NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Rubrique

PARTITION

 

 

Entiers & Carrés

Cubes

Puissances 4...n

Somme de 4 carrés
              Théorème de Lagrange

Somme de n puissances
                 Théorème de Waring

1 à 100 en 4 carrés

Sommes de cubes et autres puissances 

Comprendre les sommes de carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Somme de  R puissances K: théorème de Waring

>>> Somme de carrés non nuls

>>> Somme de  R puissances K  donnant une puissance k

>>> Somme de  2 puissances K  donnant une puissance k

>>> Somme de  puissances différentes

>>> Factorielles

>>> Produits de puissances

 

 

 

 

 

 

Théorème de Waring

 

Un nombre est toujours la somme d'au plus

4    carrés

9    cubes

r    puissances k

 

 

Généralisation du théorème de Lagrange:

Tout nombre est la somme d'au plus quatre carrés.

 

Bonus: florilège de curiosités avec les sommes de puissances

Anglais: Waring's problem

 

Voir Euler et Fermat 

 

 

Approche avec le nombre 239

 

Tout entier est décomposable en somme d'au plus

4 carrés

9 cubes

19 puissances quatrièmes

 

Il faut quatre carrés pour faire 239, pas moins. Par contre, il existe six façons de faire:

 

 

Les deux seuls nombres qui nécessitent

les neuf cubes sont :

23 et 239

 

239

est l'un d'eux

 

23   = 2 x 23 + 7 x 13

239 = 2 x 43 + 4 x 33 + 3 x 13

 

 

SOMME de r PUISSANCES k

 

Théorème de Waring (1770)

 

 

Il existe toujours une somme limitée de puissances

pour tous les nombres

et pour toutes les puissances:

 

N = a1k + a2k + … +  ark

 

*      Dit autrement: r , la quantité de termes de la somme, n'est jamais infini.

*      Du temps d'Edward Waring (1734-1798), c'était une hypothèse.

 

*      Complètement démontré en 1985.

 

 

*      David Hilbert avait montré que la somme est limitée.

Voir Contemporains

 

 

Entier n = somme de:

r

k

Découverte

Date

3

triangulaires

Fermat, Gauss

1638

4

carrés

Lagrange

1770

9

cubes

Wieferich et Kempner

1910

19

puissances 4

R. Balasubramanian, Deshouillers et Dress

1986

37

puissances 5

Chen

1964

73

puissances 6

Pillai

1940

143

puissances 7

Heilbronn

1936

279

puissances 8

 

 

548

9

 

 

1 079

10

 

 

2 132

11

Conjecture

 

 

Les crochets "bas"  demandent à prendre la valeur plancher.

 

Exemple

 

 

 

4 223

12

8 384

13

16 673

14

33 203

15

66 190

16

132 055

17

263 619

18

526 502

19

1 051 899

20

r

puissances k

Hardy et Littlewood

vers 1935

Note: Découvertes, pas forcément démontrées

 

 Somme de carrés non nuls

 

Le théorème de Lagrange (Waring pour les carrés) dit que quatre carrés, au plus, suffisent pour partitionner tout nombre entier.

 

En faisant la somme avec quatre carrés, certains termes sont nuls, comme 6 = 2² + 1 + 1 + 0. Combien faut-il de termes pour couvrir les entiers, mais sans autoriser le 0?

 

Réponse: 5 termes, et cela à partir de 34.

 

Tout nombre > 33 est la somme de cinq carrés non nuls.

 

Il faut atteindre 60 pour que tout nombre supérieur soit deux fois la somme de cinq carrés non nuls.  

61 = 6² + 5² = 6² + 4² + 3² = 5² + 4² + 4² + 2² = 7² + 2² + 2² + 2²

 

 

 

Somme de R puissances K donnant une puissance K

 

Conjecture d'Euler (fausse!)

 

*      Aucune puissance k-ième ne peut être décomposée en somme de moins de k puissances k-ièmes.

*      C'est vrai pour les cubes: un cube n'est pas la somme de deux cubes.

 

*      Mais, par exemple, pour la puissance 5:

1445 = 275 + 845 + 1105 + 1335

L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966

 

*      Pour la puissance quatre, il a fallu attendre les ordinateurs. La solution avec des entiers les plus petits serait:

95 8004 + 7 5174 + 414 5604 = 422 5604

 Roger Frye par ordinateur

La première solution trouvée était:

2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734

         Noam Elkies en 1988

*      Aucun contre-exemple connu pour n > 5.

 

Leonhard Euler (1707-1783)

 

*      Il avait conjecturé que la somme de trois bicarrés ne pouvait pas être un bicarré.
Autrement dit,

L'équation suivante n'a pas de solution:

x4 + y4 + z4 = w4

 

En 1988

 

*      L'Américain Noam Elkies a trouvé une solution en utilisant un ordinateur et... une étude théorique poussé.
La solution en 422 560 de Roger Frye est la seule inférieure à 1 million.
Mais au-delà, il y a une infinité de solutions!

