NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Types de Nombres

 

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PAIRS & IMPAIRS

 

Glossaire

Général

 

 

INDEX

Nombres

 

Introduction

Somme des pairs

Carrés

Caractérisation

Somme des impairs

Cubes

 

Sommaire de cette page

>>>   Nombres impairs – Tableau

>>>   Explication

>>>   Illustration

>>>   Nombres pairs

 

 

 

 

 

 

 

 

Nombres IMPAIRS & CARRÉS

 

Propriété simple et magique!

 

Tout nombre impair est

la somme de deux nombres consécutifs

dont la différence des carrés redonne ce nombre impair

 

3   =   2 + 1   =   2² - 1²

5   =   3 + 2   =   3² - 2²

7   =   4 + 3   =   4² - 3²

9   =   5 + 4   =   5² - 4²

101   =   51 + 50   =   51² - 50²

Voir Factorisation de Fermat  / Machine à factoriser de Carissan

 

 

 

 

 

NOMBRES IMPAIRS – TABLEAU

 

Principe

 

*        Le tableau montre l'application de cette propriété pour les nombres impairs de 3 à 99.

*        On prend le nombre impair n et on le divise par 2: ce qui donne  x,5

On considère les deux nombres x et x+1.

Leur somme donne n.

La différence de leur carré donne aussi n.

 

 

 

n+1            n              somme            (n+1)²                                 différence

 

  2               1                 3                            4                         1              3

  3               2                 5                            9                         4              5

  4               3                 7                           16                        9              7

  5               4                 9                           25                      16              9

  6               5               11                           36                      25            11

  7               6               13                           49                      36            13

  8               7               15                           64                      49            15

  9               8               17                           81                      64            17

10              9               19                         100                     81            19

11            10              21                         121                   100            21

12            11              23                         144                   121            23

13            12              25                         169                   144            25

14            13              27                         196                   169            27

15            14              29                         225                   196            29

16            15              31                         256                   225            31

17            16              33                         289                   256            33

18            17              35                         324                   289            35

19            18              37                         361                   324            37

20            19              39                         400                   361            39

21            20              41                         441                   400            41

22            21              43                         484                   441            43

23            22              45                         529                   484            45

24            23              47                         576                   529            47

25            24              49                         625                   576            49

26            25              51                         676                   625            51

27            26              53                         729                   676            53

28            27              55                         784                   729            55

29            28              57                         841                   784            57

30            29              59                         900                   841            59

31            30              61                         961                   900            61

32            31              63                      1 024                   961            63

33            32              65                      1 089                1 024           65

34            33              67                      1 156                1 089           67

35            34              69                      1 225                1 156           69

36            35              71                      1 296                1 225           71

37            36              73                      1 369                1 296           73

38            37              75                      1 444                1 369           75

39            38              77                      1 521                1 444           77

40            39              79                      1 600                1 521           79

41            40              81                      1 681                1 600           81

42            41              83                      1 764                1 681           83

43            42              85                      1 849                1 764           85

44            43              87                      1 936                1 849           87

45            44              89                      2 025                1 936           89

46            45              91                      2 116                2 025           91

47            46              93                      2 209                2 116           93

48            47              95                      2 304                2 209           95

49            48              97                      2 401                2 304           97

50            49              99                      2 500                2 401           99

 

 

 

 

EXPLICATION – Très simple … pour une identité si magique!

 

*    La somme de deux nombres successifs, comprenant forcément un nombre pair et un nombre impair, est évidemment impaire

 

*    La différence des carrés se calcule.

 

*    Autre constat, en utilisant l'identité remarquable a² - b² = (a-b) (a+b)

 

 

n + (n+1)

= 2n + 1

 

 

(n+1)² – 

= n² + 2n  + 1   

= 2n + 1

 

(n + 1)² – n²

= (n+1-n) (n+1+n)

= 2n + 1

 

 

Démonstration

 

*    Soit un nombre impair

 

*    Différence de carrés

 

 

*    Or, on peut exprimer n en fonction de A

 

*    Et remplacer dans l'expression du dessus

 

*    Tout nombre impair est la différence e deux carrés parfaits.

 

*    Si, de plus ce nombre (A) est un carré parfait, nous obtenons un triplet de Pythagore.

 

A = 2n + 1

 

A = 2n + 1 + n² – n²

    = (n + 1)² – n²

 

 

 

 

ILLUSTRATION

*  Prenons un carré de n = 3 de côté

*  Comment passer à celui de n+1 = 4 de côté?

En ajoutant d'abord une ligne de 4, puis une colonne de 3.

 

(n + 1)² = n² + (n + 1) + n

 

Gd carré = Pt Carré + n + n + 1

 

La partie ajoutée (2n = 1) pour passer d'un carré au suivant est appelée le gnomon.

 

*  Parfois, on aime compliquer les choses et se donner des contraintes.

Pourquoi ne pas imposer que la partie ajoutée, le gnomon, soit aussi un nombre carré?

*  Si c'est le cas, nous obtenons un triplet de Pythagore:

 

5² - 4² = 5 + 4 = 9 = 3²

 

ou autrement dit

4² + 3² = 5²

 

 

 

NOMBRES PAIRS

*  Un nombre pair n'est jamais qu'un nombre impair +1 ou un nombre impair – 1.

100

100

=   99 + 1

= 101 – 1

*  En remplaçant par la différence des carrés du nombre impair, on donne deux possibilités d'exprimer un nombre pair en relation avec deux carrés.

100

100

= 50² – 49² + 1

= 51² – 50² – 1

*  En sommant ces deux relations.

On obtient une expression pour le double du nombre pair considéré.

200

= 51² - 49²

*  Le double d'un nombre pair  (c'est-à-dire un nombre n divisible par 4)  est toujours la différence de deux carrés séparés de deux unités.

Ces deux nombres sont de part et d'autre du quart de n.

100

8

12

= 26² – 24 ²

=   3² –  

=   4² –  

 

 

Résumé

 

Sont différences de deux carrés les:

 

-         Nombres impairs                          n = 2k + 1 = (k+1)² - k²

 

-        Nombres divisibles par 4:         n = 4 k = (k+1)² - (k-1)²

 

 

 

 

 

Suite

*         Somme des impairs

*         Impairs, carrés et cubes

*         Écart entre carrés

*         Factorisation avec différence de carrés

Voir

*         Différence de carrés

*         Nombres consécutifs

*         Nombres pairs et impairs – Caractérisation

*         Nombres pairs et impairs – Introduction

*         Pépites

*         Tables de nombres

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