NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Glossaire

Addition

 

 

Rubrique

PARTITION

 

 

Entiers & Carrés

Cubes

Puissances 4...n

Somme de 4 carrés
              Théorème de Lagrange

Somme de n puissances
                 Théorème de Waring

1 à 100 en 4 carrés

Sommes de cubes et autres puissances 

Comprendre les sommes de carrés

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Somme de  R puissances K: théorème de Waring

>>> Somme de  R puissances K  donnant une puissance k

>>> Somme de  2 puissances K  donnant une puissance k

>>> Somme de  puissances différentes

>>> Factorielles

>>> Produits de puissances

 

 

 

 

 

 

Théorème de Waring

 

Un nombre est toujours la somme d'au plus

4    carrés

9    cubes

r    puissances k

 

 

Généralisation du théorème de Lagrange:

Tout nombre est la somme d'au plus quatre carrés.

 

Bonus: florilège de curiosités avec les sommes de puissances

Anglais: Waring's problem

 

Voir Euler et Fermat 

 

 

Approche avec le nombre 239

 

Tout entier est décomposable en somme d'au plus

4 carrés

9 cubes

19 puissances quatrièmes

 

Il faut quatre carrés pour faire 239, pas moins. Par contre, il existe six façons de faire:

 

 

Les deux seuls nombres qui nécessitent

les neuf cubes sont :

23 et 239

 

239

est l'un d'eux

 

23   = 2 x 23 + 7 x 13

239 = 2 x 43 + 4 x 33 + 3 x 13

 

 

SOMME DE R PUISSANCES K

 

Théorème de Waring

 

 

Il existe toujours une somme limitée de puissances

pour tous les nombres

et pour toutes les puissances:

 

N = a1k + a2k + … +  ark

 

*      Dit autrement: r , la quantité de termes de la somme, n'est jamais infini.

*      Du temps d'Edward Waring (1734-1798), c'était une hypothèse.

 

*      Complètement démontré en 1985.

 

 

*      David Hilbert avait montré que la somme est limitée.

Voir Contemporains

 

 

Entier n = somme de:

r

k

Découverte

Date

3

triangulaires

Fermat, Gauss

1638

4

carrés

Lagrange

1770

9

cubes

Wieferich

1909

19

puissances 4

Deshouillers et Dress

1985

37

puissances 5

Chen

1964

73

puissances 6

Pillai

1940

143

puissances 7

Heilbronn

1936

279

puissances 8

 

 

548

9

 

 

1 079

10

 

 

2 132

11

 

 

4 223

12

 

 

8 384

13

 

 

16 673

14

 

 

33 203

15

 

 

66 190

16

 

 

132 055

17

 

 

263 619

18

 

 

526 502

19

 

 

1 051 899

20

 

 

r

puissances k

Hardy et Littlewood

vers 1935

Note: Découvertes, pas forcément démontrées

 

 

 

Somme de R puissances K donnant une puissance K

 

Conjecture d'Euler (fausse!)

 

*      Aucune puissance k-ième ne peut être décomposée en somme de moins de k puissances k-ièmes.

*      C'est vrai pour les cubes: un cube n'est pas la somme de deux cubes.

 

*      Mais, par exemple, pour la puissance 5:

1445 = 275 + 845 + 1105 + 1335

L. J. Lander et T. R. Parkin en 1966

 

*      Pour la puissance quatre, il a fallu attendre les ordinateurs. La solution avec des entiers les plus petits serait:

95 8004 + 7 5174 + 414 5604 = 422 5604

 Roger Frye par ordinateur

La première solution trouvée était:

2 682 4404 + 15 365 6394 + 18 796 7604 = 20 615 6734

         Noam Elkies en 1988

*      Aucun contre-exemple connu pour n > 5.

 

Leonhard Euler (1707-1783)

 

*      Il avait conjecturé que la somme de trois bicarrés ne pouvait pas être un bicarré.
Autrement dit,

L'équation suivante n'a pas de solution:

x4 + y4 + z4 = w4

 

En 1988

 

*      L'Américain Noam Elkies a trouvé une solution en utilisant un ordinateur et... une étude théorique poussé.
La solution en 422 560 de Roger Frye est la seule inférieure à 1 million.
Mais au-delà, il y a une infinité de solutions!

 

 

Voir Puissance 4 / Euler

 

 

 

 

Nombre r de puissances k donnant une puissance k

k

r

2

2

3

3

4

3

5

4 au plus, peut-être 3,

on ne sait pas.

 

n

 2n

 

 

Somme de deux puissances k

donnant presque une puissance k

 

Grand théorème de Fermat

 

*      Pour n > 2, n à la puissance k, ne peut pas être décomposé en somme de deux nombres à la puissance k.

