NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

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FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Tronquées

Généralisées

Alternée

Niveau Terminale

 

Sommaire de cette page

>>> Approche

>>> Fonction gamma d'Euler

>>> Calcul par itération

>>> Calcul par intégration

>>> Calcul par produits

>>> Valeur typiques

>>> Table de valeurs

>>> Graphiques

>>> Doublons

 

 

 

 

FACTORIELLES GÉNÉRALISÉES

Fonction gamma d'Euler

 

Fonction factorielle étendue aux nombres non-entiers

 

Ex: factorielle (1/2) = 1,77. Notée  et lue gamma trois demis.

 

Important: avec des entiers, la fonction gamma de n est la factorielle de n – 1.

Note: on peut atteindre 7 avec deux 4 en faisant:

Voir Lettres grecques / Jeu du quatre 4

 

 

 

Approche

 

*    Nous connaissons les factorielles des nombres entiers.

*    Que penser de la factorielle d'un nombre décimal, comme par exemple factorielle de 3,5.

*    Par extension de la notion de factorielle, nous trouverions la valeur indiquée sur la courbe (11,63).
 

*    Les mathématiciens (Euler le premier) ont introduit une fonction GAMMA () qui interpole les valeurs des factorielles entre les entiers.

*    Ce prolongement n'est pas une fonction simple. Elle fait appel au calcul intégral. Ou autrement dit: à la somme infinie de quantités infinitésimales.
 


 

Notez qu'il faut ajouter 1 en abscisse

pour obtenir  fonction GAMMA.

 

 

 

 

 

FONCTION GAMMA D'EULER

 

Nom

Fonction gamma  (GAMMA dans Maple)

Fonction G d'Euler.

Fonction eulérienne de première espèce

 

Définition par intégrale

 

 

 et x sont des réels et x > 0

 

Lecture: gamma de x est égal à l'intégrale (sorte de sommes en quantité infinie) pour t variant de zéro à l'infini, du produit de l'exponentielle de  moins t par t à la puissance x moins 1 et encore multiplié par dt (une quantité qui à la limite tend vers zéro, c'est cette petite quantité qui justifie le mot d'intégrale et non de sommes infinies).

 

Définition par produits (en quantité) infinis

 

 

Lecture: gamma de x est égal à un sur x multiplié par le produit infini d'une fraction dont le numérateur est égal à 1 plus 1 sur n le tout à la puissance x et le dénominateur est égal à 1 plus x sur n.

 

Passage aux factorielles:     (K étant toute la partie produit).

En multipliant par x:       x

 

Soit la formulation en produit pour les factorielles:

 Merci à Mireille C. pour cette formulation

Propriétés

 

Si x est entier:       (x) = (x – 1)!
Ce qui explique le nom de factorielle généralisée.

 

Gamma donne la factorielle décalée d'un cran.

Si x est un réel:      (x + 1) = x . (x) ou (x) = (x + 1) / x

 

Il existe une généralisation avec les complexes.

 

En pratique

 

On trouve aussi bien la notation en GAMMA qu'en factorielle. Ainsi:

 

Cas particulier des demis

 

 Où n!! est la factorielle des nombres impairs dite double factorielle.

 Par exemple:  5!! = 1 x 3 x 5 = 15.

 

 

 

Voir Constante gamma d'Euler / Symboles

 

 

Calcul par itération

 

Entiers

(5) = 4(4) = 4 . 3 (3) = 4 . 3 . 2 (2)

                               = 4 . 3 . 2 . 1 (1) = 4 . 3 . 2 . 1 = 4!

 

On retrouve bien la relation entre la fonction gamma et les factorielles des entiers.

 

Fractionnaires

(4,5) = 3,5 (3,5) = 3,5 x 2,5 (2,5)

                                           = 3,5 x 2,5 x 1,5 (1,5)

                                  = 3,5 x 2,5 x 1,5 x 0,5 (0,5)

                                  = 6,5625 x 1,77245 = 11,6317… >>>

 

Alternative

En prenant la formule spécifique des demis, la quantité de demis n = 9 et le coefficient de racine de Pi est égal à : (9 – 2) !! / 24 = 1 x 3 x 5 x 7 / 16 = 105 / 16 = 6,5625.

 

Négatifs



 

 

 

 

Principe du calcul avec la définition par intégrale

 

*    Voici une approche du calcul intégral, réalisable sur tableur ou mieux par programmation.

