NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Chaos

 

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Chaos

 

Complexité

Chaos

Suite Logistique

Loi logistique

 

Sommaire de cette page

>>> Loi logistique

>>> Fractales de Mandelbrot

 

 

 

 

 

SUITE LOGISTIQUE

 

Que devient une population en présence de plus ou moins de nourriture? Dans certain cas l'évolution est imprévisible, chaotique!

Trois cas classiques:

*    La suite logistique modélise l'évolution discrète de la population (d'années en années par exemple);

*    La loi logistique modélise l'évolution continue de la population; et

*      La loi proie-prédateurs modélise l'évolution en présence de prédateurs.

Le terme logistique se rapporte au calcul (logistikos en grec). Nous n'en savons pas plus sur la raison de ce choix par Verhulst en 1845.

Anglais: Logistic map

 

 

 

 

SUITE LOGISTIQUE

*    Formulation

 

 

*    Elle caractérise de nombreux phénomènes de croissance sous contrainte, comme une population de bactéries avec un quota de nourriture donné.

*    On étudie la loi logistique pour différentes valeurs de départ (x0) et pour différentes valeurs du coefficient d'amplification ()

 

La loi se comporter de différentes manières selon la valeur de lambda:

 

*    La courbe ci-contre montre les zones de transitions, de ruptures.

*    Les courbes de la page suivante illustrent les comportements pour x0 = 0,4 et pour une variation en .

 

*    Feigenbaum a montré que, après un nombre suffisant d'itérations, les motifs se répètent (zoom) avec une échelle de forme toujours la même:

2,502908 et 4,66920166.

 

Diagramme de bifurcation

Source: Strange attractor

 

 

*    Exemple typique de complexité chaotique.

*    Souvent donnée comme exercice de programmation.

 

Révélée par Robert May en 1976.

Solution discrète de la loi logistique de Verhulst.

 

 

 

 

FRACTALES DE MANDELBROT

 

*    C'est avec une loi semblable zn+1 =  . zn ² + k, mais dans le domaine des nombres complexes, que l'on construit les fractales de Mandelbrot et de Julia, fractales dites du " pou ".

*    Pour construire ces fractales, l'idée est de dessiner un point noir pour les points pour lesquels la valeur de z converge; et, un point blanc où ça diverge (ou alors des couleurs selon la vitesse de divergence).

 

 

 

Le théorème de période trois

 

*    En 1973, Tien-Yien Li et James York découvre que les systèmes tels que:

*    les populations de molécules,

*    d'insectes,

*    de personnes...

se comportent d'une manière remarquable.

 

 

*    Dans une séquence de trois générations

*    dont deux avec une population croissante

*    puis si le niveau revient à son niveau de départ ou à un niveau inférieur,

*    alors le système est chaotique, c'est-à-dire imprédictible.

 

*    Si on prend le modèle de l'attracteur étrange pour deux populations voisines, il y a trois possibilités:

*    ou elles restent voisines sur la boucle de départ,

*    ou elles partent toutes les deux sur la boucle voisine,

*    ou l'une reste sur la boucle de départ et l'autre part sur la boucle voisine.
 

 

 

 

 

 

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Sites

*         Period Three Implies ChaosTien-Yien Li et James A. Yorke

*         Matlab Fun (pdf) – For Loops, Iterative Equations, and the Logistic Map – Exemple de programmation

*         The logistic map revisitedExemples complets avec animations

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