Voir Théorème de Fermat-Wiles  / Fermat

 

Presque Fermat en puissance de trois

 

x3          +            y3          =           z3          = 1 ou  1

63          +            83          =           93          1

93          +            103        =           123        + 1

7203     +            2423      =           7293      1

7293     +            2443      =           7383      + 1

 

Presque Fermat en puissance de quatre

 

*      On ne connaît pas de solution à: x4 + y4 = z4  1

 

Consécutifs

 

*      Nombres consécutifs en étant des puissances parfaites.

 

32

2 3

=

1

Ce cas est le seul cas de puissances consécutives connu

9

8

=

1

xm

yn

=

1

N'a qu'une seule solution

Conjecture de Catalan (1844)

xm

,

yn

et

zp

Ne sont jamais des nombres consécutifs. Démontré par W.J. Lévèque (1952)

 

*      On a démontré que trois nombres consécutifs ne peuvent pas être des puissances parfaites.

*      Pour deux nombres consécutifs, on n'a pas d'exemple (sauf 8, 9), mais le cas général n'est pas démontré.

 

 

 

 

Somme de puissances

 

SOMME DE 2 PUISSANCES IDENTIQUES

 

*      Seul le nombre parfait 28 est la somme de deux puissances identiques: 28 = 13 + 33

 

SOMME DE 2 PUISSANCES DIFFÉRENTES

 

*      Seuls deux nombres sont décomposables en somme de puissances successives en partant de un:

     31 = 1 + 5 + 5²

8 191 = 1 + 2 + 2² + 23 +...+ 212

 

Nombre, somme de puissances successives de ses chiffres

 

135 =       11      +       32      +       53

175 =       11      +       72      +       53

518 =       51      +       12      +       83

598 =       51      +       92      +       83

 

Carré, somme des puissances successives

*      Seul un carré est décomposable en somme de puissances successives en partant de un:

121 = 1 + 3² + 33 + 34

    = 1 + p² + p3 + p4

 

Somme de puissances distinctes

*      23 est le plus grand entier non décomposable en des puissances distinctes

64 = 26 = 43 = 8²

 

Puissances de 3

 

30 =   1      

32 =   2 + 3 + 4    =  9

34 =   5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 81

36 =   14 + 15 + 16 +... + 39 + 40 = 729

etc.
avec un nombre de termes égal à:  1, 3, 9 ,27...     

 

 

Équations

n = 2 est la seule solution de nx = ny + nz avec 2² = 21 + 21.

a =2 et b= 4, seule solution de ab = ba avec 24 = 4².

 

Somme des puissances successives

 

*      La suite des puissances de 2 :

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256 ...

peut s'exprimer par la fonction :

Il se trouve qu'on peut en donner une expression globale, à condition que x < 1, pour que la suite converge : 

B(x) = 1 / (1 - 2x)

 

*      Voyons avec x = 0,1:

Expression globale

 

Série de puissances

B(x)

= 1 + 2 x 0,1 + 4 x 0,01 + 8 x 0,001 + 16 x 0,0001 + ...

= 1 + 0,2 + 0,004 + 0,008 + 0,0016 +...

= 1, 2496 + ...

= 1,25

 

Généralisation: formule célèbre

 

 

 

SOMME DE FACTORIELLES

 

*      Seuls deux nombres sont égaux à la somme des factorielles de leurs chiffres: 145 & 40 585.

 

Problème de Brocard

 

*      Solutions de n! + 1 = x². Il n'en existe que 3.

 

4! + 1 =     =     25

5! + 1 = 11²  =    121

7! + 1 = 71²  = 5 041

 

 

 

 

 

PRODUITS DE PUISSANCES

 

xx . yy = zz  est vérifiée pour:

 

x =   126    = 212 x 36   = 2 985 984

 

y =     68    = 28   x 38   =

 

z =              220 x 314   =

 

xx = 0,34 1097

yy = 0,17 1090

zz = 0,73 10102

 

1940 - Chao-Ko, Chine 

 

 

 

 

xx yy = zz

 

est vérifiée pour :

x = 126

= 212 x 36

y = 68

= 28 x 38

z = 211 x 37

= 211 x 37

 (1940 - Chao-Ko, Chine)

 

 

 

 

 

 

 

Suite

*    1 à 100 en 4 carrés

*    Sommes de cubes et autres puissances 

*    S'y retrouverIndex

Voir

*    Bi, tripartitions

*    Calcul mental

*    Carré des triangulaires = somme de cubes

*    Conway

*    Cubes

*    Géométrie

*    Nombre = sommes de cubes

*    Nombre = sommes de puissances

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*    Nombres cubes

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*    Unité des puissances

Site

*    Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers – Euler net

*    Autres sites

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