NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Par 8

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Différence de carrés

>>> Divisibilité par 8 de N = …cdu

>>> Divisibilité par 8 – Critères

>>> Divisibilité par une puissance de  2

>>> Forme polynomiale 1

>>> Forme polynomiale 2

 

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 8

 

Critères de divisibilité et formes polynomiales divisibles.

Un nombre divisible par 8 est terminé par 0, 2, 4, 6 ou 8.

Un carré divisé par 8 a pour reste 0, 1 ou 4.

Le carré d'un nombre impair moins un est divisible par 8.

 

Voir Règles générales de divisibilité

 

 

 Différence de carrés

*    Nombres (n – 2k) et (n + 2k), situés symétriquement par rapport à n

(n + 2k)² – (n – 2k)² = 8 k n

*    Variante

 

(n + 3)² – (n – 1)² = 8 n

 

Exemple:

 n = 7: 10² – 6² = 8 x 7 = 54 = 100 – 36

Voir Divisibilité par 4 / Écarts entre carrés

 

 

 

 

Divisibilité par 8 de N = …cdu

 

cdu sont les chiffres des centaines, dizaines et unités.

 

Critère de base

 

Si le nombre cdu est divisible par 8, alors tout nombre de la forme N = …cdu est divisible par 8.

 

Exemples

008 =  8 x   1,   2 008 = 8 x 251, 123 008 = 8 x 15 376
416 =  8 x 52,   2 416 = 8 x 302, 123 416 = 8 x 15 427

 

Explications

N = Mcdu = 1000M + 100c + 10d + u (Voir base décimale)

                 = (8 x 125) M + 100c + 10d + u

Le nombre de milliers est divisible par 8, il suffit de vérifier que le reste (cdu) l'est également.

 

Critère amélioré

 

Un nombre est divisible par 8 si 4c + 2d + u  est divisible par 8.

 

Exemples

416 => 4 x 4 + 2 x 1 + 6 = 16 +   2 + 6 = 24 = 8 x 3

984 => 4 x 9 + 2 x 8 + 4 = 36 + 16 + 4 = 56 = 8 x 7

 

Explications

cdu = 100c + 10d + u

       =  96c + 4 c + 8d + 2d + u

       =  8(12c + d) + 4 c + 2d + u

Le premier terme est divisible par 8, il suffit de vérifier que le reste (4c + 2d + u) l'est également.

 

Critère le plus économique en calculs

 

Si c  est     pair prendre  A = 2d + u
Si c  est impair prendre  A = 2d + u + 4
Si A est divisible par 8, alors N est divisible par 8.

 

Exemples

416 =>  2 x 1 + 6 = 8

984 =>  2 x 8 + 4 + 4 = 24

 

Explications

Avec c = 2k       => 4 c + 2d + u = 8k        + 2d + u

Avec c = 2k + 1 => 4 c + 2d + u = 8k + 4 + 2d + u

Le premier terme est divisible par 8, il suffit de vérifier que le reste (2d + u  ou  2d + u + 4) l'est également.

 

Le best du best!

 

Prendre cd et ajouter u/2. Si cette somme est divisible par 4, le nombre initial est divisible par 8

 

Exemples

416 =>  41 + 3 =   44

984 =>  98 + 2 = 100

 

Explications

cdu = 100c + 10d + u = 8k

       =  80c + 8d + 20c + 2d + u

       =  8(10c + d) + 2(10c + d) + u = 8k

Le premier terme est divisible par 8,

             2(10c + d) + u = 8k

             10c + d + u/2 = 4h

 

 

English corner

*    Numbers are divisible by 8 if the number formed by the last three individual digits is evenly divisible by 8. For example, the last three digits of the number 3624 is 624, which is evenly divisible by 8 so 3624 is evenly divisible by 8.

 

Voir Divisibilité par 4 avec critères semblables /  Brève 438

 

 

Retrouver les chiffres manquants

Le nombre x 888 83y est divisible par 72.