 

 

Voir Puissance 4 / Euler

 

 

Nombre r de puissances k donnant une puissance k

k

r

2

2

3

3

4

3

5

4 au plus, peut-être 3,

on ne sait pas.

 

n

 2n

 

 

Somme de deux puissances k

donnant presque une puissance k

 

Grand théorème de Fermat

 

*      Pour n > 2, n à la puissance k, ne peut pas être décomposé en somme de deux nombres à la puissance k.

Voir Théorème de Fermat-Wiles  / Fermat

 

Presque Fermat en puissance de trois

 

x3          +            y3          =           z3          = 1 ou  1

63          +            83          =           93          1

93          +            103        =           123        + 1

7203     +            2423      =           7293      1

7293     +            2443      =           7383      + 1

 

Presque Fermat en puissance de quatre

 

*      On ne connaît pas de solution à: x4 + y4 = z4  1

 

Consécutifs

 

*      Nombres consécutifs en étant des puissances parfaites.

 

32

2 3

=

1

Ce cas est le seul cas de puissances consécutives connu

9

8

=

1

xm

yn

=

1

N'a qu'une seule solution

Conjecture de Catalan (1844)

xm

,

yn

et

zp

Ne sont jamais des nombres consécutifs. Démontré par W.J. Lévèque (1952)

 

*      On a démontré que trois nombres consécutifs ne peuvent pas être des puissances parfaites.

*      Pour deux nombres consécutifs, on n'a pas d'exemple (sauf 8, 9), mais le cas général n'est pas démontré.

 

 

 

 

Somme de puissances

 

SOMME DE 2 PUISSANCES IDENTIQUES

 

*      Seul le nombre parfait 28 est la somme de deux puissances identiques: 28 = 13 + 33

 

SOMME DE 2 PUISSANCES DIFFÉRENTES

 

*      Seuls deux nombres sont décomposables en somme de puissances successives en partant de un:

     31 = 1 + 5 + 5²

8 191 = 1 + 2 + 2² + 23 +...+ 212

 

Nombre, somme de puissances successives de ses chiffres

 

135 =       11      +       32      +       53

175 =       11      +       72      +       53

518 =       51      +       12      +       83

598 =       51      +       92      +       83

 

Carré, somme des puissances successives

*      Seul un carré est décomposable en somme de puissances successives en partant de un:

121 = 1 + 3² + 33 + 34

    = 1 + p² + p3 + p4

 

Somme de puissances distinctes

*      23 est le plus grand entier non décomposable en des puissances distinctes

64 = 26 = 43 = 8²

 

Puissances de 3

 

30 =   1      

32 =   2 + 3 + 4    =  9

34 =   5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 81

36 =   14 + 15 + 16 +... + 39 + 40 = 729

etc.
avec un nombre de termes égal à:  1, 3, 9 ,27...     

 

 

Équations

n = 2 est la seule solution de nx = ny + nz avec 2² = 21 + 21.

a =2 et b= 4, seule solution de ab = ba avec 24 = 4².

 

Somme des puissances successives

 

*      La suite des puissances de 2 :

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ...

peut s'exprimer par la fonction :

Il se trouve qu'on peut en donner une expression globale, à condition que x < 1, pour que la suite converge : 

B(x) = 1 / (1 - 2x)

 

*      Voyons avec x = 0,1:

Expression globale

 

Série de puissances

B(x)

= 1 + 2 x 0,1 + 4 x 0,01 + 8 x 0,001 + 16 x 0,0001 + ...

= 1 + 0,2 + 0,004 + 0,008 + 0,0016 +...

= 1, 2496 + ...

= 1,25

 

Généralisation: formule célèbre

 

 

 

SOMME DE FACTORIELLES

 

*      Seuls deux nombres sont égaux à la somme des factorielles de leurs chiffres: 145 & 40 585.

 

Problème de Brocard

 

*      Solutions de n! + 1 = x². Il n'en existe que 3.

 

4! + 1 =     =     25

5! + 1 = 11²  =    121

7! + 1 = 71²  = 5 041

 

 

 

 

 

PRODUITS DE PUISSANCES

 

xx . yy = zz  est vérifiée pour:

 

x =   126    = 212 x 36   = 2 985 984

y =     68    = 28   x 38   =

z =              220 x 314   =

xx = 0,34 1097

yy = 0,17 1090

zz = 0,73 10102

1940 - Chao-Ko, Chine 

 

xx yy = zz

 

est vérifiée pour :

x = 126

= 212 x 36

y = 68

= 28 x 38

z = 211 x 37

= 211 x 37

 (1940 - Chao-Ko, Chine)

 

 

 

 

 

Suite

*    1 à 100 en 4 carrés

*    Sommes de cubes et autres puissances 

*    S'y retrouverIndex

Voir

*    Bi, tripartitions

*    Calcul mental

*    Carré des triangulaires = somme de cubes

*    Conway

*    Cubes

*    Géométrie

*    Nombre = sommes de cubes

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*    Unité des puissances

Site

*    Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers – Euler net

*    Autres sites

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