NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 04/01/2010

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Carrés

magiques

Carrés magiques

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Carrés

magiques

 

Généralités

 

 

 

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CARRÉS

MAGIQUES

 

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Symétrie

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Sommaire de cette page

>>> Approche des carrés magiques

>>> Carré magique ou diabolique

>>> Introduction aux carrés magiques

>>> Somme magique

>>> Ordre du carré magique

>>> Curiosités et propriétés

>>> Suite

 


 

 

 

CARRÉS MAGIQUES

 

Ces pages me donnent un peu d'émotion…

Très jeune (moins de dix ans), j'ai découvert les carrés magiques. Leur pratique m'a donné la passion des nombres, des mathématiques et mon goût pour les curiosités arithmétiques associées.

 

Voir, en particulier, la méthode de construction des carrés magiques avec le mouvement du cavalier.

 

Si vous n'avez jamais entendu parler des carrés magiques, allez à:

La magie du carré 3 x 3.

 

Carré de Lo Shu

Chine, il y a 3000 ans

 

Notez la manière de représenter les nombres de 1 à 9

 

 

 

APPROCHE

 

Voici un carré magique et diabolique de 5 x 5 cases

 

Amusez-vous à trouver toutes les configurations de 5 cases dont la somme est constante et égale à la somme magique 65.

 

 

Sommes classiques du carré magique

 

 

1

15

24

8

17

S = 65

 

23

7

16

5

14

S = 65

 

20

4

13

22

6

S = 65

 

12

21

10

19

3

S = 65

 

9

18

2

11

25

S = 65

D = 65

 S = 65

 S = 65

 S = 65

 S = 65

 S = 65

D = 65

 

Constante magique = 65

= S = somme sur les lignes ou sur les colonnes.

= D = somme sur l'une ou l'autre des diagonales.

 

Observation: la somme sur les extrémités en diagonale vaut deux fois 13, le nombre du centre:

26 = 2 x 13 = 1 + 25 =  15 + 11 + … 7 + 19 = 16 + 10 …

 

Notez également que 13 x 5 = 65; 13 est la valeur moyenne de chaque case du carré magique.

 

 

Autres configurations magiques

 

Somme en croix droite

 

1

15

24

8

17

23

7

16

5

14

20

4

13

22

6

12

21

10

19

3

9

18

2

11

25

 

La somme des nombres dans

la croix bleue donne 65.

Déplacez la croix, vous aurez encore 65.

 

 

Somme en croix de Saint-André

 

1

15

24

8

17

23

7

16

5

14

20

4

13

22

6

12

21

10

19

3

9

18

2

11

25

 

La somme des nombres dans

la croix bleue donne 65.

Déplacez la croix, vous aurez encore 65.

 

 

 

 Carrés magiques: les 4 types principaux

Voir suite en Types de carrés magiques

 

 

  

INTRODUCTION AUX CARRÉS MAGIQUES

 

Carré magique, en mathématiques: tableau de nombres distincts, en général de 1 à n, rangés dans un carré, de sorte que les sommes des nombres sont égales sur, au moins,

*    chaque ligne,

*    chaque colonne, et

*    chaque diagonale principale.

 

Par exemple, le tableau carré

 

6

1

8

7

5

3

2

9

4

C'est un carré magique d'ordre 3. L'ordre est le nombre de lignes ou de colonnes.

 

La somme magique pour un carré magique d'ordre 3 vaut 15.

 

Observations

 

*       Dans les temps anciens, de tels arrangements de nombres étaient considérés comme des porte-bonheur ou des talismans.

*       Plus tard, les mathématiciens s'intéressèrent aux carrés magiques en tant que problèmes d'analyse mathématique.

*       En général, on utilise les nombres successifs à partir de 1.

*       Pour un carré d'ordre 3 (côté = 3), il faudra les chiffres de 1 à 9.
Mais on peut aussi jouer avec d'autres suites de nombres.

