NOMBRES - Curiosités, théorie et usages

 

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INDEX

 

Carrés

 

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Carrés

Formes

Unités

Écart

Terminaison

Différence carrée

 

Sommaire de cette page

>>> Propriétés générales

>>> Écart entre carrés de nombres voisins

>>> Formulation

>>> Application

>>> Écart plus grand que 1

>>> Somme des impairs

>>> Interprétation géométrique

>>> Carrés et 1

 

 

 

 

 

ÉCART entre CARRÉS

de nombres consécutifs 

 

Quelques propriétés et curiosités avec les carrés des nombres et leurs différences.

 

 

  

Devinette

On connait 25 = 5² et 36 = 6²dont les chiffres du second sont ceux du premier plus un. Trouvez d'autres tels couples.

Solution

 

 

Propriété générale

Identité remarquable

Exemples

 

13² = 10² + 3 x   23 =    100 +    69      =    169

57² = 50² + 7 x 107 = 2 500 + 749      =  3 249

48² = 50² – 2 x   98 = 2 500 – 200 + 4 = 2 304

 

 

 

Écart entre CARRÉS de nombres voisins

 

Observons la progression des carrés: l'écart entre un carré et le suivant; de même que le différentiel entre ces écarts:

 

Voir Machine de Babbage / Somme de carrés (démonstration)

 

La différence entre les carrés de deux nombres consécutifs est égale au double du plus petit nombre augmenté de 1.
L'écart de l'écart entre deux carrés est constant et égal à 2.

 

La différence s'exprime également comme la somme des deux nombres consécutifs concernés. Ex:  + 5 + 6 = 6²

 

Tout nombre impair est la différence des carrés de deux nombres consécutifs: N = 2k – 1 = k² - (k – 1)² .

Voir Nombres impairs

 

 

 

Voir Découverte Junior du calcul mental des carrés (fichier .ppt)

 

 

FORMULATION

 

Ces constats découlent directement de la formulation de la différence entre deux carrés de nombres consécutifs.

 

(n + 1)²  – n² = 2n + 1

Ex: 11² – 10² = 2x10 + 1 = 21

 

Autre écriture symétrique:

 n² + n = (n + 1)² – (n + 1)

Ex: 10² + 10 = 11² – 11

 

Formule qui peut être utilisée sans connaître le moindre carré:

Ex: 1234² + 1234 = 1235² 1235

 

 

Voir Carré des nombres en 999…

 

 

APPLICATION

 

Deux nombres entiers consécutifs ont pour carrés 633 616 et 635 209. Comment trouver facilement le carré du nombre entier suivant? 

 

Solution

Espace entre les 2 nombres:

635 209 – 633 616 = 1 593

Le suivant sera espacé de:

1 593 + 2 = 1 595

Soit la valeur demandée:

633 616 + 1 595 = 636 804

Pour information, ce sont les carrés de:

796, 797, 798

 

 

 

Écart quelconque

 

Comment passer d'un carré à ses voisins immédiats ou un peu plus lointains?

Ce tableau montre les écarts entre carrés de n – 3 à n + 3.

D/n² veut dire: quelle est la quantité à ajouter pour atteindre la valeur 0 de la même ligne.

Exemple de lecture pour passer de (n – 3)² à n², il faut ajouter 3 (2n – 3).

Exemple numérique: n = 8, 5² = 25 et 8² = 25 + 3 (2x8 – 3) = 25 + 39 = 64

 

 

En marron, le cas de l'écart unité traité ci-dessus.

En jaune, cas simples, propices au calcul mental.

Exemple: connaissant 10² = 100, calculez 16².

Alors, n = 13 et 16² = 100 + 12 x 13 = 100 + 120 + 36 = 256.

 

La formule générale est la suivante:

(n + k)² – (n + h)² = 2 (k – h) n + k² – h²

 

Exemple: pour k = 5 et h = –3: (n + 5)² – (n – 3)² = 2 x 8 n + 25 – 9 = 16n + 16 = 16 (n + 1)

Si n = 10: 15²    7² = 16 x 11 = 176; en effet: 225 – 49 = 176.

 

Calcul mental des carrés

On note en particulier la diagonale descendante en 4n, 8n, 12n … qui conduit à la formule:

 

(n + k)² – (n – k)² = 4 k n

 

Exemple: pour un écart de 10: k = 5

Alors, 22² + 12² = 4 x 5 x 10 = 200; en effet: 484 – 144 = 200.

Voir Divisibilité par 4 / Divisibilité par 8

 

Exemple de stratégie possible pour calculer mentalement les carrés

On s'appuie sur un carré proche connu (50).

Calculer l'écart (13) et prendre la partie paire (12) plus un éventuellement

La valeur de k est la moitié de l'écart pair (6). La suite est montrée sur cette illustration.

 

 

 

 

SOMME DES IMPAIRS

 

 

Tout carré n² est la somme des nombres impairs successifs jusqu'à 2n-1.

 

Voir Impairs, Carrés et Cubes

 

 

INTERPRÉTATION géométrique

 

 

 

L'ajout d'une équerre – un nombre impair – suffit à conserver le carré en forme comme en nombre.

Notez que: carré  =  somme des impairs successifs:

1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n²

 

Autre propriété des carrés: carré  =  produit des voisins  plus un

n² = (n – 1) (n + 1) + 1

 

Voir Gnomon / Somme des impairs

 

 

 

Carrés et 1

 

Un carré moins le produit des nombres adjacents est égal à 1.

 

Évident d'après cette identité remarquable:

 

(n – 1)(n+1) = n² – 1

 

 

Voir Application au calcul du produit de deux nombres distants de 2

 

 

Devinette – Solution

 

Table des carrés à chiffres incrémentés

Une exploration systématique donne ce tableau

Par exemple pour 4 chiffres: 2 025 = 45² et 3 136 = 56²; les deux carrés ayant des chiffres incrémentés (+1).

Note: pas de propagation de retenue 9 devient 0. D'où le premier cas trivial.

Avec propagation de retenue, pour trois chiffres, on aurait 289 et 400

 

Recherche raisonnée

Par contre, il est possible de chercher par raisonnement. Par exemple pour 5 chiffres:

En effet m² – n²= (m + n) (m – n) = 11 111 = 41 x 271 = 1 x 11 111

Si m – n = 41 => n = m – 41

                    => m + n = 2m – 41 = 271 => m = 156 et n = 115

                    =>  m² = 24 336 et n² = 13 225

Si m – n = 1 => n = m – 1

                  => m + n = 2m – 1 = 11 111

                  => m = 5 556 non car six chiffres.

La solution est unique.

 

Avec des chiffres augmentés de 2, le premier exemple:

                       1 969 850 689, 3 181 072 801

 

Avec des cubes: seule solution  8 et 9.

Retour

 

 

 

Suite

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*    Écarts entre carrés et initiation aux dérivées

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*    Calcul mental des carrés

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*    Racine carrée

*    Somme de cubes de nombres successifs

*    Système décimal – Unités

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