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FACTORIELLE = SOMME de puissances Comment,
d'une manière générale, exprimer une factorielle,
essentiellement un produit, en utilisant l'opérateur
somme? C'est
possible en exploitant la propriété des puissances
des nombres consécutifs:
la différence énième des puissances énièmes est
égale à factorielle n. Exemple
pour factorielle 4
Voir la
formule tout de suite >>> Autre
possibilité: somme d'une suite de nombres consécutifs >>> |
Anglais: How to express a factorial as the sum of a series? / Finite
differences and Factorials
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Carrés Soit la
suite des carrés
des nombres successifs et l'écart pour passer au suivant: ce sont les nombres
impairs. L'écart
suivant (différence seconde) est constant est égal à 2. |
L'écart de l'écart entre carrés est constant et égal à 2. |
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Cubes Avec les cubes et
la différence troisième, la constante est égale à: 6 = 1 x 2 x 3 = 3! |
L'écart
troisième entre cubes est constant et égal
à 6. |
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Propriété générale Ces
observations pour les carrés et les cubes peuvent être étendues à toute
puissance. Propriété
exploitée par
Babbage pour concevoir sa machine à calculer. |
Théorème La
différence énième entre les puissances de nombres consécutifs à la puissance
énième est égal à factoriel n. Nous
allons voir comment exploiter cette propriété pour exprimer une factorielle
par une somme algébrique (cad. avec des plus et des moins). |
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Calcul
littéral pour les cubes
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Carrés Exploitons
cette partie du tableau des carrés:
2 = 5 – 3 = (9 – 4) – (4 – 1) Ci-contre une
formalisation en fonction des carrés des nombres successifs. |
Note: on aurait tout aussi bien pu prendre d'autres valeurs: 2 = 19 – 17 = 100 – 2 x 81 + 64 = 10² – 2 x 9² + 8² |
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Cubes Même
chose avec le tableau des cubes:
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6 = 18 – 12 = (37 – 19) – (19 – 7) = ((64 – 27) – (27 – 8)) –
((27 – 8) – (8 – 1) = 64 – 3 x 27 + 3 x 8 – 1 = 43
– 3 x 33 + 3 x 23 – 13 |
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Observations et formulation Les plus avertis auront déjà
reconnu les coefficients
du binôme (ou triangle de
Pascal) dans ces deux expressions. Attention à l'alternance des signes dans chacune des formules et d'une
formule à l'autre. |
Formulation établie ci-dessus
Avec les coefficients du binôme:
Note: le terme avec le nombre le plus grand (celui de droite) est toujours
positif Avec l'opérateur sommation
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À partir de ces deux modèles
(carrés et cubes), on peut oser la généralisation. En constatant que le terme
le plus grand est toujours positif et que les coefficients
du binôme sont symétriques, on peut retourner la formule pour éviter le (-1)
initial. Dans la mesure où on peut se
mettre n'importe où dans la suite des puissances, et non
pas seulement en position le plus à gauche avec le 1 initial, il est possible
de remplacer le 1 par un nombre quelconque
a. |
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Vérification par programme (Maple)
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Commentaires Les coefficients du binôme sont calculés avec la fonction numbcomb (nombres de combinaisons) du package logiciel
combinat. La boucle en n permet de calculer les six premières valeurs. La formule trouvée est directement traduite en Maple qui utilise la
fonction add de k = 0 à n. Le (-1)n tient compte de
l'alternance du signe selon la puissance n. En bleu, le résultat du traitement qui semble vérifier notre
intuition. |
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Voir Programmation – Index
Table récapitulative pour n de 2 à 8
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Carrés Voyons graphiquement comment
est formé 2! à partir des carrés.
Bilan:
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Cubes Avec les cubes, il faut un
étage de plus. Les traits bleus (positifs) et
les traits rouges (négatifs), se prolongent vers le bas en même quantité.
