NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

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ORIENTATION GÉNÉRALE    -   M'écrire   -   Édition du: 07/08/2007

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Général

RUBRIQUE   Théorie des Nombres

Glossaire Général

 

DIVISEURS

 

 

§    Généralités

§    Calculs

§    Fact. Premiers

§    Liste

 

 

§    2n Diviseurs

§    Communs

§     

§     

 

 

 

 

 


 

 

 

 

Diviseurs communs

-Ý-

 

Question

 

Combien de nombres composés, choisis au hasard, partagent le même diviseur ?

À partir de combien, deux nombres composés partagent le même diviseur?

 

Voyons un exemple

 

Ø      Il existe 7 nombres premiers jusqu'à 17

Le nombre premier suivant est 19

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

Ø      Tous les nombres composés jusqu'à 361 (= 19 x 19), ce nombre non compris, sont divisibles par l'un de ces 7 nombres premiers inférieurs à 19

Exemples

143 = 11 x 13

323 = 17 x 19

Ø      Choisissons 8 nombres composés au hasard parmi eux

Ø      Au mieux, nous pouvons trouver 7 nombres ne partageant aucun facteur premier

Voici au moins un cas: les carrés successifs des nombres premiers

Ø      Pour le 8e, il faudra forcément reprendre l'un des nombres premiers déjà utilisés (conséquence du principe des tiroirs)

4 = 2 x 2

9 = 3 x 3

25 = 5 x 5

49 = 7 x 7

121 = 11 x 11

169 = 13 x 13

289 = 17 x 17

Ø      Conclusion

Pour tout choix de 8 nombres composés inférieurs  à 361, deux d'entre eux partagent le même diviseur premier

6 = 2 x 3

 

En résumé

 

Ø     Comme 19² = 361, tout entier composé < 360 est divisible par un nombre premier < 19

§        Or il y a 7 nombres premiers < 19

§        Avec les carrés de ces nombres premiers, 7 nombres particuliers ne partagent pas de diviseurs communs

Ø     Selon le principe des tiroirs, il suffit de 8 nombres composés pour que deux soient divisibles par le même nombre premier

 

 

Extension

 

Premiers

Quantité

Max

Quantité de nombres

 

2

1 premier

4

1 nombre < 4

partagent un

diviseur commun

2, 3

2 premiers

9

2 nombres composés choisis < 9

2, 3, 5

3 premiers

25

3 nombres composés choisis < 25

2, 3, 5, 7

4 premiers

49

4 nombres composés choisis < 49

2, 3, 5, 7, 11

5 premiers

121

5 nombres composés choisis < 121

2, 3, 5, 7, 11, 13

6 premiers

169

6 nombres composés choisis < 169

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17

7 premiers

289

7 nombres composés choisis < 289

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

8 premiers

361

8 nombres composés choisis < 361

 

 

Exemple avec 9

 

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Exclu

Premier

Premier

 

Premier

 

Premier

 

Limite

 

 

 

4

 

6

 

8

 

Quels que soient les deux nombres choisis parmi 4, 6 et 8, ils ont 2 comme diviseur commun

 

 

 

 

 


 

-Ý-

Voir

§      Diviseurs - Généralités

§      Diviseurs  - Théorie