NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Par 4

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Divisibilité par 4

>>> Test en 2d + u

>>> Test de parité

>>> Divisibilité par 4 & 8

>>> Nombres en n + 8

>>> Quatre opérations

>>> Le plus petit nombre en 3 et 4, divisible par 3 et 4

 

>>> Somme de deux carrés

>>> Différence de carrés

>>> Divisibilité de 7n – 3n

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 4

 

Critères de divisibilité

et formes polynomiales divisibles.

 

Voir Règles générales de divisibilité

 

 

Devinette

Laquelle de ces affirmations est fausse? Trouvez la réponse sans effectuer les divisions.

*    12 est multiple de 2.

*    123 est multiple de 3.

*    124 est multiple de 4.

*    1245 est multiple de 5.

*    12456 est multiple de 6.

Solution

 

 

 

Critères en bref

 

Il suffit de s'intéresser aux deux derniers chiffres

N = …. d u

                     Dizaine & Unité

 

Un nombre est divisible par 4 si et seulement si:

 

Règle simple

Règle avancée

Règle pour matheux

 

Si du est divisible par 4

 

 

Si 2d + u est divisible par 4

 

u étant pair

Si d et u/2 sont de même parité

 

116

  16 est divisible par 4

116 est divisible par 4.

156

2x5 + 6 = 16 divisible par 4

156 est divisible par 4.

196

     6 est pair

   9 et 3 sont impairs tous les deux

196 est divisible par 4.

Voir Règles générales / Divisibilité par 8 avec critères semblables

 

 

DIVISIBILITÉ par 4 –Simple et classique

 

Un nombre est divisible par 4 si ses 2 derniers chiffres sont divisibles par 4.

 

 

Exemples

     36 = 4 x 9

1 336 = 4 x 334

  36 = 4 k

 

Explication

1 336 = 13 x 100 + 36

           = 4 x 25 x 13 + 36

La partie jaune (les centaines) est toujours divisible par 4; reste à vérifier que le reste (36) l'est. Ce qui est le cas ici.

 

Démonstration

*    Le nombre est exprimé comme la somme de ses centaines et ses dizaines et unités.

N = 100k + du

N = 4 (25k) + du

*    Le premier terme déjà est divisible par 4

         4 (25k)

*    Pour que N soit divisible par 4, il faut que l'autre terme soit divisible par 4.

                          du

Voir Expression décimale des nombres

 

 

 DIVISIBILITÉ par 4 – Avancé

 

Un nombre est divisible par 4 si 2d + u est divisible par 4.

 

Exemples

1 336 => 2 x 3 + 6 = 12

1 344 => 2 x 4 + 4 = 12

 

Démonstration

*    Nous savons qu'il suffit de s'intéresser aux deux derniers chiffres.

n = 10d + u

*    Arrangeons la somme pour en extraire le maximum divisible par 4.

n = 4 x 2d + 2d + u

*    Le premier terme est divisible par 4.

      4 x 2d

*    Pour que n soit divisible par 4, il faut que les autres termes soient divisibles par 4.

                    2d + u

 

   

 

 DIVISIBILITÉ par 4 – Calculs minimums

 

Un nombre est divisible par 4

si d pair et u = {0, 4, 8}, ou

si d impair et u = {2,6}

 

Exemples

1 336 => 3 impair et 6+2 = 8 divisible.

1 344 => 4 pair et 4 divisible.

Démonstration

*    Nous savons qu'il suffit de s'intéresser à du

n = 10d + u

*    Si d est pair

n = 10(2h) + u

n = 20h + u

Divisible par 4 si u l'est

 

*    Si d est impair

n = 10(2h+1) + u

n = 20h + 10 + u

n = 20h + 8 + 2 + u

Divisible par 4 si u + 2 l'est, sans dépasser 10.

 

 

 

 DIVISIBILITÉ par 4 – Pour les matheux

 

Un nombre est divisible par 4 si u étant pair u/2 et d sont de même parité

 

Exemples

1 336 => 3 et 6/2 = 3 sont impairs

1 344 => 4 et 4/2 = 2 sont pairs

Démonstration

*    Nous savons qu'il suffit de s'intéresser à du

d     pair et u = {0, 4, 8}

d impair et u = {2, 6}

*    Autre formulation.
Soit toutes les possibilités de 0 à 5.

d     pair et u/2 = {0, 2, 4}

d impair et u/2 = {1, 3}

*    Constat.

d et u/2 sont de même parité.

 

 

Curiosité

 

Tous les nombres divisibles par 4 (N = 4k) sont de la forme :

N = (k+1) + (k-1) + (k.1) + (k/1) = 4k

impliquant le résultat des quatre opérations.