Retrouvez les valeurs des chiffres  manquants x et y.

72 = 8 x 9; le nombre est donc divisible par 8 et par 9

Divisible par 8  83y est divisible par 8. Essayons: 830/ 8 = 103,75

832 = 104 x 8 et 105 x 8 = 840  y = 2

Divisible par 9  somme des chiffres divisibles par 9.

Alors: x + 8 + 8 + 8 + 8 + 3 + 2 = x + 37.

Le prochain multiple de 9 est 45 et x vaut 8.

En effet: 8 888 832 = 123 456 x 72.

Les procédés correcteurs d'erreurs dans les transmissions fonctionnent sur un principe similaire.

 

Voir Divisibilité par 9

 

 

 

Divisibilité par une puissance de 2

Divisibilité par 2

N = 10D + u

& 2 divise 10

Si 2 divise u

4

N = 100C + du

& 4 divise 100

Si 4 divise du

8

N = 1000M + cdu

& 8 divise 1000

Si 8 divise cdu

16

N = 10 000N + mcdu

& 16 divise 10 000

Si 16 divise mcdu

32

Etc. Pour 2n

Test sur les n dernier chiffres.

 

 

 

DIVISIBILITÉ PAR 8

de cette forme polynomiale

 

 

Théorème

 f(n) = 5 2n  + 7

est divisible par

8

  

 Démonstration

 

Validation du point de départ

*    Valeur pour f(1)

 

*    Le théorème est vrai pour n = 1

f(1)

= 5 2 + 7
= 32
= 8 x 4

Validation de la récurrence

*    Supposons le théorème vrai pour n

 

f(n)

= 8 .k

*    Calculons la valeur pour n+1

*    Sortons la puissance 2

 

*    Faisons 25 = 24 + 1

f(n+1)

= 5 2(n + 1) + 7

= . 5 2n + 7

= 5² . 5 2n + 7

= 24 . 5 2n +  5 2n + 7

*    En utilisant notre hypothèse

f(n+1)

= 24 . 5 2n +  5 2n + 7

= 24 . 5 2n +  f(n)

= 24 . 5 2n +  8 . k

*    Mettons en facteurs

*    f(n+1) est divisible par 8

f(n+1)

= 8 (3 . 5 2n +  k)

= 8 . h

Conclusion

 

 

*    Si la propriété est vraie pour une valeur (n)

=> Elle est toujours vraie pour la valeur suivante (n + 1)

Or elle est vérifiée pour n = 1

=> Elle est vraie pour tous les nombres suivants

 

Voir Démonstration par induction

 

 

DIVISIBILITÉ PAR 8 

de cette forme polynomiale

 

Théorème

  

La barre verticale signifie divise

Le chapeau ^ signifie puissance

  

*     Démonstration

 

*  Pour n = 1
C'est vrai.

21 = 2

32 – 1 = 9 – 1 = 8

21+2 = 8

et 8  8  

*  Supposons la formule vraie pour n.

32^n – 1 = m . 2n+2

*  L'est-elle pour n + 1?

2n+3  32^(n+1) – 1 ?

*  Calcul

32^(n+1) – 1

= (32^n )² – 1

= (m . 2n+2 + 1)² – 1

= m² . (2n+2)² + 2 . m . 2n+2 + 1 – 1

= m² . (2n+2) (2n+2) + m . 2n+3

= 2n+3 (m² . 2n+1 + m)

*  Effectivement nous retrouvons bien la formule avec n remplacé par n+1

2n+3  32^(n+1) – 1

 

Exemples

n

32^n - 1

2n+2 +2

Div

1

8

8

1

2

80

16

5

3

6 560

32

205

4

43 046 720

64

672 605

 

 

 

Suite

*         Divisibilité de formes polynomiales

Voir

*         Nombres parfaits 

*         Quand n divise n + 8 ou n + k ?

*         Théorie des nombresIndex

*         Calcul mentalIndex

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*         Nombre 3 337

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