NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Sommaire de cette page

>>> Cubes magiques

>>>                Ordre 3

>>>                Ordre 4

>>>                Ordre 6

>>>                Ordre 7

>>> Cubes magiques parfaits

 

 

 

 

 

CUBES MAGIQUES

 

Chaque carré parallèle à une face est magique.

Les sommes sur les quatre diagonales sont égales à la constante magique.

Richard Myers découvre comment construire un grand nombre de cubes en utilisant une superposition de cubes gréco-latins et la notation octale. Il avait 16 ans !

 

Un cube magique très sommaire!

 

 

Somme 9 sur les verticales.

 

 

 

CUBES MAGIQUES – Ordre 3

 

*    Tous les nombres de 1 à 27 = 33.

Somme magique:             42.

 

La somme magique est égale à la somme de tous les nombres de 1 à n3. Soit ½ n3 (n3 +1). Or tous ces nombres sont répartis sur n x n lignes horizontales (par exemple). La constante magique vaut S = ½ n (n3 +1).

 

*    La représentation n'est pas facile:

 

 

 

Ici, les trois tableaux montrent les 3 plans successifs du cube:

 

 

 

8

15

19

24

1

17

12

25

5

10

26

6

7

14

21

22

2

18

23

3

16

11

27

4

 

9

13

20

 

 

Le cube est magique:

Somme sur toutes les rangées et colonnes = 42

10+26+6 = 23+3+16 = 9+13+20 = 24+1+17 =...= 42

10+23+9 = ...= 24+7+11=...= 42

10+24+8 = 23+7+12 =... = 42

De même que sur les grandes diagonales:

10+14+18 = 6+14+22 = 9+14+19 = 20+14+8 = 42

Attention, il faut voir le cube dans l'espace.

La somme n'est pas respectée sur les diagonales des faces:

10+3+20 = 33 et non 42

 

Le cube est associatif:

Somme sur les extrémités des rayons constante et

égale à 2 fois le nombre central: 2 x 14 = 28

10+18 = 26+2 = 6+22 = 23+5 = ...= 28

24+4 = 1+27 = 17+11 = 7+21 = ...= 28

8+20 = 13+15 =...= 28

 

 

 

 

CUBES MAGIQUES – Ordre 4

 

*    Tous les nombres de 1 à 64 = 43.

Somme magique 130.

 

61

20

36

13

3

46

30

51

8

41

25

56

2

47

31

50

58

23

39

10

12

37

21

60

64

17

33

16

59

22

38

11

54

27

43

6

49

32

48

1

5

44

28

53

55

26

42

7

15

34

18

63

9

40

24

57

14

35

19

62

52

29

45

4

 

 

 

CUBES MAGIQUES – Ordre 6

 

*    Tous les nombres de 1 à 216 = 63.

Somme magique: 651

Ce cube parfaitement magique est dû à un Japonais: M. Abe (1947).

Source Mathemusement de F. Poyo

 

Les trois premiers plans                  et les trois derniers plans

Non représentées, les 36 sommes sur les profondeurs qui sont bien évidemment magiques. Ex: 1 + 141 + 161 + 64 + 105 + 179 = 144 + 173 + 67 + 108 + 155+ 4 = 140 + 178 + 66 + 104 + 160 + 3 = … = 651

 

Les grandes diagonales et les grandes pandiagonales sont magiques (somme 651)

Soit: 2 x 36 fois la somme magique.

Ex:1 + 6 + 182 + 216 + 211 + 35  = 144 + 125 + 87 + 73 + 92 + 130

= 171 + 33 + 79 + 46 + 184 + 138 = 32 + 116 + 38 + 185 + 101 + 179 = … = 651

 

Les diagonales des plans ne sont pas magiques.      

 

 

 

CUBES MAGIQUES – Ordre 7

 

*    Tous les nombres de 1 à 343 = 73.

Somme magique 1 204

Ce cube a été construit sur le principe de la combinaison de carrés latins.