*    Ci-contre exemple de calcul avec tableur (Excel).

*    le pas de calcul (dt) est fixé à 1. On approchera de plus près la valeur réelle (11,63) en choisissant un pas plus petit;

*    il faudra alors adapter la valeur de t. Par exemple avec dt = 0,1 la variable t passera de 0 à 0,1 puis 0,2 jusqu'à atteindre 10 ou plus.

*    la valeur finale proposée ici pour t = 10 est arbitraire. La théorie voudrait que le calcul soit prolongé à l'infini.

*    En pratique, plus la quantité de calcul est grande et plus on se rapproche de la valeur réelle.
 

 

 

*    Avec Maple, voici un programme tout simple qui permettra de choisir le pas de calcul à loisir et laisser faire l'ordinateur.

*    Ici, le pas de calcul est dt = 0,01 et

*    la quantité de pas est tt = 10 000.

*    Le calcul est effectué pas à pas avec A, B et C les calculs intermédiaires et G qui est le cumul de C.

 

*    La valeur donnée par la fonction GAMMA de Maple est:

 

 =  11,631 728 396 6…

 

 

Initialisation

 

 

 

 

Boucle de calcul

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Impression

 

 

Principe du calcul avec la définition par produits

*    La mise en musique (tableur ou programmation) n'est pas bien difficile.

*    Par contre, la convergence est très lente.

*    La difficulté, sans connaître la valeur finale, c'est de savoir quand s'arrêter!

 

Exemple pour  

 

 

Quelques valeurs typiques (100 décimales)

= 3,6256099082 2190831193 0685155867 6720029951 6768288006 5467433377 9995699192 4353872912 1618360136 7233843003…

= 2,6789385347 0774763365 5692940974 6776441286 8937795730 1100950428 3275904176 1016774381 9540982889 0411887894…

= 1,7724538509 0551602729 8167483341 1451827975 4945612238 7128213807 7898529112 8459103218 1374950656 7385446654…

= 1,3541179394 2640041694 5288028154 5137855193 2726605679 3698394022 4679637829 6540174254 1675834147 9529729111…

= 1,2254167024 6517764512 9098303362 8905268512 3924810807 0611230118 9382898228 8842679835 7237172376 2149150665 …

 

 3,625 609 ...


*      Les nombres  ,  , et (1/4) sont indépendants .         

Démonstration 1995

>>>

 2,678 938 ...

 

*      Nombre transcendant .

*      Indépendance algébrique: il n'existe pas de polynôme à coefficients non nuls liant ces deux nombres – (1/3) et ) – et prenant la valeur nulle.

  Choodnovsky

>>>

1, 772 453 …

*      Nombre transcendant.

>>>

 

 

 

 

TABLE de valeurs des fractions de 1 à 10 pour N et pour D

 

Lecture:     Trois valeurs  ; sa valeur numérique avec 4 chiffres significatifs, les 0 finaux sont éliminés; et, enfin, son expression en fonction d'autres valeurs

Ex:  qui s'exprime par racine de Pi.
La fonction csc est la cosécante; c'est simplement l'inverse du sinus. On aurait pu mettre le sinus de la même valeur au dénominateur

Note: la première colonne présente les fractions ayant 1 pour dénominateur. Autrement-dit, les nombres entiers de 1 à 10. La fonction gamma donne la valeur de la factorielle classique, décalée d'un cran.

 

 

 

 

 

Visualisation graphique

 

Courbe pour x de – 6 à + 6, montrant la non-définition de la fonction pour les valeurs entières négatives

 

Courbe pour x de 0,001 à 6                                                 ZOOM Courbe pour x de 0,01 à 0,1

 

 

 

Courbe pour x de 0,5 à 2                                              Courbe pour x de 0,5 à 3

 

Notez que pour x =1 et x = 2, même valeur de gamma = 1

D'une manière générale: même valeur pour deux abscisses.

 

 

 

 

DOUBLONS

 

Attention   ( x ) = (x – 1)!

Les valeurs des factorielles sont décalées d'un cran.

 ( 4 ) = 3! = 6

 

 

 

 

 

Suite

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*         Formule du volume de l'hypersphère

Voir

*         Coefficient du binôme

*         Constante "e"

*         Constante "pi"

*         Constantes

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*         n! + 1 = a² (Brocard)

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