NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

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Sommaire de cette page

>>> Diviseurs communs

>>> Extension

 

 

 

DIVISEURS COMMUNS

 

en nombres composés.

 

 

 

Diviseurs communs

 

Question

Combien de nombres composés, choisis au hasard, partagent le même diviseur ?

À partir de combien, deux nombres composés partagent le même diviseur?

 

Voyons un exemple

Il existe sept nombres premiers jusqu'à 17.

Le nombre premier suivant est 19.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

Tous les nombres composés jusqu'à 361 (= 19 x 19), ce nombre non compris, sont divisibles par l'un de ces sept nombres premiers inférieurs à 19.

Exemples

143 = 11 x 13

323 = 17 x 19

Choisissons huit nombres composés au hasard parmi eux.

Au mieux, nous pouvons trouver sept nombres ne partageant aucun facteur premier.

Voici au moins un cas: les carrés successifs des nombres premiers.

Pour le 8e, il faudra forcément reprendre l'un des nombres premiers déjà utilisés (conséquence du principe des tiroirs).

 

4 = 2 x 2

9 = 3 x 3

25 = 5 x 5

49 = 7 x 7

121 = 11 x 11

169 = 13 x 13

289 = 17 x 17

 

Conclusion

Pour tout choix de 8 nombres composés inférieurs  à 361, deux d'entre eux partagent le même diviseur premier.

6 = 2 x 3

 

En résumé

Comme 19² = 361, tout entier composé < 360 est divisible par un nombre premier < 19

*    Or il y a sept nombres premiers < 19;

*    Avec les carrés de ces nombres premiers, sept nombres particuliers ne partagent pas de diviseurs communs.

Selon le principe des tiroirs, il suffit de huit nombres composés pour que deux soient divisibles par le même nombre premier.

 

 

Extension

 

Extension

 

Premiers

Quantité

Max

Quantité de nombres

 

2

1 premier

4

1 nombre < 4

partagent un

diviseur commun

2, 3

2 premiers

9

2 nombres composés choisis < 9

2, 3, 5

3 premiers

25

3 nombres composés choisis < 25

2, 3, 5, 7

4 premiers

49

4 nombres composés choisis < 49

2, 3, 5, 7, 11

5 premiers

121

5 nombres composés choisis < 121

2, 3, 5, 7, 11, 13

6 premiers

169

6 nombres composés choisis < 169

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

7 premiers

289

7 nombres composés choisis < 289

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

8 premiers

361

8 nombres composés choisis < 361

 

 

Exemple avec 9

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Exclu

Premier

Premier

 

Premier

 

Premier

 

Limite

 

 

 

4

 

6

 

8

 

 

Quels que soient les deux nombres choisis parmi 4, 6 et 8, ils ont 2 comme diviseur commun

 

 

 

 

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