 

229   248   316   48   67   135   161

41   60   128   154   222   290   309

196   215   283   302   34   53   121

295   27   95   114   189   208   276

107   182   201   269   337   20   88

262   330   13   81   100   175   243

74   142   168   236   255   323   6

  

113   188   207   275   301   26   94

268   343   19   87   106   181   200

80   99   174   242   261   336   12

235   254   329   5   73   141   167

47   66   134   160   228   247   322

153   221   289   315   40   59   127

308   33   52   120   195   214   282

  

4   72   147   166   234   253   328

159   227   246   321   46   65   140

314   39   58   133   152   220   288

126   194   213   281   307   32   51

274   300   25   93   119   187   206

86   112   180   199   267   342   18

241   260   335   11   79   105   173

  

287   306   31   50   125   193   212

92   118   186   205   280   299   24

198   273   341   17   85   111   179

10   78   104   172   240   266   334

165   233   259   327   3   71   146

320   45   64   139   158   226   252

132   151   219   294   313   38   57

  

171   239   265   333   9   84   103

326   2   77   145   164   232   258

138   157   225   251   319   44   70

293   312   37   63   131   150   218

56   124   192   211   286   305   30

204   279   298   23   98   117   185

16   91   110   178   197   272   340

  

62   130   149   224   292   311   36

217   285   304   29   55   123   191

22   97   116   184   210   278   297

177   203   271   339   15   90   109

332   8   83   102   170   245   264

144   163   238   257   325   1   76

250   318   43   69   137   156   231

  

338   21   89   108   176   202   270

101   169   244   263   331   14   82

256   324   7   75   143   162   237

68   136   155   230   249   317   49

223   291   310   42   61   129   148

35   54   122   190   216   284   303

183   209   277   296   28   96   115

 

 

 

 

CUBES MAGIQUES PARFAITS

 

Le cube magique est parfait si, en plus des grandes diagonales (trigonales), les diagonales de chaque face donnent la somme constante.

 

Propriétés

Cube magique

ordre n

n x n x n = n3 cellules

Nombres de

1 à n3

pour un cube magique normal

Lignes magiques

3 n²

n² lignes        donnent la somme magique

n² colonnes     "

n² piliers           "

Diagonales principales

4

Diagonales principales avec somme magique

Le carré est semi –parfait

Diagonales secondaires

6 n

Donnent la somme magique

Soit 3n² + 4 + 6n sommes magiques

Cas où n= 5 => 3 x 25 + 4 + 30 = 109

Le carré est alors parfait

Constante magique

1/2 n

x (n3 + 1)

 = 1/2 x 5 (125 + 1) = 315
dans le cas où n = 5

 

 

Existence et première construction

*    Il existe des cubes magiques de tout ordre à partir de 3, mais ce n'est pas le cas pour les cubes parfaits :

*    Ordre 3   Impossible.

*    Ordre 4   Impossible. Prouvé en 1972 par Richard Schroeppel. Un presque parfait a été réalisé en 1640 par Fermat.

*    Ordre 5   2003 par Christian Boyer – Français et Walter Trump – Allemand.

*    Ordre 6   2003 par Walter Trump – Allemand.

*    Ordre 7   Oui, découverts après ceux d'ordre 8 en 1866 - Andrew Frost.

*    Ordre 8   Oui, 1875 – Gustavus Frankenstein; et avec  une méthode de construction en 1930.

*    Etc.

*    Ordre 8 192   Parfait et multi-magique jusqu'à la puissance 4 – 2003 – Christian Boyer.

 

Le plus petit cube magique parfait – Ordre 5

*    Ordre                                            5

*    Nombres de                      1 à 125

*    Case centrale                            63

*    Somme magique                     315

*    Nombre de lignes magiques  109

 

Le cube semi-parfait de Fermat (1640) – Ordre 4

*    Pierre de Fermat envoie au père Marin Mersenne un cube magique presque parfait d'ordre 4, avec 64 alignements magiques. Il en faudrait 76 pour le cube magique parfait d'ordre4.

 

Voir Cubes et tableau par C. Boyer

 

 

 

 

 

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Sites

*    Cubes magiques parfaits – Christian Boyer – Très complet

*    Cubes magiques parfaits – Le plus petit – Christian Boyer (pdf)

*    Cubes magiques parfait – Wikipédia

*    A Technique to Make Magic Cubes – Creating a Magic Cube by Formula – Grogono Magic Squares

*    Perfect magic cubesMathworld.Wolfram

*    Perfect Magic Cube of Order 5 Discovered – Eric W. Weisstein

*    Magic Cubes – The Road to Perfect – Harvey Heinz

*    Magic Cubes – New Recreations – William Benson and Oswald Jacoby – E-book (extraits) avec mathémagique des cubes magiques

*   Mathemusement de F. Poyo

*      Autres liens vers les sites carrés magiques

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/CarreMag/CMgeomCu.htm