2) (1 + 5) = 3 x 6 = 18
14 =	2 x 7	4	(1 + 2) (1 + 7) = 3 x 8 = 24
15 =	3 x 5	4	(1 + 3) (1 + 5) = 4 x 6 = 24
22 =	2 x 11	4	(1 + 3) (1 + 11) = 4 x 12 = 48

PUISSANCES

Nombre

Quantité

Diviseurs

Somme

Illustration

8	= (3 + 1)	Div =	1
= 2^3	= 4		2
			4
			8
		Somme =		= 15

Formalisation

n = A^a	= (a+1)	Div =	1
			A
			A^2
Note SA est une progression géométrique de raison A			A^3
		Somme =	SA	=

Exemples

8 = 2^3	=	2^4 - 1	=	15	=	15
		2 - 1		1

125 = 5^3	=	5^4 - 1	=	624	=	156
		5 - 1		4

PRODUIT DE PUISSANCES

Nombre

Quantité

Diviseurs

Somme

Illustration

200	= (3 + 1) (2 + 1)	Div =	1	5	25
= 2^3 . 5^2	= 12		2	10	50
			4	20	100
			8	40	200
		Div =	1	1 x5	1 x5^2
			2	2 x5	2 x5^2
			4	4 x5	4 x5^2
			8	8 x5	8 x5^2
		Somme =	15	+ 15 x5	+ 15 x5^2	= 465

Formalisation

n = A^a . B^b	= (a+1)(b+1)	Div =	1	1 x B	1 x B^2
			A	A x B	A x B^2
			A^2	A^2 x B	A^2 x B^2
			A^3	A^3 x B	A^3 x B^2
		=	SA	+ SA . B	+ SA . B^2
Note SA et SB sont des progressions géométriques de raisons A et B		= =	SA ( 1 + B + B^2 ) SA . SB
		=

Exemples

200 = 2^3 . 5^2	=	2^4 - 1	x	5^3 - 1	=	15 x 124	=	465
		2 - 1		5 - 1		1 x 4

1000= 2^3 . 5^3	=	2^4 - 1	x	5^4 - 1	=	15 x 624	=	2 340
		2 - 1		5 - 1		1 x 4

THÉORÈME GÉNÉRAL

Nombre & Facteurs	Quantité de diviseurs	Somme des diviseurs
n = A^a . B^b . C^c …	= (a+1)(b+1)(c+1) …

Exemples

Nombre	Facteurs	DIVISEURS
		Quantité	Somme
10 =	2 x 5	2 x 2 = 4	(2^2-1)/(2-1) x (5^2-1)/(5-1) = 3 x 6 =	18
11 =	1 x 11	2	1 + 11 =	12
12 =	2^2 x 3	3 x 2 = 6	(2^3-1)/(2-1) x (3^2-1)/(3-1) = 7 x 4 =	28
13 =	1 x 13	2	1 + 13 =	14
14 =	2 x 7	2 x 2 = 4	(2^2-1)/(2-1) x (7^2-1)/(7-1) = 3 x 8 =	24
15 =	3 x 5	2 x 2 = 4	(3^2-1)/(3-1) x (5^2-1)/(5-1) = 4 x 6 =	24
900 =	2^2 x 3^2 x 5^2	3 x 3 x 3 = 27	(2^3-1)/(2-1) x (3^3-1)/(3-1) x (5^3-1)/(5-1) = 7 x 13 x 31 =	2 821
3 888 000 =	2^7 x 3^5 x 5^3	8 x 6 x 4 = 192	(2^8-1)/(2-1) x (3^6-1)/(3-1) x (5^4-1)/(5-1) = 255 x 364 x 156 =	14 479 920

Il n'est pas inintéressant de comparer le nombre n

à toutes ces valeurs

Ne serait-ce que pour bien assimiler ces notions

Voyons cela >>>

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