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CUBES MAGIQUES

Chaque carré parallèle à une face est magique.

Les sommes sur les quatre diagonales sont égales à la constante magique.

Richard Myers découvre comment construire un grand nombre de cubes en utilisant une superposition de cubes gréco-latins et la notation octale. Il avait 16 ans !

Un cube magique très sommaire!

Somme 9 sur les verticales.

Transformation des cubes magique en étoiles magiques

Patrick Nasica a représenté les 80 transformations des cubes magiques en étoiles magiques

L'ensemble forme 20 familles de 4 cubes: deux identiques avec leurs deux images en miroir.

Un exemple =>

Voir Ces 80 cubes-étoiles*

Principe de transformation de l'étoile en cube

Les deux triangles équilatéraux correspondent à deux trièdres opposés (bleu et vert).

Disposer les nombres selon les sommets opposés: le 1 en face du 4, le 6 en face du 8 et le 12 en face du 7.

Les autres nombres s'en déduisent par simple respect de la continuité.

*Merci à Patrick Nasica pour son aimable autorisation à publier ce document

Exemple de transformation du cube magique en étoile magique et en octaèdre magique 

CUBES MAGIQUES – Ordre 3

Tous les nombres de 1 à 27 = 3³.

Somme magique: 42.

La somme magique est égale à la somme de tous les nombres de 1 à n³. Soit ½ n³ (n³ +1). Or tous ces nombres sont répartis sur n x n lignes horizontales (par exemple). La constante magique vaut S = ½ n (n³ +1).

La représentation n'est pas facile:

Ici, les trois tableaux montrent les 3 plans successifs du cube:

						8	15	19
			24	1	17	12	25	5
10	26	6	7	14	21	22	2	18
23	3	16	11	27	4
9	13	20

Le cube est magique:

Somme sur toutes les rangées et colonnes = 42

10+26+6 = 23+3+16 = 9+13+20 = 24+1+17 =...= 42

10+23+9 = ...= 24+7+11=...= 42

10+24+8 = 23+7+12 =... = 42

De même que sur les grandes diagonales:

10+14+18 = 6+14+22 = 9+14+19 = 20+14+8 = 42

Attention, il faut voir le cube dans l'espace.

La somme n'est pas respectée sur les diagonales des faces:

10+3+20 = 33 et non 42

Le cube est associatif:

Somme sur les extrémités des rayons constante et

égale à 2 fois le nombre central: 2 x 14 = 28

10+18 = 26+2 = 6+22 = 23+5 = ...= 28

24+4 = 1+27 = 17+11 = 7+21 = ...= 28

8+20 = 13+15 =...= 28

CUBES MAGIQUES – Ordre 4

Tous les nombres de 1 à 64 = 4³.

Somme magique 130.

												61	20	36	13
								3	46	30	51	8	41	25	56
				2	47	31	50	58	23	39	10	12	37	21	60
64	17	33	16	59	22	38	11	54	27	43	6	49	32	48	1
5	44	28	53	55	26	42	7	15	34	18	63
9	40	24	57	14	35	19	62
52	29	45	4

CUBES MAGIQUES – Ordre 6

Tous les nombres de 1 à 216 = 6^3. Somme magique: 651 Ce cube parfaitement magique est dû à un Japonais: M. Abe (1947). Source Mathemusement de F. Poyo Les trois premiers plans et les trois derniers plans Non représentées, les 36 sommes sur les profondeurs qui sont bien évidemment magiques. Ex: 1 + 141 + 161 + 64 + 105 + 179 = 144 + 173 + 67 + 108 + 155+ 4 = 140 + 178 + 66 + 104 + 160 + 3 = … = 651 Les grandes diagonales et les grandes pandiagonales sont magiques (somme 651) Soit: 2 x 36 fois la somme magique. Ex:1 + 6 + 182 + 216 + 211 + 35 = 144 + 125 + 87 + 73 + 92 + 130 = 171 + 33 + 79 + 46 + 184 + 138 = 32 + 116 + 38 + 185 + 101 + 179 = … = 651 Les diagonales des plans ne sont pas magiques.

