NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Carrés

 

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Différence de CARRÉS

 

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Nombres géométriques

 

 

INDEX

Partition

 

 

Sommaire de cette page

>>> Différences de carrés

>>> Différences de carrés et 6

 

 


  

 

DIFFÉRENCES de CARRÉS

& REPDIGITS

 

Exemples

 

                   =    33                         

   77²   24²          = 53 53

          

                   =        11                     

    56²     45²      =     1 111                  

  556²   445²      =   111 111                

5556² 4445²      = 11111 111             

 

    78²     23²      =      5 555                 

  778²   223²      =    555 555               

7778² 2223²      = 55 555 555            

etc.

 

 

 

a² – b² = (a + b)(a – b)

= (7 + 4)(7 4) = 11 x 3 = 33

 

 

56² 45² = (56+45)(5645)

= 101 x 11= 1 111

 

 

78² 23² = (78+23)(7823)

= 101 x 55= 5 555

 

 

Généralisation

 

 

Si x + y = 101  et x y = A

Alorsy² = AA

 

On peut continuer avec 1001, 10001, etc.

 

 

 

 

x = 75

y = 101 75 = 26

A = 75 26 = 49

 

75² 26² = 49 49

Voir développements plus complets en Différences de carrés et Repdigits

Et plus généralement en Différence de carré

 

 

 

DIFFÉRENCES de CARRÉS et 6

 

 

 

La différence entre 2 carrés n'est jamais égale à 6.
a² – b²
 6

 

 

Démonstration par contradiction

 

*    Supposons

b² = 6

*    On décompose

(a b) (a + b) = 6

*    Deux possibilités numériques

1 x 6 = 6

2 x 3 = 6

*    Donnent les équations

a b = 1

a + b = 6

a b = 2

a + b = 3

*    Ajoutons les 2 équations

2a = 7

2a = 5

*    Soit

a = 7/2

a = 5/2

Les valeurs ne sont pas entières.

L'hypothèse de départ ne tient pas.

 

 

Plus général

 

La différence entre 2 carrés n'est jamais  de la forme:
  a² – b²
 2 (2k + 1)

 

 

 


 

Voir

*          Carrés

*          Somme de carrés

*          Différence de carré

*          S'y retrouver

Aussi

*          Addition des carrés

*          Addition des entiers

*          Addition des puissances

*          Calcul mental des carrés

*          Carrés magiques

*          Multi-somme de puissances

*          Nombres bons

*          Nombres parfaits

*          Repdigits

*          Type de nombres: réels; irrationnels …

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