NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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Introduction à la

Théorie des nombres

 

Débutants

Division

DIVISEURS

 

Glossaire

Division

 

 

INDEX

 

Accueil

 

Sommaire

Introduction

Valeurs

Quantité

Somme

Produit

Comparaisons

 

Sommaire de cette page

>>> Facteurs & diviseurs

>>> Nombre premier

>>> Produit de 2 facteurs premiers

>>> Puissances

>>> Produit de puissances

>>> Cas général

 

                                                                                                                                             

 

 

 

DIVISEURS d'un NOMBRE

 

Facteurs et diviseurs / Facteurs premiers / Diviseurs propres

Ne pas confondre ces notions.

Où il est question du Théorème fondamental de l'arithmétique.

 

Avec cette page, on apprend à identifier les diviseurs des nombres.

Les pages suivantes, bâties sur le même modèle, montreront comment calculer la quantité de diviseurs, leur somme, et leur produit.

 

 

 

 

FACTEURS & DIVISEURS

 

Théorème fondamental de l'arithmétique (TFA)

 

Tout nombre entier naturel est décomposable de façon UNIQUE

en produit de ses facteurs premiers, sans compter les permutations.

 

Anglais: fundamental theorem of arithmetic, unique factorization theorem or unique-prime-factorization theorem.  Allemand: Primfaktorzerlegung (Zerlegung = décomposition).

 

Exemple

Le nombre factorielle 10 = 10! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 = 3 628 800

est en fait le produit des facteurs premiers: 28 x 34 x 52 x 7

 

Passage du produit aux facteurs premiers

Voir Liste des facteurs des nombres / Démonstration de ce théorème

 

 

Facteurs premiers

Diviseurs

 

Atomes des nombres.

Élément de base des nombres.

Composition unique (TFA).

 

Incroyable: chaque nombre est caractérisé par cette combinaison. C'est son empreinte digitale.

 

Combinaison des atomes qui divisent le nombre.

Ce sont tous les produits possibles  des facteurs premiers entre eux.

Les diviseurs sont plus nombreux que les facteurs premiers.

Exemple

12 = 2 x 2 x 3

     =   2² x 3

 

12 est divisible par 1, 2, 3,

                                 4, 6, 12

12 possède 2 facteurs premiers

Il a 6 diviseurs

Voir Facteur et diviseursDéfinitions

 

 

 

Pour préciser le vocabulaire

 

Facteurs ou diviseurs premiers

Sans autre indication, facteurs signifie:

facteurs premiers.

On utilise parfois le vocable: diviseurs premiers.

 

Exemple avec le nombre15

Facteurs premiers: {3, 5}

Facteurs: {3, 5}

Diviseurs premiers: {3, 5}

 

Le produit des facteurs est appelé radical du nombre.

Rad(15) = 3 x 5 = 15; Rad(12) = 2 x 3 =   6

 

 

 

Diviseurs et diviseurs propres

Sans autre indication, diviseurs signifie diviseurs, y compris le nombre.

Sinon on précise: diviseurs propres, excluant le nombre lui-même

 

Exemple avec le nombre15

Diviseurs (15) = {1, 3, 5, 15}

Diviseurs propres (15) = {1, 3, 5}

 

 

 

Nombre premier

Nous savons qu'un nombre premier p n'est divisible que par 1 et lui-même.

On remarque vite que les diviseurs d'un nombre premier sont: 1 et p.

 

On adopte la présentation ci-contre qui va nous permettre de considérer des cas de plus en plus généraux en utilisant une procédure quasi automatique.

 

 

Illustration

7 = 1 x 7

Div =

1

7

 

Formalisation

p = 1 x p

Div =

1

p

 

Exemples

Nombre

Facteurs

Diviseurs

11 =

1 x 11

1 , 11

13 =

1 x 13

1 , 13

101 =

1 x 101

1 , 101

1 009 =

1 x 1 009

1 , 1009

 

 

Produit de deux facteurs premiers

Jusque là, identifier les diviseurs, c'est facile!  