CUBES MAGIQUES – Ordre 7

Tous les nombres de 1 à 343 = 7^3. Somme magique 1 204 Ce cube a été construit sur le principe de la combinaison de carrés latins. 229 248 316 48 67 135 161 41 60 128 154 222 290 309 196 215 283 302 34 53 121 295 27 95 114 189 208 276 107 182 201 269 337 20 88 262 330 13 81 100 175 243 74 142 168 236 255 323 6 113 188 207 275 301 26 94 268 343 19 87 106 181 200 80 99 174 242 261 336 12 235 254 329 5 73 141 167 47 66 134 160 228 247 322 153 221 289 315 40 59 127 308 33 52 120 195 214 282 4 72 147 166 234 253 328 159 227 246 321 46 65 140 314 39 58 133 152 220 288 126 194 213 281 307 32 51 274 300 25 93 119 187 206 86 112 180 199 267 342 18 241 260 335 11 79 105 173 287 306 31 50 125 193 212 92 118 186 205 280 299 24 198 273 341 17 85 111 179 10 78 104 172 240 266 334 165 233 259 327 3 71 146 320 45 64 139 158 226 252 132 151 219 294 313 38 57 171 239 265 333 9 84 103 326 2 77 145 164 232 258 138 157 225 251 319 44 70 293 312 37 63 131 150 218 56 124 192 211 286 305 30 204 279 298 23 98 117 185 16 91 110 178 197 272 340 62 130 149 224 292 311 36 217 285 304 29 55 123 191 22 97 116 184 210 278 297 177 203 271 339 15 90 109 332 8 83 102 170 245 264 144 163 238 257 325 1 76 250 318 43 69 137 156 231 338 21 89 108 176 202 270 101 169 244 263 331 14 82 256 324 7 75 143 162 237 68 136 155 230 249 317 49 223 291 310 42 61 129 148 35 54 122 190 216 284 303 183 209 277 296 28 96 115

CUBES MAGIQUES PARFAITS
Le cube magique est parfait si, en plus des grandes diagonales (trigonales), les diagonales de chaque face donnent la somme constante. Propriétés
Cube magique	ordre n	n x n x n = n^3 cellules
Nombres de	1 à n^3	pour un cube magique normal
Lignes magiques	3 n²	n² lignes donnent la somme magique n² colonnes " n² piliers "
Diagonales principales	4	Diagonales principales avec somme magique Le carré est semi –parfait
Diagonales secondaires	6 n	Donnent la somme magique Soit 3n² + 4 + 6n sommes magiques Cas où n= 5 => 3 x 25 + 4 + 30 = 109 Le carré est alors parfait
Constante magique	1/2 n x (n^3 + 1)	= 1/2 x 5 (125 + 1) = 315 dans le cas où n = 5
Existence et première construction Il existe des cubes magiques de tout ordre à partir de 3, mais ce n'est pas le cas pour les cubes parfaits : Ordre 3 Impossible. Ordre 4 Impossible. Prouvé en 1972 par Richard Schroeppel. Un presque parfait a été réalisé en 1640 par Fermat. Ordre 5 2003 par Christian Boyer – Français et Walter Trump – Allemand. Ordre 6 2003 par Walter Trump – Allemand. Ordre 7 Oui, découverts après ceux d'ordre 8 en 1866 - Andrew Frost. Ordre 8 Oui, 1875 – Gustavus Frankenstein; et avec une méthode de construction en 1930. Etc. Ordre 8 192 Parfait et multi-magique jusqu'à la puissance 4 – 2003 – Christian Boyer. Le plus petit cube magique parfait – Ordre 5 Ordre 5 Nombres de 1 à 125 Case centrale 63 Somme magique 315 Nombre de lignes magiques 109 Le cube semi-parfait de Fermat (1640) – Ordre 4 Pierre de Fermat envoie au père Marin Mersenne un cube magique presque parfait d'ordre 4, avec 64 alignements magiques. Il en faudrait 76 pour le cube magique parfait d'ordre4. Voir Cubes et tableau par C. Boyer

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Diconombre	Nombre 18
Sites	Cubes magiques parfaits – Christian Boyer – Très complet Cubes magiques parfaits – Le plus petit – Christian Boyer (pdf) Cubes magiques parfait – Wikipédia A Technique to Make Magic Cubes – Creating a Magic Cube by Formula – Grogono Magic Squares Perfect magic cubes – Mathworld.Wolfram Perfect Magic Cube of Order 5 Discovered – Eric W. Weisstein Magic Cubes – The Road to Perfect – Harvey Heinz Magic 3-F Polygons & Graphs – Harvey Heinz Magic Cubes – New Recreations – William Benson and Oswald Jacoby – E-book (extraits) avec mathémagique des cubes magiques Mathemusement de F. Poyo Autres liens vers les sites carrés magiques
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