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ORIENTATION GÉNÉRALE - M'écrire - Édition du: 24/09/2005

-Ý- RUBRIQUE: CHAOS LOGISTIQUES
§ Loi Logistique	§ Croissance logistique
Sommaire de cette page >>> LOI LOGISTIQUE >>> FRACTALES DE MANDELBROT		Pages sur sujets voisins § Fractales § Complexité § Attracteurs § Chaos Logistique § Catastrophes § Lapins de Fibonacci

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-Ý- LOI LOGISTIQUE

La loi logistique

x_n+1 = l . x_n (1 - x_n )

Caractérise de nombreux phénomènes de croissance sous contrainte,

comme une population de bactéries avec un quota de nourriture donné.

On étudie la loi logistique pour différentes valeurs de départ (x₀)

et pour différentes valeurs du coefficient d'amplification (l )

Elle peut être:

Convergente	Cyclique	Chaotique
l = 2	l = 1+ Ö 5 = 3, 236	l = 4
0,40	0,40	0,40
0,480	0,77666	0,96
0,49920	... / ...	0,15360
0,5	0,5	0,52003
0,5	0,80902	0,99840
etc.	0,5	0,00641
	0,80902	0,02547
	etc.	...

La courbe ci-dessous montre les zones de ruptures.

Les courbes de la page suivante illustrent les comportements pour x₀ = 0,4 et pour une variation en l .

Feigenbaum a montré que, après un nombre suffisant d'itérations,

les motifs se répètent avec une échelle de forme toujours la même:

2,502908 et 4,66920166.

-Ý- FRACTALES DE MANDELBROT

C'est avec une loi semblable z_n+1 = l . z_n ² + k,

mais dans le domaine des nombres complexes,

que l'on construit les fractales de Mandelbrot et de Julia,

fractales dites du " pou ".

On met un point noir pour les valeurs de z où la fonction converge

et, blanc où ça diverge (ou alors des couleurs selon la vitesse de divergence).

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