NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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DIVISION

 

Débutants

Division

Divisibilité

 

Glossaire

Division

 

INDEX

Divisibilité

 

Introduction

Par 4

Critères

 

Sommaire de cette page

>>> Divisibilité par 4

>>> Test en 2d + u

>>> Test de parité

>>> Divisibilité par 4 & 8

>>> Nombres en n + 8

>>> Quatre opérations

>>> Somme de deux carrés

 

 

 

 

DIVISIBILITÉ par 4

 

Critères de divisibilité

et formes polynomiales divisibles.

 

Voir Règles générales de divisibilité

 

 

Critères en bref

 

Il suffit de s'intéresser aux deux derniers chiffres

N = …. d u

                     Dizaine & Unité

 

Un nombre est divisible par 4 si et seulement si:

 

Règle simple

Règle avancée

Règle pour matheux

 

Si du est divisible par 4

 

 

Si 2d + u est divisible par 4

 

u étant pair

Si d et u/2 sont de même parité

 

116

  16 est divisible par 4

116 est divisible par 4.

156

2x5 + 6 = 16 divisible par 4

156 est divisible par 4.

196

     6 est pair

   9 et 3 sont impairs tous les deux

196 est divisible par 4.

Voir Règles générales / Divisibilité par 8 avec critères semblables

 

 

DIVISIBILITÉ par 4 –Simple et classique

 

Un nombre est divisible par 4 si ses 2 derniers chiffres sont divisibles par 4.

 

 

Exemples

     36 = 4 x 9

1 336 = 4 x 334

  36 = 4 k

 

Explication

1 336 = 13 x 100 + 36

           = 4 x 25 x 13 + 36

La partie jaune (les centaines) est toujours divisible par 4; reste à vérifier que le reste (36) l'est. Ce qui est le cas ici.

 

Démonstration

*    Le nombre est exprimé comme la somme de ses centaines et ses dizaines et unités.

N = 100k + du

N = 4 (25k) + du

*    Le premier terme déjà est divisible par 4

         4 (25k)

*    Pour que N soit divisible par 4, il faut que l'autre terme soit divisible par 4.

                          du

Voir Expression décimale des nombres

 

 

 DIVISIBILITÉ par 4 – Avancé

 

Un nombre est divisible par 4 si 2d + u est divisible par 4.

 

Exemples

1 336 => 2 x 3 + 6 = 12

1 344 => 2 x 4 + 4 = 12

 

Démonstration

*    Nous savons qu'il suffit de s'intéresser aux deux derniers chiffres.

n = 10d + u

*    Arrangeons la somme pour en extraire le maximum divisible par 4.

n = 4 x 2d + 2d + u

*    Le premier terme est divisible par 4.

      4 x 2d

*    Pour que n soit divisible par 4, il faut que les autres termes soient divisibles par 4.

                    2d + u

 

   

 

 DIVISIBILITÉ par 4 – Calculs minimums

 

Un nombre est divisible par 4

si d pair et u = {0, 4, 8}, ou

si d impair et u = {2,6}

 

Exemples

1 336 => 3 impair et 6+2 = 8 divisible.

1 344 => 4 pair et 4 divisible.

Démonstration

*    Nous savons qu'il suffit de s'intéresser à du

n = 10d + u

*    Si d est pair

n = 10(2h) + u

n = 20h + u

Divisible par 4 si u l'est

 

*    Si d est impair

n = 10(2h+1) + u

n = 20h + 10 + u

n = 20h + 8 + 2 + u

Divisible par 4 si u + 2 l'est, sans dépasser 10.

 

 

 

 DIVISIBILITÉ par 4 – Pour les matheux

 

Un nombre est divisible par 4 si u étant pair u/2 et d sont de même parité

 

Exemples

1 336 => 3 et 6/2 = 3 sont impairs

1 344 => 4 et 4/2 = 2 sont pairs

Démonstration

*    Nous savons qu'il suffit de s'intéresser à du

d     pair et u = {0, 4, 8}

d impair et u = {2, 6}

*    Autre formulation.
Soit toutes les possibilités de 0 à 5.

d     pair et u/2 = {0, 2, 4}

d impair et u/2 = {1, 3}

*    Constat.

d et u/2 sont de même parité.

 

 

Curiosité

 

Tous les nombres divisibles par 4 (N = 4k) sont de la forme :

N = (k+1) + (k-1) + (k.1) + (k/1) = 4k

impliquant le résultat des quatre opérations.

Voir Quatrops

 

 

 

Somme de carrés

 

Carrés

Le carré d'un nombre pair est divisible par 4.

Le carré d'un nombre impair moins 1est divisible par 4. >>>

 

Théorème

a² + b² = 4k + r

 

avec r = {0,1,2} jamais 3

  

Le reste de la division par 4 d'une somme de carré n'est jamais 3.

 

 Démonstration

 

Formes exprimées en dizaines et unités, d  est un nombre et u un chiffre.

a = 10d  + u

b = 10d' + u'

Somme des carrés.

a² + b² = 100d + 20 du + u²

           + 100d' + 20d'u' + u'²

Divisibilité par 4 des termes avec facteur 100 et 20.

(a² + b²) mod 4 = u² + u'²

Seule chose à examiner =>

somme des carrés des unités

Tableau des possibilités

 

En haut: la somme des carrés des unité.

 

En bas le reste de la division par 4

 

Aucun reste en 3

Voir Somme de deux carrés / Modulo

 

 DIVISIBILITÉ de 7n – 3n par 4

*    Pour les premières valeurs.

7 – 3 = 4

72 – 32 = 49 – 9 = 40
73 – 33 = 343 – 27 = 316

 

*    D'une manière générale, d'après une identité remarquable.

7n – 3n = (7 – 3) (7n-1 + 7n-2 x 3 +… + 7 x 3n-2 + 3n-1) = 4 k

 

 

Suite

*         Divisibilité de formes polynomiales

Voir

*         Nombres parfaits 

*         Théorie des nombresIndex

*         Calcul mentalIndex

DicoNombre

*         Nombre 4

Cette page

http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/Decompos/Divisi4.htm

 

 

 

 

 

Renvois de liens

Divisibilité par 8 de la somme des carrés >>>