NOMBRES - Curiosités, théorie et usages Accueil DicoNombre Rubriques Nouveautés Édition du: 03/04/2012 Orientation générale  DicoMot Math Atlas Références M'écrire Barre de recherche DicoCulture Index alphabétique
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DIVISIBILITÉ par 4

Critères de divisibilité

et formes polynomiales divisibles.

Voir Règles générales de divisibilité

Critères en bref

Il suffit de s'intéresser aux deux derniers chiffres

N = …. d u

Dizaine & Unité

Un nombre est divisible par 4 si et seulement si:

Règle simple	Règle avancée	Règle pour matheux
Si du est divisible par 4	Si 2d + u est divisible par 4	u étant pair Si d et u/2 sont de même parité
116 16 est divisible par 4 116 est divisible par 4.	156 2x5 + 6 = 16 divisible par 4 156 est divisible par 4.	196 6 est pair 9 et 3 sont impairs tous les deux 196 est divisible par 4.

Voir Règles générales / Divisibilité par 8 avec critères semblables

DIVISIBILITÉ par 4 –Simple et classique
Un nombre est divisible par 4 si ses 2 derniers chiffres sont divisibles par 4.	Exemples 36 = 4 x 9 1 336 = 4 x 334 … 36 = 4 k Explication 1 336 = 13 x 100 + 36 = 4 x 25 x 13 + 36 La partie jaune (les centaines) est toujours divisible par 4; reste à vérifier que le reste (36) l'est. Ce qui est le cas ici.
Démonstration Le nombre est exprimé comme la somme de ses centaines et ses dizaines et unités.	N = 100k + du N = 4 (25k) + du
Le premier terme déjà est divisible par 4	4 (25k)
Pour que N soit divisible par 4, il faut que l'autre terme soit divisible par 4.	du

Voir Expression décimale des nombres

DIVISIBILITÉ par 4 – Avancé
Un nombre est divisible par 4 si 2d + u est divisible par 4.	Exemples 1 336 => 2 x 3 + 6 = 12 1 344 => 2 x 4 + 4 = 12
Démonstration Nous savons qu'il suffit de s'intéresser aux deux derniers chiffres.	n = 10d + u
Arrangeons la somme pour en extraire le maximum divisible par 4.	n = 4 x 2d + 2d + u
Le premier terme est divisible par 4.	4 x 2d
Pour que n soit divisible par 4, il faut que les autres termes soient divisibles par 4.	2d + u

DIVISIBILITÉ par 4 – Calculs minimums
Un nombre est divisible par 4 si d pair et u = {0, 4, 8}, ou si d impair et u = {2,6}	Exemples 1 336 => 3 impair et 6+2 = 8 divisible. 1 344 => 4 pair et 4 divisible.
Démonstration Nous savons qu'il suffit de s'intéresser à du	n = 10d + u
Si d est pair	n = 10(2h) + u n = 20h + u Divisible par 4 si u l'est
Si d est impair	n = 10(2h+1) + u n = 20h + 10 + u n = 20h + 8 + 2 + u Divisible par 4 si u + 2 l'est, sans dépasser 10.

DIVISIBILITÉ par 4 – Pour les matheux
Un nombre est divisible par 4 si u étant pair u/2 et d sont de même parité	Exemples 1 336 => 3 et 6/2 = 3 sont impairs 1 344 => 4 et 4/2 = 2 sont pairs
Démonstration Nous savons qu'il suffit de s'intéresser à du	d pair et u = {0, 4, 8} d impair et u = {2, 6}
Autre formulation. Soit toutes les possibilités de 0 à 5.	d pair et u/2 = {0, 2, 4} d impair et u/2 = {1, 3}
Constat.	d et u/2 sont de même parité.

Curiosité
Tous les nombres divisibles par 4 (N = 4k) sont de la forme : N = (k+1) + (k-1) + (k.1) + (k/1) = 4k impliquant le résultat des quatre opérations. Voir Quatrops

Somme de carrés
Théorème a² + b² = 4k + r avec r = {0,1,2} jamais 3 Le reste de la division par 4 d'une somme de carré n'est jamais 3. Démonstration
Formes exprimées en dizaines et unités, d est un nombre et u un chiffre.		a = 10d + u b = 10d' + u'
Somme des carrés.		a² + b² = 100d + 20 du + u² + 100d' + 20d'u' + u'²
Divisibilité par 4 des termes avec facteur 100 et 20.		(a² + b²) mod 4 = u² + u'²
Seule chose à examiner =>		somme des carrés des unités
Tableau des possibilités En haut: la somme des carrés des unité. En bas le reste de la division par 4 Aucun reste en 3

Voir Somme de deux carrés / Modulo

Suite	Divisibilité de formes polynomiales
Voir	Nombres parfaits  Théorie des nombres – Index Calcul mental – Index
DicoNombre	Nombre 4
Cette page	http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Divisi4.htm

Renvois de liens

Divisibilité par 8 de la somme des carrés >>>