NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil / Dictionnaire / Rubriques / Index / Atlas / Références / Nouveautés ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 20/07/2009
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Sommaire de cette page >>> FACTORIELLE >>> FAMILIARISATION >>> CONVERSIONS >>> FRACTIONS >>> ÉQUATIONS >>> IDENTITÉS >>> SOMME

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FACTORIELLE n

notée n!

Et son usage pour dénombrer les choses

1 = 1!

1 x 2 = 2!

1 x 2 x 3 = 3!

1 x 2 x 3 x 4 = 4!

Anglais: factorial denoted by n!

FACTORIELLE

Définition

n positif	Factorielle n (n!) est le produit des nombres consécutifs de 1 à n n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-1) x n
n négatif ou fractionnaire	n! n'est pas défini

Exemples

1! 2! 3! 4! 5!

= 1 = 1 x 2 = 2 = 1 x 2 x 3 = 6 = 1 x 2 x 3 x 4 = 24 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120

Propriétés

n!	= 1 x 2 x 3 x … x (n-1) x n = n x (n-1) x … x 3 x 2 x 2 x 1 = n x [(n-1) x … x 3 x 2 x 2 x 1] = n x (n - 1)!
1!	= 1 x (1 - 1)! = 1 x 0! = 1	Application de la formule pour n = 1 Valeur classique de 1! = 1
0!	= 1	On obtient ainsi la valeur de 0!

FAMILIARISATION

Attention

6!	=	6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1	= 120	3! = 3 x 2 x 1 = 6
3!		3 x 2 x 1

12!	=	12 x 11 x 10!	= 132	2! = 2 x 1 = 4
10!		10!

4! + 5!

= 4! + 5 x 4! = 4! (1 + 5) = 4! x 6 = 24 x 6 = 144

9! = 9 x 8 x … x 2 x 1 = 362 880

CONVERSIONS

Trouver la valeur en factorielles

3 x 4 x 5 x 6	=	1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6	=	6!
		1 x 2		2!

FRACTIONS

1	+	1	+	1	=	10 x 9	+	10	=	1
8!		9!		10!		10 x 9 x 8!		10 x 9!		10!
					=	90	+	10	=	1
						10!		10!		10!
					=	101
						10!

ÉQUATIONS

n = ?	(n + 1)! =	6 (n - 1)!
Premier membre	(n + 1)!	= (n + 1) (n ) (n - 1)!
Égalité 2^e membre	6 (n - 1)!	= (n + 1) (n ) (n - 1)!
Simplification	6	= (n + 1) n
Équation	n² + n - 6	= 0
Astuce!	n² + 3n - 2n - 6	= 0
Mise en facteur	n(n + 3) - 2(n + 3)	= 0
Encore	(n - 2) (n + 3)	= 0
Solutions	n & n	= 2 = -3 (solution à rejeter, car négative)

IDENTITÉS

(2n)! / n!	= 1 x 3 x 5 …(2n-1) x 2^n
(2n)!	= 2n (2n-1)(2n-2) … 4 x 3 x 2 x 1 = {2n (2n-2)(2n-4) … 4 x 2} {(2n-1)(2n-3) … 3 x 1} = 2^n {n (n-1)(n-2) … 2 x 1} {1 x 3x … (2n-1)} = 2^n {n !} {1 x 3x … (2n-1)}
(2n)! / n!	= 2^n {1 x 3x … (2n-1)} CQFD

Exemple

12! / 6!	= 1 x 3 x 5 …11 x 2^6
479 001 600 / 720 = 665 280	= 10 395 x 64 = 665 280

SOMME

n	n!	Cumul
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16	1 2 6 24 120 720 5040 40320 362880 3628800 39916800 479001600 6227020800 87178291200 1307674368000 20922789888000	1 3 9 33 153 873 5913 46233 409113 4037913 43954713 522956313 6749977113 93928268313 1401602636313 22324392524313
	La factorielle gagne un 0 à chaque multiple de 5	En conséquence, les chiffres de droite de stabilisent sur des valeurs précises

Voir Nombres 13 / 313

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