Voir Quatrops

 

 

Le plus petit nombre en 3 et 4, divisible par 3 et 4

 

Énigme 1

Quel le plus petit nombre en 3 et 4 qui est divisible par 3 et 4?

Chaque chiffre (3 et 4) doit être présent au moins une fois.

 

Solution

 

Les suivants: 4344, 33444, 34344, 43344 …

 

 

Énigme 2

Même question, mais avec 2 et 3 et N divisible par 2 et 3.

 

Solution

N est pair donc le chiffre des unités est 2 (3 est évidemment impossible).

On construit le nombre en ajoutant les dizaines: aucun n'est divisible par 3; avec les centaines, non plus.

Avec les milliers, trois chemins montrent des nombres divisibles par, contenant au moins un 2 et un 3 et que des 2 et des 3: 3222, 2322 et 2232. Et, c'est 2232 est le plus petit.

 

 

 

Tous les nombres les plus petits en p et q divisibles par p et q

 

En rouge, les deux nombres trouvés ci-dessus.

 

Ne sont montrées que les valeurs pot p>q, ces deux nombres étant permutables.

 

 

Les valeurs de p et q non mentionnées n'offrent aucun résultat. Par exemple, un nombre en 2 et 5 ne peut a être divisible à la fois par 2 et par 5: il y a conflit au niveau des unités.

 

 

Anglais

Every digit of a given positive integer is either a 3 or a 4 with each occurring at least once. The integer is divisible by both 3 and 4. What is the smallest such integer ?  

 

 

 

Somme de carrés

 

Carrés

Le carré d'un nombre pair est divisible par 4.

Le carré d'un nombre impair moins 1est divisible par 4. >>>

 

Théorème

a² + b² = 4k + r

 

avec r = {0,1,2} jamais 3

  

Le reste de la division par 4 d'une somme de carré n'est jamais 3.

 

 Démonstration

 

Formes exprimées en dizaines et unités, d  est un nombre et u un chiffre.

a = 10d  + u

b = 10d' + u'

Somme des carrés.

a² + b² = 100d + 20 du + u²

           + 100d' + 20d'u' + u'²

Divisibilité par 4 des termes avec facteur 100 et 20.

(a² + b²) mod 4 = u² + u'²

Seule chose à examiner =>

somme des carrés des unités

Tableau des possibilités

 

En haut: la somme des carrés des unité.

 

En bas le reste de la division par 4

 

Aucun reste en 3

Voir Somme de deux carrés / Modulo

 

 

 Différence de carrés

*    Nombres (n – k) et (n + k), situés symétriquement par rapport à n

(n + k – (n – k)² = 4 k n

Voir Divisibilité par 8 / Écarts entre carrés

 

 

 

 DIVISIBILITÉ de 7n – 3n par 4

*    Pour les premières valeurs.

7 – 3 = 4

72 – 32 = 49 – 9 = 40
73 – 33 = 343 – 27 = 316

 

*    D'une manière générale, d'après une identité remarquable.

7n – 3n = (7 – 3) (7n-1 + 7n-2 x 3 +… + 7 x 3n-2 + 3n-1) = 4 k

 

 

Devinette – Solution

Laquelle de ces affirmations est fausse?

*    12 est multiple de 2             => 12 / 2 = 6
    Ce nombre est pair (terminé par 0, 2, 4, 6, ou 8).

*    123 est multiple de 3           => 123 / 2 = 41
   La somme des chiffres est 6, divisible par 3.

*    1234 est multiple de 4         => 1234 / 4 = 311,5 Intrus!

   Le nombre 34 (deux derniers chiffres) n'est pas divisible par 4.

*    12345 est multiple de 5       => 12345 / 5 = 2 469

   Divisible par 5 car terminé par 5.

*    123456 est multiple de 6     => 123456 / 6 = 20 276

   Nombre pair et somme des chiffres divisible par 3; il est divisible par 2 et par 3; il l'est  par 6.

 

En prolongeant: avec 7 et 8, les nombres ne sont pas des multiples. Par contre, avec 9:

*    123456789 / 9 = 13 717 421 (Somme des chiffres = 45, divisible par 9; le nombre est divisible par 9).

Retour / Nombre 123456789

 

 

Suite

*         Divisibilité de formes polynomiales

Voir

*         Nombres parfaits 

*         Théorie des nombresIndex

*         Calcul mentalIndex

DicoNombre

*         Nombre 4

*         Nombre 44

*         Nombre 2232

*         Nombre 3444

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Divisi4.htm

 

 

 

 

 

Renvois de liens

Divisibilité par 8 de la somme des carrés >>>