NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Factorielles

 

Introduction

Familiarisation

Super-factorielle

Valeurs

 

Sommaire de cette page

>>> Produit

>>> Définition

>>> Familiarisation

 

 

>>> Équations

>>> Identités

 

 

 

FACTORIELLES

Débutant et familiarisation

 

Les bases des factorielles et quelques gammes pour apprendre à les manipuler.

 

 

Produit des nombres successifs

 

Approche

 

*    Multiplions les nombres successifs entre eux. Nous venons de créer une liste de nombres particuliers, appelés factorielle. Par exemple, factorielle de 5 est égale à 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

*    Ces nombres sont souvent utilisés pour compter des objets selon leur placement. Pour simplifier, on les note avec un point d'exclamation, ce qui évite de redonner toutes les multiplications. Par exemple: 5! = 120.


 

 

 

 

Factorielle

 

 

Définition

 

*    Factorielle de n (notée n!): c'est le nombre égal au produit de tous les nombres entiers de 1 à n.

 

n! = 1 x 2 x 3 x … x (n – 1) x n

Évidemment le nombre 0 est exclu!

 

*    Si n est fractionnaire ou négatif, la factorielle ordinaire n'existe pas; elle n'est pas définie. Voir Fonction Gamma

 

*    Par convention, on pose: 0! = 1. Si bien que 0! = 1! = 1 et 0! / 0! = 1.

 

La factorielle suivante

 

*    Pour passe d'une factorielle à la suivante, il suffit de multiplier par le nombre (cela est très visible sur le tableau sur le cahier ci-dessus).

 

(n + 1)! = (n + 1) x n!

Ex: 6! = 6 x 5! = 6 x 120 = 720

 

Nombre composé

 

*    Du fait de leur construction comme un produit, toutes les factorielles sont des nombres composés. Nombre qui est divisible par tous les nombres qui lui sont inférieurs. Ex: 7! est divisible par 6.

 

 

 

 

 

FAMILIARISATION – Prudence.

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

ÉQUATIONS

n = ?

(n + 1)! 

= 6 (n – 1)!

Premier membre

(n + 1)!

= (n + 1) n  (n – 1)!

Égalité 2e membre

6 (n – 1)!

= (n + 1) n  (n – 1)!

Simplification

6

= (n + 1) n

Équation

n² + n – 6   

= 0

Astuce!

n² + 3n – 2n – 6  

= 0

Mise en facteur

n(n + 3) – 2(n + 3)

= 0

Encore

(n – 2) (n + 3)

= 0

Solutions

n

& n

 

= 2

= –3 (solution à rejeter,
car négative)

Voir Équations

 

 

 

 

 

 

Suite

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*         Somme de factorielles

*         Identité: (2n)! / n!

*         Voir haut de page

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