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Bicarrés (puissance 4) Un nouvel étage avec les
mêmes propagations en quantité. On retrouve le processus de formation du
triangle de Pascal: un nombre est égal à la somme de celui du dessus et de son
compagnon de gauche. Nous avons l'explication de la formation des coefficients et de leur
signe. Explication n'est pas démonstration. Celle-ci, ci-dessous, fait appel
à des notions mathématiques de niveau supérieur >>>. |
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Bilan
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Il
est bien évident que les formules trouvées ne sont pas très pratiques pour
calculer la valeur des factorielles. Par contre, elle crée un réel pont entre
le produit des nombres et leurs puissances. |
Grand Merci à Jack Smith pour m'avoir remis en mémoire cette formulation des
factorielles
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** Niveau terminale |
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La kième
différence finie de F(n) est notée: |
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Avec F(n) = cube de n, on
calcule les différences finies
d'ordre 1, 2 puis 3. |
Exemple:
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Notons la différence finie
la plus simple qui va servir de référence pour notre raisonnement
par récurrence. Attention
changement de notation: nous notons x plutôt que n pour rester dans un univers
familier aux analystes. |
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Il s'agit de montrer que: La énième différence finie des puissances énièmes est égale à
factorielle n. |
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Nous allons montrer que si
elle est vraie pour k elle l'est pour k + 1 et, sachant quelle est vraie
pour k = 1, elle est vraie dans tous
les cas. |
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Nous passons par la primitive
de notre égalité supposée vraie (ce qui se change
pas sa véracité): |
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Calcul de la primitive à
droite: la dérivée
de x est bien dx. La primitive de n! par rapport à
x reste constante. La primitive de n! est donc x.n!
à une constante près. |
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Calcul de primitive à
gauche. On vérifie que la dérivée de (xn+1
/(x+1) est bien xn. |
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Avec x = 0, on montre que C1
= C2. |
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Soit l'égalité sans les
constantes: |
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n + 1 est constant est
n'intervient pas dans le calcul des différences finies. |
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En multipliant par n +1 : |
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Prenons la première
différence finie de chacune des parties de l'égalité:
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Finalement: |
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Soit un polynôme et sa valeur x + h: |
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Différence finie (la première): |
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En développant les xn
s'éliminent, révélant une nouvelle constante (rouge). |
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Bilan: |
Ce n'est pas
sans nous rappeler le calcul de dérivée:
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Deuxième différence finie: |
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Énième différence finie: Et avec h = 1: Évidemment les suivantes sont nulles. |
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Partitions Liste de toutes les partitions de n! jusqu'à n = 7 avec
des nombres consécutifs. Exemples Comment trouver la partition? Prenons 5! = 120 = 23 x 3 x 5 Possible avec 3 x 5 = 15 termes ? Si oui, le terme central est 120 / 15 = 8 Alors il y a 7 termes de chaque côté du 8: Soit 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 /
8 / 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15. Prenons 5 termes Terme central = 120 / 5 = 24 Avec 2 termes de chaque côté. Soit 120 = 22 + 23 + 24
+ 2 5 + 26 Prenons 30 termes Terme central = 120/ 30 = 4 Avec 4 comme terme à l'extrémité de 15 termes à
gauche et 15 termes à droite: impossible. |
Toutes les partitions n, i, j, n!, L 3, 1, 3, 6, 3 4, 7, 9, 24,
3 5, 1, 15, 120, 15 5, 22, 26, 120, 5 5, 39, 41, 120, 3 6, 7, 38,
720, 32 6, 41, 55,
720, 15 6, 76, 84,
720, 9 6, 142, 146, 720, 5 6, 239, 241,
720, 3 7, 5, 100, 5040, 96 7, 49, 111, 5040, 63 7, 90, 134, 5040, 45 7, 127, 161, 5040, 35 7, 142, 173, 5040, 32 7, 230, 250, 5040, 21 7, 329, 343, 5040, 15 7, 556, 564, 5040, 9 7, 717, 723, 5040, 7 7, 1006, 1010, 5040, 5 7, 1679, 1681, 5040, 3 |
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Défi Le but
est de trouver la partition la plus longue
parmi toutes les partitions en nombres consécutifs. On arrive
vite à des sommes d'une très grande quantité de nombre consécutifs. Pour 10!, il faut 2 560 termes pour la somme qui commence par 138 et
se termine à 2 697. Hors la
recherche systématique par ordinateur, je ne connais pas de formule ou
d'algorithme simple donnant cette suite. |
Partitions les plus longues n, i, j, n!, L 3, 1, 3, 6, 3 4, 7, 9, 24, 3 5, 1, 15, 120, 15 6, 7, 38, 720, 32 7, 5, 100, 5040, 96 8, 30, 285, 40320, 256 9, 89, 856, 362880, 768 10, 138, 2697, 3628800, 2560 |
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