*      Pour 6 = 2 x 3, on a: {1, 2, 3, 6}.

*      Pour P = A.B, on a: {1, A, B, A.B}.

 

Quantité de diviseurs:

Avec les nombres premiers: il y en a 2.

Et avec les nombres, produits de deux facteurs premiers: il y en a 4.

 

 

 

 

Illustration

6 = 2 x 3

Div =

1

3

 

 

2

6

 

Formalisation

n =

Div =

1

1 .B

A. B

 

A

A .B

 

Exemples

Nombre

Facteurs

Diviseurs

10 =

2 x 5

1, 2, 5, 10

14 =

2 x 7

1, 2, 7, 14

15 =

3 x 5

1, 3, 5, 15

22 =

2 x 11

1, 2, 11, 22

 

 

Puissances

Avec les puissances de nombres premiers, on va trouver plus de diviseurs.

En fait autant que de puissances de 0 à la puissance maximale a, soit a + 1 diviseurs.

 

 

 

 

 

 

Illustration

8

Div =

1

= 23

 

2

 

 

4

 

 

8

Formalisation

n = Aa

Div =

1

 

A

 

 

A2

 

 

 

 

Aa

Exemples

Nombre

Facteurs

Diviseurs

16

= 24

1, 2, 4, 8, 16

125

= 53

1, 5, 25, 125

16 807

= 75

1, 7, 49, 343, 2 401, 16807

285 311 670 611

= 1111

1, 11, 121, 1331, …

 

 

Produit de puissances

Avec les puissances de nombres premiers, les diviseurs sont:

 

*      le 1, et

*      toutes les puissances successives du nombre A, A²,…Aa

 

 

 

Avec un produit de puissances, ce sont les mêmes, combinés avec le nouveau facteur et ses puissances:

 

*      1, A, A²,…Aa

*      1xB, A.B, A².B,…Aa. B

*    1xB², … Suite sur le tableau.

 

 

 

 

Illustration

200

Div =

1

5

25

= 23 . 52

 

2

10

50

 

 

4

20

100

 

 

8

40

200

Formalisation

n = Aa . Bb

Div =

1

1 x B

1 x B2

 

A

A x B

A x B2

 

 

A2

A2 x B

A2 x B2

 

 

A3

A3 x B

A3 x B2

Exemples

Nombre

Facteurs

Diviseurs

36

= 22 . 32

1, 2, 3, 4, 6, 9, 12,

18, 36

72

= 23 . 32

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,

18, 24, 36, 72

144

= 24 . 32

1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12,

16, 18, 24, 36, 48, 72, 144

100

= 22 . 52

1, 2, 4, 5, 10, 20, 25,

50, 100

1 000

= 23 . 53

1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40,

50, 100, 125, 200, 250, 500, 1000

 

 

Cas général

Exemple et idée de disposition des nombres pour les trouver tous

 

 

9 800 =

23

. 52

. 72

Diviseurs

23

 

 

1, 2, 4, 8

 

52

 

1, 5, 25

 

 

72

1, 7, 49

On cherche d'abord les diviseurs du premier bloc de facteurs

 

 

8

Div =

1

 

 

= 23

 

2

 

 

 

 

4

 

 

4 diviseurs

 

8

 

 

Avec le deuxième bloc de facteurs

 

 

200

Div =

1

5

25

= 23 . 52

 

2

10

50

4 x 3 = 12 diviseurs

4

20

100

8

40

200

Avec le troisième bloc de facteurs

 

 

Cette disposition semble pratique pour identifier TOUS les diviseurs.

On peut les compter facilement et, même en faire la somme.

Voyons cela, et essayons de trouver les lois générales.

Vous serez épatés de réaliser que c'est assez simple.

 

 

9 800

Div =

1

7

49

= 23 . 52 . 72

 

2

14

98

12 x 3 = 36 diviseurs

4

28

196

8

56

392

5

35

245

10

70

490

20

140

980

40

280

1 960

25

175

1 225

50

350

2 450

100

700

4 900

200

1 400

9 800

 

 

 

 

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