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ORIENTATION GÉNÉRALE  - M'écrire - Édition du: 15/11/2011

 

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Introduction à la Théorie des nombres

Sommaire

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DIVISEURS

>>>

Valeurs

Quantité

Somme

Comparaisons

Produit

 

Sommaire de cette page

 

>>> FACTEURS & DIVISEURS

>>> NOMBRE PREMIER

>>> PRODUIT DE 2 FACTEURS PREMIERS

>>> PUISSANCES

>>> PRODUIT DE PUISSANCES

>>> CAS GÉNÉRAL

 

 

Pages Voisines

 

*       Diviseurs

*       Exemple avec 16 diviseurs

*       Types de nombres selon diviseurs

*       Théorie des nombres - Index

*       Jeux et puzzles

*       Cryptage

 

 

 

DIVISEURS d'un NOMBRE

 

*  Facteurs et diviseurs

*  Facteurs premiers

*  Diviseurs propres

Ne pas confondre ces notions

 

Où il est question du

Théorème fondamental de l'arithmétique

 

 

*  Avec cette page, on apprend à identifier les diviseurs des nombres

*  Les pages suivantes

*    bâties sur le même modèle

*    montreront comment calculer

*    la quantité de diviseurs

*    leur somme, et

*    leur produit

 

 

 

  FACTEURS & DIVISEURS

 

Théorème fondamental de l'arithmétique

Tout nombre entier naturel

est décomposable de façon UNIQUE

en produit de ses facteurs premiers

Sans compter les permutations

 

 

Facteurs premiers

Diviseurs

*    "Atomes" des nombres

*    Élément de base des nombres

 

*    Combinaison des "atomes" qui divisent le nombre

*    Ce sont tous les produits possibles  des facteurs premiers entre eux

*    Composition unique

 

Incroyable:

*    Chaque nombre est caractérisé par cette combinaison

*    C'est son empreinte digitale

*    Les diviseurs sont plus nombreux que les facteurs premiers

 

Exemple 12

 

12

= 2 x 2 x 3

= 22 x 3

12 est divisible par

1, 2, 3,

4, 6, 12

12 possède

2 facteurs premiers

Il a

6 diviseurs

 

Pour préciser le vocabulaire

Facteurs ou diviseurs premiers

Diviseurs et diviseurs propres

*   Sans autre indication, "facteurs" signifie

Facteurs premiers

*   On utilise parfois le vocable

Diviseurs premiers

*   Sans autre indication, "diviseurs" signifie

Diviseurs

y compris le nombre

*   Sinon on précise

Diviseurs propres,

excluant le nombre lui-même

Facteurs premiers (15)

Facteurs (15)

Diviseurs premiers (15)

= 3 x 5

= 3 x 5

= {3 , 5}

 

 

 

 

Diviseurs (15)

Diviseurs propres (15)

= {1, 3, 5, 15}

= {1, 3, 5}

Le produit des facteurs est appelé radical du nombre

Rad(15) = 15

Rad(12) =   6

 

 

 

 

 

  NOMBRE PREMIER

*  Nous savons qu'un nombre premier p

n'est divisible que par 1 et lui-même

*  On remarque vite que

les diviseurs étant: 1 et p

 

*  On adopte la présentation ci-dessous

qui va nous permettre de considérer des cas de plus en plus généraux

en utilisant une procédure quasi automatique

 

Illustration

7 = 1 x 7

Div =

1

7

 

Formalisation

p = 1 x p

Div =

1

p

 

Exemples

Nombre

Facteurs

Diviseurs

11 =

1 x 11

1 , 11

13 =

1 x 13

1 , 13

101 =

1 x 101

1 , 101

1 009 =

1 x 1 009

1 , 1009

 

 

  PRODUIT DE 2 FACTEURS PREMIERS

 

Illustration

6 = 2 x 3

Div =

1

3

 

 

2

6

 

Formalisation

n =

Div =

1

1 .B

A. B

 

A

A .B

 

Exemples

Nombre

Facteurs

Diviseurs

10 =

2 x 5

1, 2, 5, 10

14 =

2 x 7

1, 2, 7, 14

15 =

3 x 5

1, 3, 5, 15

22 =

2 x 11

1, 2, 11, 22

 

*  Jusque là,

*  Identifier les diviseurs, c'est facile!

 

*    Nombre premiers

*    Produit de deux facteurs premiers

il y en 2

il y en 4

 

 

  PUISSANCES

*  Avec les puissances de nombres premiers

On va trouver plus de diviseurs

 

 

Illustration

8

Div =

1

= 23

 

2

 

 

4

 

 

8

 

Formalisation

n = Aa

Div =

1

 

A

 

 

A2

 

 

…

 

 

Aa

 

Exemples

Nombre

Facteurs

DIVISEURS

16

= 24

1, 2, 4, 8, 16

125

= 53

1, 5, 25, 125

16 807

= 75

1, 7, 49, 343, 2 401, 16807

285 311 670 611

= 1111

1, 11, 121, 1331, …

 

 

 

  PRODUIT DE PUISSANCES

*  Avec les puissances de nombres premiers

Les diviseurs sont:

*    le 1 et

*    toutes les puissances successives du nombre

 

 

1

A, A²,…Aa

 

*  Avec un produit

*    Ce sont les mêmes

*    combinés avec le nouveau facteur

*    et ses puissances

1, A, A²,…Aa

1xB, A.B, A².B,…Aa. B

1xB², …

 

Illustration

200

Div =

1

5

25

= 23 . 52

 

2

10

50

 

 

4

20

100

 

 

8

40

200

 

Formalisation

n = Aa . Bb

Div =

1

1 x B

1 x B2

 

A

A x B

A x B2

 

 

A2

A2 x B

A2 x B2

 

 

A3

A3 x B

A3 x B2

 

Exemples

Nombre

Facteurs

Diviseurs

36

= 22 . 32

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36

72

= 23 . 32

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

144

= 24 . 32

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 24, 36, 48, 72, 144

100

= 22 . 52

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100

1 000

= 23 . 53

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000

 

 

 

  CAS GÉNÉRAL

 

Exemple et idée de disposition des nombres pour les trouver tous

 

9 800 =

23

. 52

. 72

 

 

On note les diviseurs de

23

 

 

 

1, 2, 4, 8

de

 

52

 

 

1, 5, 25

et de

 

 

72

 

1, 7, 49

 

On cherche d'abord les diviseurs du premier bloc de facteurs

8

Div =

1

 

 

= 23

 

2

 

 

 

 

4

 

 

4 diviseurs

 

8

 

 

 

Avec le deuxième bloc de facteurs

200

Div =

1

5

25

= 23 . 52

 

2

10

50

 

 

4

20

100

4 x 3 = 12 diviseurs

8

40

200

 

Avec le troisième bloc de facteurs

9 800

Div =

1

7

49

= 23 . 52 . 72

 

2

14

98

 

 

4

28

196

 

 

8

56

392

12 x 3 = 36 diviseurs

5

35

245

 

 

10

70

490

 

 

20

140

980

 

 

40

280

1 960

 

 

25

175

1 225

 

 

50

350

2 450

 

 

100

700

4 900

 

 

200

1 400

9 800

 

 

*  Cette disposition semble pratique pour identifier TOUS les diviseurs

*    On peut les compter facilement

*    et, même en faire la somme

*  Voyons cela, et essayons de trouver les lois générales:  >>>

*  Vous serez épatés de réaliser que c'est assez simple

 

 

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Diviseurs

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