NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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COMPTER - Combinatoire

 

Débutants

Dénombrement

FACTORIELLES

 

Glossaire

Combinatoire

 

 

INDEX

 

Compter

 

Dénombrer

 

 

Index factorielle

Introduction

Factorielle  = somme

 

Sommaire de cette page

>>> Approche avec les carrés et les cubes

>>> Sommes pour carrés et cubes

>>> Généralisation

>>> Table récapitulative pour n de 2 à 8

>>> Mécanisme de passage de n à n + 1

>>> Démonstration par induction

>>> Démonstration avec différences finies

>>> Factorielle et partition en nombres consécutifs

 

 

 

 

 

FACTORIELLE = SOMME

de puissances

 

Comment, d'une manière générale, exprimer une factorielle, essentiellement un produit, en utilisant l'opérateur somme?

C'est possible en exploitant la propriété des puissances des nombres consécutifs: la différence énième des puissances énièmes est égale à factorielle n.

 

Exemple pour factorielle 4

 

Voir la formule tout de suite >>>

Autre possibilité: somme d'une suite de nombres consécutifs >>>

 

Anglais: How to express a factorial as the sum of a series? / Finite differences and Factorials

 

 

Approche avec les carrés et les cubes

 

Carrés

Soit la suite des carrés des nombres successifs et l'écart pour passer au suivant: ce sont les nombres impairs.

L'écart suivant (différence seconde) est constant est égal à 2.

 

 

L'écart de l'écart entre carrés est constant et égal  à 2.

Cubes

Avec les cubes et la différence troisième, la constante est égale à: 6 = 1 x 2 x 3 = 3!

 

 

L'écart troisième entre cubes est constant et égal  à 6.

 

 

Propriété générale

Ces observations pour les carrés et les cubes peuvent être étendues à toute puissance.

Propriété exploitée par Babbage pour concevoir sa machine à calculer.

 

 

Théorème

La différence énième entre les puissances de nombres consécutifs à la puissance énième est égal à factoriel n.

 

Nous allons voir comment exploiter cette propriété pour exprimer une factorielle par une somme algébrique (cad. avec des plus et des moins).

 

 

Calcul littéral pour les cubes

 

 

Sommes pour carrés et cubes

Carrés

Exploitons cette partie du tableau des carrés:

2 = 5 – 3  = (9 – 4) – (4 – 1)

 

Ci-contre une formalisation en fonction des carrés des nombres successifs.

 

 

Note: on aurait tout aussi bien pu prendre d'autres valeurs:

2 = 19 – 17 = 100 – 2 x 81 + 64 = 10² – 2 x 9² + 8²

 

Cubes

Même chose avec le tableau des cubes:

 

6 = 18 – 12

   = (37 – 19) – (19 – 7)

   = ((64 – 27) – (27 – 8)) – ((27 – 8) – (8 – 1)

   = 64 – 3 x 27 + 3 x 8 – 1

   = 43 – 3 x 33 + 3 x 2313

Observations et formulation

 

Les plus avertis auront déjà reconnu les coefficients du binôme (ou triangle de Pascal) dans ces deux expressions.

 

Attention à l'alternance des signes dans chacune des formules et d'une formule à l'autre.

Formulation établie ci-dessus

 

Avec les coefficients du binôme:



 

Note: le terme avec le nombre le plus grand (celui de droite) est toujours positif

 

Avec l'opérateur sommation

 

 

 

 

 

Généralisation

 

À partir de ces deux modèles (carrés et cubes), on peut oser la généralisation.

 

En constatant que le terme le plus grand est toujours positif et que les coefficients du binôme sont symétriques, on peut retourner la formule pour éviter le (-1) initial.

 

Dans la mesure où on peut se mettre n'importe où dans la suite des puissances, et non pas seulement en position le plus à gauche avec le 1 initial, il est possible de remplacer le 1 par un nombre quelconque a.

 

 

 

 

 

Vérification par programme (Maple)

Commentaires

Les coefficients du binôme sont calculés avec la fonction numbcomb (nombres de combinaisons) du package logiciel combinat.

 

La boucle en n permet de calculer les six premières valeurs.

 

La formule trouvée est directement traduite en Maple qui utilise la fonction add de k = 0 à n.

 

Le (-1)n tient compte de l'alternance du signe selon la puissance n.

 

En bleu, le résultat du traitement qui semble vérifier notre intuition.

 

Voir ProgrammationIndex

 

 

Table récapitulative pour n de 2 à 8

 

 

 

Mécanisme de passage de n à n + 1

Carrés

Voyons graphiquement comment est formé 2! à partir des carrés.

*      2 est égal  à 5 + 3,

*      5 est égal à 9 – 4, et

*      3 est égal à 4 – 1.

 Bilan:

*      le 9 est atteint une fois en positif

*      le 4, deux fois en négatifs, et

*      le 1, une seule fois en positif

Cubes

Avec les cubes, il faut un étage de plus.

Les traits bleus (positifs) et les traits rouges (négatifs), se prolongent vers le bas en même quantité.

*      pour deux qui arrivent en haut,

*      deux repartent en bas en bleu, et

*      deux repartent en bas en rouge.

Bicarrés (puissance 4)

Un nouvel étage avec les mêmes propagations en quantité. On retrouve le processus de formation du triangle de Pascal: un nombre est égal à la somme de celui du dessus et de son compagnon de gauche.

 

Nous avons l'explication de la formation des coefficients et de leur signe. Explication n'est pas démonstration. Celle-ci, ci-dessous, fait appel à des notions mathématiques de niveau supérieur >>>.

