NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Tronquées

Généralisées

Alternée

Tables des tronquées

Sous-factorielle

Somme  = 1/2

Nombres de Stirling 1

Stirling 2

 

Sommaire de cette page

>>> Factorielles tronquées de n à n – 5

>>> Mécanisme de création des nombres de Stirling

>>> Valeurs des nombres de Stirling

>>> Programmation

>>> Différence finie des factorielles tronquées généralisées

 

 

 

 

FACTORIELLE TRONQUÉE

Nombres de Stirling

(première espèce)

 

Soit la factorielle tronquée de n  à n – k , il s'agit d'observer les coefficients du polynôme développé.

Exemple:

Les coefficients –3  et +2 sont des nombres de Stirling.

On retrouve, ici, une nouvelle race de nombres semblables à ceux du triangle de Pascal.

Anglais: Generalized factorials: n factors, each one less than the preceding

 

 

 

Factorielles tronquées de n à n – 5

 

Calcul des expressions développées des six premiers polynômes.

La notation classique est (x)n pour les expressions signées telles qu'exprimées dans le tableau. La notation (x)n correspond à la même expression avec somme des valeurs absolues des termes.

Chaque coefficient est noté s(n,k). Ainsi s(4,2) = 11 (on compte à partir de la droite). 

 

Voir Identités remarquables

 

 

 

 

Mécanisme de création des nombres de Stirling

 

Cas de x(4!)

Comment, par exemple, passer de x3 – 3x2 + 2x à x4 – 6x3 + 11x2 – 6x.

Il s'agit de multiplier la première expression par x – 3.

Le schéma montre que chaque nouveau coefficient est égal à al somme du précédent augmenté de 3 fois celui qui est au-dessus.

 

 

Cas de x(5!)

Appliquons le mécanisme en se souvenant que les signes sont alternés:

(x)5 => (1, 1x4+6, 6x4+11, 11x4+6, 6x4)

(x)5 =    x5 – 10x4 + 35x3 – 50x2 + 24

 

 

 

Valeurs des nombres de Stirling (de première espèce)

 

Suite des 50 premiers nombres

 

Nombres de Stirling en situation jusqu'à x(20)

 

 

Programmation  (Maple)

 

Commentaires

 

Écriture d'une procédure de calcul des coefficients de la ligne suivante connaissant une ligne (L) et le rang de la ligne suivante (k).

Ls est une liste qui contiendra la ligne suivante.

LL est une liste temporaire égal à L avec un 0 en début et un 0 en fin.

La boucle calcule les nouveaux coefficients (c) du premier au dernier, de la même manière.

Une fois la liste Ls complète elle est proposée en sortie de procédure (return)

 

Le programme principal est initialisé avec la première liste (L) et on ouvre un ensemble vide (E) destiné à recevoir un exemplaire de chacun des nombres de Stirling.

Calcul des lignes (L) de coefficients pour x(1) à x(20) et mise à jour de l'ensemble E des nombres de Stirling.

On imprime au choix les lignes de coefficients L ou, en fin de programme, la liste ordonnée des nombres de Stirling (ici les 20 premiers).

 

Utilisation du package Maple

Maple possède les instructions toutes faites.

Voir ProgrammationIndex

 

 

 

Différence finie des factorielles tronquées généralisées

 

La différence finie première s'apparente à une dérivée.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Retour

*         Factorielles tronquées

Suite

*         Nombres de Stirling de deuxième espèce

*         Somme et produit de 3 nombres consécutifs

*         Division des factorielles tronquées

*         Factorielle tronquée = carré?

*         Factorielles généralisées

*         Produit de k nombres consécutifs – Divisibilité

Voir

*         Coefficient du binôme

*         Constante "e"

*         Constante "pi"

*         Factorielles divisées

*         Loto

*         Partition en nombres consécutifs

*         Programmation du calcul des factorielles

*         Théorie des nombresIndex

Sites

*         Nombres de Stirling – Wikipédia

*         OEIS A008275 – Triangle read by rows of Stirling numbers of first kind, s(n,k), n >= 1, 1<=k<=n.

*         OEIS A008275 – Triangle of Stirling numbers of first kind, s(n, n-k+1), n >= 1, 1 <= k <= n.

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