 

 

 

 

 

SOMME MAGIQUE

 

*       Un carré magique d'ordre n utilise les entiers:

 1, 2, 3, ... n²

 

*       La somme de 1, 2, 3,...n²  est:

 

n² (n² + 1) / 2

 

*       Par conséquent, la somme S
      de chacune des n lignes,
      de chacune des n colonnes, ou
      de chacune des deux diagonales principales
du carré magique, est donnée ci-contre selon l'ordre n du carré

Constante magique S

 

S  = n (n² + 1) / 2

 

    n =  3   S = 15

 4           34

 5           65

 6         111

 7         175

 8         260

 9         369

10       505

*       La somme magique est parfois présente pour d'autres configurations de n cases dans le carré.

*       C'est souvent le cas pour les diagonales secondaires, ou couplées ou pandiagonales.
Exemple sur le carré 5x5 du haut de page:
         15 +16 + 22+ 3 + 9 = 65

 

*       Lorsque d'autres configurations géométriques, comme des croix, se présentent avec la constante magique, le carré magique est dit diabolique

*      Lignes

*      Colonnes

*      Diagonales

 

+ éventuellement

*      Pandiagonales

*      Croix

*    Autres formes

 

 

 

ORDRE du carré magique

 

*       Ordre du carré magique: quantité

*       de cellules par côté du carré magique

*       de lignes, ou

*       de colonnes.

 

Ordre 1: une infinité de carrés triviaux

 

*       Le carré n'existe pas (ou alors trivial, car c'est un nombre isolé).

 

Ordre 2: impossible

 

*       Avec les nombres de 1 à 4 sur un carré 2 x 2, il est impossible de créer une constante magique.
Le 2 est symbole du chaos pour Pythagore.

 

Ordre 3: un unique carré magique

 

*       Il existe bien un carré 3 x 3 et il est unique, aux permutations près

 

Ordre 4: il y en a 880!

 

*       À partir de l'ordre 4, et au-delà, la quantité de carrés magiques croît rapidement.

 

 

 

Curiosités / Propriétés

 

*    Le carré magique formé des éléments 1, 2,..., n ² existe pour tout ordre n, hormis pour n = 2.

*    Cependant, on ne connaît pas à ce jour de règle générale permettant de construire tous les carrés magiques, et on ne sait pas combien il existe de carrés magiques pour chaque ordre n.

*    Des règles de construction ont été développées pour trois catégories de carrés magiques particuliers :

*    ceux pour lesquels l'ordre n est impair,

*    ceux pour lesquels l'ordre n est divisible par 2 mais pas par 4,

*    ceux dont l'ordre n est divisible par 4.

*    Le carré magique est doublement magique s'il reste magique lorsque chaque élément est remplacé par son carré.

*    Il est triplement magique s'il reste magique lorsque chaque élément est remplacé par son carré et par son cube.

 

*    Les cubes magiques et autres figures géométriques magiques ont également fait l'objet d'études.

 

 

 

À SUIVRE …

 

*       Les carrés magiques sont fascinants par leurs diversités, leurs quantités, la manière de les construire.

*    La table des matières vous permet de vous orienter dans ce monde foisonnant des carrés magiques de tout type.

*    Une page pour les débutants, les novices … vous fera y entrer en douceur.

*    Un glossaire vous donnera tout le vocabulaire afférent aux carrés magiques.

*    Vous pourrez aussi fureter sur Internet avec une liste de liens utiles.

*       Bon amusement …

 

 

ENGLISH CORNER

 

*       Recreational mathematics: a magic square of order n is an arrangement of n² numbers, usually distinct integers, in a square, such that the n numbers in all rows, all columns, and both diagonals sum to the same constant.

 

*       The magic lies in the fact that the numbers in each row, column, and diagonal always sum to the same number, called the magic constant.
 

*       If the integers are consecutive numbers from 1 to n², the square is said to be of nth order. An nth-order magic square is a square array of n² distinct integers.

 

 


 

Suite

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