 

 

 

Bilan

Il est bien évident que les formules trouvées ne sont pas très pratiques pour calculer la valeur des factorielles. Par contre, elle crée un réel pont entre le produit des nombres et leurs puissances.

 

Grand Merci à Jack Smith pour m'avoir remis en mémoire cette formulation des factorielles

 

 

Démonstration par induction** 

** Niveau terminale

La kième différence finie de F(n)  est notée:

 

 

Avec F(n) = cube de n, on calcule les différences finies d'ordre 1, 2 puis 3.

 

 

 

Exemple:

*      La première différence finie s'applique à n et n + 1.

*      La deuxième également, mais sur le résultat de la première.

*      Même chose pour la troisième qui montre qu'elle est toujours égale à 6 quelle que soit la valeur de n.

 

Notons la différence finie la plus simple qui va servir de référence pour notre raisonnement par récurrence.

Attention changement de notation: nous notons x plutôt que n pour rester dans un univers familier aux analystes.

 

 

Il s'agit de montrer que:

 

La énième différence finie des puissances énièmes est égale à factorielle n.

 

Nous allons montrer que si elle est vraie pour k elle l'est pour k + 1 et, sachant quelle est vraie pour  k = 1, elle est vraie dans tous les cas.

Nous passons par la primitive de notre égalité supposée vraie (ce qui se change pas sa véracité):

Calcul de la primitive à droite: la dérivée de x est bien dx. La primitive de n! par rapport à x reste constante. La primitive de n! est donc x.n! à une constante près.

Calcul de primitive à gauche. On vérifie que la dérivée de (xn+1 /(x+1) est bien xn.

Avec x = 0, on montre que C1 = C2.

Soit l'égalité sans les constantes:

n + 1 est constant est n'intervient pas dans le calcul des différences finies.

En multipliant par n +1 :

Prenons la première différence finie de chacune des parties de l'égalité:

*    C'est delta de n + 1 à gauche, et

*    Delta 1 à droite, soit la différence de l'expression en (n + 1) et en n.

Finalement:

 

 

 

Démonstration générale avec différences finies

Soit un polynôme

et sa valeur x + h:

 

Différence finie

(la première):

En développant les xn s'éliminent, révélant une nouvelle constante (rouge).

Bilan:

 

Ce n'est pas sans nous rappeler le calcul de dérivée:

Deuxième différence finie:

.

Énième différence finie:

 

 

Et avec h = 1:

 

Évidemment les suivantes sont nulles.

 

 

 

 

 

 

 

 

Factorielle et partition en nombres consécutifs

Partitions

Liste de toutes les partitions de n! jusqu'à n = 7 avec des nombres consécutifs.

On donne n, la suite des nombres consécutifs en précisant le premier i et le dernier j. Le dernier nombre L est la longueur de la liste des nombres consécutifs.

 

Exemples
5! = 120 = 1 + 2 + … + 14 + 15 (L = 15 termes)
5! = 120 = 22 + 23 + 24 + 25 + 26 (L = 5)

 

Comment trouver la partition?

Prenons 5! = 120 = 23 x 3 x 5

Possible avec 3 x 5 = 15 termes ?

Si oui, le terme central est 120 / 15 = 8

Alors il y a 7 termes de chaque côté du 8:

Soit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 / 8 / 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15.

 

Prenons 5 termes

Terme central = 120 / 5 = 24

Avec 2 termes de chaque côté.

Soit 120 = 22 + 23 + 24 + 2 5 + 26

 

Prenons 30 termes

Terme central = 120/ 30 = 4

Avec 4 comme terme à l'extrémité de 15 termes à gauche et 15 termes à droite: impossible.

 

Toutes les partitions

n, i, j, n!, L

3, 1, 3, 6, 3

4, 7, 9, 24, 3

5, 1, 15, 120, 15

5, 22, 26, 120, 5

5, 39, 41, 120, 3

6, 7, 38, 720, 32

6, 41, 55, 720, 15

6, 76, 84, 720, 9

6, 142, 146, 720, 5

6, 239, 241, 720, 3

7, 5, 100, 5040, 96

7, 49, 111, 5040, 63

7, 90, 134, 5040, 45

7, 127, 161, 5040, 35

7, 142, 173, 5040, 32

7, 230, 250, 5040, 21

7, 329, 343, 5040, 15

7, 556, 564, 5040, 9

7, 717, 723, 5040, 7

7, 1006, 1010, 5040, 5

7, 1679, 1681, 5040, 3

 

 

Défi

Le but est de trouver la partition la plus longue parmi toutes les partitions en nombres consécutifs.

On arrive vite à des sommes d'une très grande quantité de nombre consécutifs.

Pour 10!, il faut 2 560 termes pour la somme qui commence par 138 et se termine à 2 697.

 

Hors la recherche systématique par ordinateur, je ne connais pas de formule ou d'algorithme simple donnant cette suite.

 

Partitions les plus longues

n, i, j, n!, L

3, 1, 3, 6, 3

4, 7, 9, 24, 3

5, 1, 15, 120, 15

6, 7, 38, 720, 32

7, 5, 100, 5040, 96

8, 30, 285, 40320, 256

9, 89, 856, 362880, 768

10, 138, 2697, 3628800, 2560

 

 

 

 

 

 

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Sites

*       Finite differences and Factorials – by always_correct

*       Series – Finding Differences and Polynomial Formulae – Ken Ward

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http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Compter/Factsomm.htm